高一数学含答案

1、学乐教育2014年寒期高一数学一对一课程讲义函数引申与提高1、已知函数f ( x ) = log2(axbx)（a > 0，a1，b>0，b1，ab）（）求证函数f ( x )的图像总在一条与x轴垂直的直线的同侧；（）当a>1>b时，求证函数f ( x )图像上任意两点所决定的直线的倾斜角一定为锐角提示（）即确定函数定义域（）即证明函数在其定义域内为增函数解：（） 由 axbx > 0，又b > 0 得 a > 0，a1，b>0，b1，ab 当a > b时，可得 x > 0； 当 a < b时，可得x < 0 f ( x

2、)的图像总在直线x = 0的同侧（）设 A (x1，y1)，B (x2，y2) 是f ( x )图像上任意两点，则由a > 1 > b，故x1 > 0，x2 > 0，x1x2 当 x1 < x2时，由a > 1，则 由0<b <1，则 ，即 y1< y2 直线AB的倾斜角为锐角当x1 > x2时，同理可证直线AB的倾斜角为锐角2、已知函数（a > 0，b > 0）求f ( x )的单调区间，并证明函数f ( x )在其单调区间内的单调性提示：问题不在证明方法和步骤，而在探索f ( x )的单调区间f ( x )的定义域是（

3、，0）（0，+）f ( x )是奇函数，故可先探索f ( x )在（0，+）内的单调区间当x > 0时，当且仅当 即 时，上式等号成立由此可推断f ( x )在上为减函数，在上为增函数由此f ( x )是奇函数，故可推断f ( x )在上为增函数，在上是减函数证明过程（略）3、已知f ( x )是定义在（，+）上的函数，f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y )对任意x，yR都成立且当x > 0时，f ( x ) < 0，又f ( 2 ) =2求函数f ( x )在6，6上的最大值和最小值提示：由f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y

4、) 可证f ( x )是奇函数再证f ( x )是 6，6上的减函数解： f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) 对任意x，yR都成立，令 y =x，得f ( 0 ) = f ( x ) + f ( -x )再令x = y = 0，得 f ( 0 ) = f ( 0 ) + f ( 0 )，故f ( 0 ) = 0 f (x ) =f ( x ) f ( x )是奇函数任取x1，x2，使6x1 < x26，则x1x2 < 0，故f (x2x1) < 0且 f ( x2 )f ( x1 ) = f ( x2 )+ f (x1 ) = f (x2x1) &

5、lt; 0 f ( x )在6，6上是减函数 f ( x )在6，6上的最大值为f (6 ) =f ( 6 ) = f ( 2 ) + f ( 2 ) + f ( 2 ) = 6；最小值为 f ( 6 ) =64、已知函数f ( x )的图像过点（3，5），且与函数的图像关于直线xy1 = 0成轴对称图形（）求函数f ( x )的解析式及其定义域；（）如果f ( x1 ) + f ( y2 ) > f ( y ) + 1，求证：提示：对于（）应注意把解析几何中求与已知曲线关于已知直线对称的曲线的方程的方法运用于此对于（）把函数值的不等式转化成自变量的不等式时，要注意函数单调性解：（）设P

6、(x，y)是函数y = f ( x )图像上任一点，P点关于直线xy1 = 0的对称点为Q（a，b）则解得 a = y+1，b = x1 点Q ( y+1，x1 )在函数g ( x )的图像上， 由此可解得 y = 2 log 2 (x1+a) + 1又 f ( 3 ) = 5，可确定a = 2 f ( x ) = 2 log 2 (x + 1) + 1，其定义域为（1，+）（）由 f (x1) + f ( y2)> f ( y ) + 1 及（）可得log2x + log2 (y1) > log 2 ( y+1) 由 x (y1) > y+1，且y1>0得 5、 已知

7、，（）当a = 0时，求方程f ( x ) = g ( x )的解集；（）如果f ( x ) < g ( x )对于任意x1都成立，求实数a的取值范围提示：既然求a的取值范围，应考虑在f ( x ) < g ( x )中，把a与x分离开来，再运用函数思想推得一个关于a的不等式解：（） 当a = 0时，方程f ( x ) = g ( x )，即2x+3 = 4x+1 可求得其解集为 1 （）f ( x ) < g ( x )，即 变形得：令 2x = t，由x1，得t 2 f ( x ) < g ( x )对于任意x 1都成立 大于（t 2）的最大值即 解此不等式可得 0

8、 < a < 16、已知关于x的方程 有实数解，求实数a的取值范围提示：从等价变形所给方程入手，得到a、x之间关系后，用函数思想为指导去处理解：原方程可变为 原方程 原方程有实数解，即存在x > 1使， a一定取，也只能取函数（x > 1）值域内的值又 ，当且仅当，即x = 2时，上式取等号 a的取值范围为7、设、（ < ）是x的方程2x2ax2 = 0的两个实根，又（）证明f ( ) f ( ) =4；（）判断函数f ( x )在 ， 上的单调性，并予以证明；（）当a取何值时，函数f ( x )在 ， 上的最大值减去最小值的差最小，并说明理由提示：由题意得， =

