高三文科数学学案解三角形教师版

1、二轮复习专题：解三角形（一）一、考纲要求：1. 掌握正、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2. 能够运用正、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.二、必备知识:1正弦定理：2R，其中R是三角形外接圆的半径由正弦定理可以变形：(1)abcsin Asin Bsin C；(2)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C.2余弦定理a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C变形：cos A，cos B，cos C.3.射影定理（源自人教版必修51.2应用举例课后练习）：中，4.三角形中常见的结论：(1)ABC.(

2、2)在三角形中大边对大角，反之亦然(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边(4)三角形内的诱导公式：sin(AB)sin C；cos(AB)cos C；tan(AB)tan C；sincos；cossin.(5)在ABC中，tan Atan Btan Ctan A·tan B·tan C.(6)在ABC中，A，B，C成等差数列的充要条件是B60° .(7)ABC为正三角形的充要条件是A，B，C成等差数列且a，b，c成等比数列5.三角形中常用的面积公式：(1)Sah(h表示边a上的高)；(2)Sbcsin Aacsin Babsin C；(3)Sr(ab

3、c)(r为三角形的内切圆半径)3、 考点分类解析：例1.(2014·辽宁高考)在ABC 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c .已知·2，cos B，b3，求：（）a和c的值；()cos(BC)的值解：(1)由·2得c·acos B2，又cos B，所以ac6.由余弦定理，得a2c2b22accos B.又b3，所以a2c292×213.解得或因为a>c，所以a3，c2.(2)在ABC中，sin B ，由正弦定理，得sin Csin B×.因ab>c，所以C是锐角，因此cos C .于是cos(BC)c

4、os Bcos Csin Bsin C××.类题通法正、余弦定理的应用原则：(1)正弦定理是一个连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用；(2)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用演练冲关1 (2014·湖北高考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A，a1，b，则B _或2.(2017年新课标卷文16) 的内角的对边分别为，若，则 3.(2017年新课标卷文11)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，a=2，c=，则C=（ B ）ABCD4.（2013辽宁）在ABC

5、，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且ab，则B=（A）ABCD例2.(2013·陕西高考)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为(B)A.锐角三角形B直角三角形 C.锐角三角形 D不确定变式1本例的条件变为：若2sin A cos Bsin C，那么ABC一定是(B)A直角三角形B等腰三角形 C等腰直角三角形 D正三角形解：选B法一：由已知得2sin Acos Bsin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，即sin(AB)0，因为<AB<，所以AB，选B.法二：由正弦定理得

6、2acos Bc，再由余弦定理得2a·ca2b2ab.变式2本例的条件变为：若acos Abcos B，那么ABC一定是(D)A直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形解析：选D由正弦定理，得sin Acos Asin Bcos Bsin 2Asin 2B，因为2A,2B(0，)，所以2A2B或2A2B，即AB或AB.选D.变式3本例的条件变为：若2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C且sin Bsin C1，试判断ABC的形状解：由已知，根据正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc，cos A，sin A，则sin2Asin2

7、Bsin2Csin Bsin C.又sin Bsin C1，所以sin B sin C，所以sin Bsin C.因为0<B<，0<C<，故BC，所以ABC是等腰钝角三角形类题通法判定三角形形状的两种常用途径:(1)通过正、余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断注意在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响.例3.(2014·山东高考)ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b

8、，c.已知 a3，cos A，BA.()求b 的值；()求ABC 的面积解：(1)在ABC中，由题意知sin A，又因为BA，所以sin Bsincos A.由正弦定理可得b3.(2)由BA得cos Bcossin A.由ABC，得C(AB)所以sin Csin(AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B××.因此ABC的面积Sabsin C×3×3×.类题通法三角形面积公式的应用原则：(1)对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或

9、余弦定理进行边和角的转化演练冲关1.已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，acos Casin Cbc0.(1)求A；(2)若a2，ABC的面积为，求b，c.解：(1)由acos Casin Cbc0及正弦定理得，sin Acos Csin Asin Csin Bsin C0.因为BAC，所以sin Asin Ccos Asin Csin C0.由于sin C0，所以sin.又0<A<，故A.(2)ABC的面积Sbcsin A，故bc4.而a2b2c22bccos A，故b2c28.解得bc2.(2015·昆明调研)已知ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若A，b2acos B，c1，则ABC的面积等于(B)A.B. C. D.解析：选B由正弦定理得sin B2sin Acos B，故tan B2sin A2sin，又B(0，)，所以B，又AB，则ABC是正三角形，所以SABCbcsin