河南省南阳市高二下学期期中数学试卷文科

1、河南省南阳市2014-2015学年高二下学期期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1（5分）已知i是虚数单位，则（1+i）（2i）=（）A3+iB1+3iC3+3iD1+i2（5分）变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），变量U与V相对应的一组数据为 （10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1）r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则（）Ar2r10B0r2r1Cr20r1Dr2=r13（5分）观察下列各式：则72=49，73=343，

2、74=2401，则72015的末两位数字为（）A01B43C07D494（5分）下面是关于复数z=的四个命题：p1：复数z对应的点在第二象限，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为1其中真命题为（）Ap2，p3Bp1，p2Cp2，p4Dp3，p45（5分）投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是（）ABCD6（5分）从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）=（）ABCD7（5分）设某大学的女生体

3、重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x85.71，则下列结论中不正确的是（）Ay与x具有正的线性相关关系B回归直线过样本点的中心（，）C若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg8（5分）广州2010年亚运会火炬传递在A，B，C，D，E五个城市之间进行，各城市之间的距离（单位：百公里）见表若以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是（）ABCDEA05456B50762C4

4、7098.6D56905E628.650A20.6B21C22D239（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N2）和实数a1，a2，an，输出A，B，则（）AA+B为a1，a2，an的和B为a1，a2，an的算术平均数CA和B分别是a1，a2，an中最大的数和最小的数DA和B分别是a1，a2，an中最小的数和最大的数10（5分）设z是复数，则下列命题中的假命题是（）A若z20，则z是实数B若z20，则z是虚数C若z是虚数，则z20D若z是纯虚数，则z2011（5分）观察（x2）=2x，（x4）=4x3，（cosx）=sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（

5、x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（x）=（）Ag（x）Bf（x）Cf（x）Dg（x）12（5分）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息，设定原信息为a0a1a2，ai0，1（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0a1，h1=h0a2运算规则为：00=0，01=1，10=1，11=0，例如原信息为111，则传输信息为01111传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A10111B01100C11010D00011二、填空题（每小题5分，共20分）13（5分）观察下列等式：12=11

6、222=31222+32=61222+3242=10照此规律，第n个等式可为14（5分）已知复数z=（i是虚数单位），则|z|=15（5分）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为16（5分）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件则下列结论中正确的是（写出所有正确结论的编号）P（B）=；P（B|A1）=；事件B

7、与事件A1相互独立；A1，A2，A3是两两互斥的事件三、解答题17（10分）实数m为何值时，复数z=+（m2+m2）i（i为虚数单位）是（1）实数；（2）纯虚数18（12分）某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在（29.94，30.06）的零件为优质品从两个分厂生产的零件中个抽出500件，量其内径尺寸，的结果如下表：甲厂分组30.14）频数297185159766218（1）试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；（2）由于以上统计数据填下面22（3）列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”甲厂乙厂合计优质品非优质品合计附：19（12分）

8、设直线l1：y=k1x+1，l2：y=k2x1，其中实数k1，k2满足k1k2+3=0（1）证明l1与l2相交；（2）设l1与l2的交点为（a，b），求证3a2+b2为定值20（12分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi（单位：千克）与月储蓄yi（单位：千元）的数据资料，计算得xi=80，yi=20，xiyi=184，xi2=720（）求家庭的月储蓄y关于月收入x的线性回归方程=x+，并判断变量x与y之间是正相关还是负相关；（）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄注：线性回归方程=x+中，=，其中，为样本平均值21（12分）已知数学、英语的成绩分别有优、良、

9、及格、不及格四个档次，某班共60人，在每个档次的人数如表：优良及格不及格优1311良1076及格2409不及格1b7a+4（1）求数学及格且英语良的概率；（2）在数学及格的条件下，英语良的概率；（3）若数学良与英语不及格是相互独立的，求a，b的值22（12分）已知函数f（x）=aexx2（其中aR，e是自然对数底数）（1）若a=2，试判断函数f（x）在区间（0，+）上的单调性；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1x2），求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，试证明0f（x1）1河南省南阳市2014-2015学年高二下学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共