9、1，以此为据证明f ( ) f ( ) =4并不难判断f ( x )在 ， 上的单调性，应依据函数单调性的定义，还要注意其中a与、的关系（1），（2）为（3）又作了准备解：（）由题设， =1， （）任取x1，x2，使 x1 < x2，则其中 x2x1 > 0，显然成立，又 4+a (x2 + x1)4 x1x2= 4 + 2 ( + ) (x2 + x1)4 x1x2= 2 2 + 2x2+2x1 + 2x2 + 2x12 x1x22 x1x2= 2(x2 )( x1) + 2(x1 )( x2) > 0 f ( x2 )f ( x1 ) > 0，即f ( x2 ) &

10、gt; f ( x1 ) f ( x )在 a，b 上是增函数（） 由（），在 ， 上f ( x )的最大值为f ( )，最小值为f ( )，又f ( ) f ( )=4 < 0，故f ( ) > 0，f ( ) < 0 f ( )f ( ) = f ( ) + f ( )，当且仅当f ( ) = f ( ) = 2时，上式取等号 f ( ) = 2时，f ( )f ( )最小再由 消 后可解得 a = 0 a = 0时，f ( x )在 ， 上最大值减最小值的差最小8、已知函数f ( x ) = 2x（xR），它的反函数记作g ( x )A，B，C三个点在函数g ( x )

11、的图像上，它们的横坐标分别为a，a+4，a+8（a > 1）（）解方程：g ( x )+ g ( x + 1 ) = 1；（）设ABC的面积为S，当S > 2时，求a的取值范围提示：易求得g ( x ) = log2 x（x > 0）解对数方程时，要注意使各对数式有意义的条件求ABC的面积方法不唯一，注意结合图形，注意对图形作适当分割解：（） f ( x ) = 2x（xR）， g ( x ) = log2 x（x > 0） 方程 g ( x ) + g ( x + 1 ) = 1，即log2 x + log2 (x+1) = 1 x ( x + 1 ) = 2，即x2

12、 + x2 = 0 x =2 或 x = 1 经检验 x = 1是原方程的解（）由已知，A，B，C三点的坐标分别为A (a，log2a)，B(a+4，log2(a+4) )，C(a+8，log2(a+8) )（a > 1）如图，设AC与BN相交于D，则S = SABD + SCBD MNP10xyABCD 又D是A、C中点，故D点纵坐标为：， 由S > 2，即 （a > 1）解得 9、某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉60吨，每吨面粉价格为1800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元（）求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所

13、支付的总费用最少？（）若提供面粉的公司规定，当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠问该厂是否考虑利用此优惠条件？并说明理由提示：这里研究每隔多少天（设为x天）购买一次面粉，所支付的总费用与天数之比最小，而总费用包括三部分：购面粉费，运费及保管等费用其中各天中需交保管的面粉数量是不同的，它们成等差数列解：（）设该厂每隔x天购买面粉一次，则采购数量为6x吨应支付的总费用为（元） 平均每天支付的总费用，当且仅当，即x = 10时上式取等号 每隔10天购面粉一次，可达题设要求（） 210÷6 = 35， 该厂想利用优惠条件，至少每隔35天采购面粉一次，设每隔x（x35）天采购面

14、粉一次则平均每天支付的总费用 （x35）记 （x35），任取x1，x2，使35x1x2， ， ， f ( x )在上是增函数， y2的最小值 = 9 f ( 35 ) + 9720< 9 ( 3 + 35 ) + 9720< 10×38 + 9720= 10100 < 10989 该厂应考虑利用此优惠条件提高例1设a0，求函数(x(0，)的单调区间分析：欲求函数的单调区间，则须解不等式(递增)及(递减)。解：当a0，x0时f ¢(x)0Ûx2(2a4)xa20，f ¢(x)0Ûx2(2a4)xa20()当a 1时，对所有x 0

15、，有x2(2a4)xa20，即f ¢(x)0，此时f(x)在(0，)内单调递增()当a1时，对x1，有x2(2a4)xa20，即f ¢(x)0，此时f(x)在(0，1)内单调递增，在(1，)内单调递增又知函数f(x)在x1处连续，因此，函数f(x)在(0，)内单调递增()当0a1时，令f ¢(x)0，即x2(2a4)xa20，解得，或因此，函数f(x)在区间内单调递增，在区间内也单调递增令f ¢(x)0，即x2(2a4)xa2 0，解得 ：因此，函数f(x)在区间内单调递减点评：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力

16、例2 已知，函数。设，记曲线在点处的切线为。()求的方程；()设与轴交点为。证明： ； 若，则()分析：欲求切线的方程，则须求出它的斜率，根据切线斜率的几何意义便不难发现，问题归结为求曲线在点的一阶导数值。解：求的导数：，由此得切线的方程：。()分析：要求的变化范围，则须找到使产生变化的原因，显然，变化的根本原因可归结为的变化，因此，找到与的等量关系式，就成； 欲比较与的大小关系，判断它们的差的符号即可。 证：依题意，切线方程中令y0，. 由.。点评：本小题主要考查利用导数求曲线切线的方法，考查不等式的基本性质，以及分析和解决问题的能力。例3、 函数y1的图象是( )解析一：该题考查对f(x)图象以及对坐标平移公式的理解，将函数y的图形变形到y，即向右平移一个单位，再变形到y即将前面图形沿x轴翻转，再变形到y1，从而得到答案B.解析二：可利用特殊值法，取x0，此时y1，取x2，此时y0.因此选B.答案：B例设二次函数，方程的两个根满足. 当时，证明.分析：在已知方程两根的情况下，根据函数与方