10、60分）1（5分）已知i是虚数单位，则（1+i）（2i）=（）A3+iB1+3iC3+3iD1+i考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：直接利用两个复数代数形式的乘法法则，以及虚数单位i的幂运算性质，运算求得结果解答：解：（1+i）（2i）=2+i+2i+1=1+3i，故选B点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题2（5分）变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），变量U与V相对应的一组数据为 （10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1

11、）r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则（）Ar2r10B0r2r1Cr20r1Dr2=r1考点：相关系数 专题：计算题分析：求两组数据的相关系数的大小和正负，可以详细的解出这两组数据的相关系数，现分别求出两组数据的两个变量的平均数，利用相关系数的个数代入求出结果，进行比较解答：解：变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），=11.72这组数据的相关系数是r=，变量U与V相对应的一组数据为 （10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），这组数据的相关系

12、数是0.3755，第一组数据的相关系数大于零，第二组数据的相关系数小于零，故选C点评：本题考查用相关系数来衡量两个变量之间相关关系，当相关系数为正时，表示两个变量正相关，也利用散点图判断两个变量之间是否有相关关系3（5分）观察下列各式：则72=49，73=343，74=2401，则72015的末两位数字为（）A01B43C07D49考点：归纳推理 专题：推理和证明分析：由题意依次求出7的乘方对应的值，归纳出末两位数出现的规律，再确定72015的末两位数解答：解：根据题意得，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，77=823543，78=5764801，

13、79=40353607，发现：74k2的末两位数字是49，74k1的末两位数字是43，74k的末两位数字是01，74k+1的末两位数字是49，（k=1、2、3、4、），2015=50441，72015的末两位数字为43，故选：B点评：本题考查了归纳推理，难点在于发现其中的规律，考查观察、分析、归纳能力4（5分）下面是关于复数z=的四个命题：p1：复数z对应的点在第二象限，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为1其中真命题为（）Ap2，p3Bp1，p2Cp2，p4Dp3，p4考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义 专题：数系的扩充和复数分析：化简复数为

14、a+bi的形式，即可利用复数的几何意义，基本运算判断选项即可解答：解：复数z=1i复数z对应的点（1，1）是在第三象限，p1不正确；z2=（1i）2=2i，p2：正确；z的共轭复数为11+i，p3：不正确；z的虚部为1p4：正确故选：C点评：本题考查复数的基本运算，复数的基本概念的应用，考查计算能力5（5分）投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是（）ABCD考点：相互独立事件的概率乘法公式 专题：计算题分析：根据题意，“事件A，B中至少有一件发生”与“事件A、B一个都不发生”互为对立事件，由古典概型

15、的计算方法，可得P（A）、P（B），进而可得P（），由对立事件的概率计算，可得答案解答：解：根据题意，“事件A，B中至少有一件发生”与“事件A、B一个都不发生”互为对立事件，由古典概型的计算方法，可得P（A）=，P（B）=，则P（）=（1）（1）=，则“事件A，B中至少有一件发生”的概率为1=；故选C点评：本题考查相互独立事件的概率的乘法公式，注意分析题意，首先明确事件之间的相互关系（互斥、对立等）6（5分）从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）=（）ABCD考点：条件概率与独立事件 专题：计算题分析：用列举

16、法求出事件A=“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件的个数，求p（A），同理求出P（AB），根据条件概率公式P（B|A）=即可求得结果解答：解：事件A=“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件有：（1，3）、（1，5）、（3，5）、（2，4），p（A）=，事件B=“取到的2个数均为偶数”所包含的基本事件有（2，4），P（AB）=P（B|A）=故选B点评：此题是个基础题考查条件概率的计算公式，同时考查学生对基础知识的记忆、理解和熟练程度7（5分）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，n），用最小二乘法建立的回归

17、方程为=0.85x85.71，则下列结论中不正确的是（）Ay与x具有正的线性相关关系B回归直线过样本点的中心（，）C若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg考点：回归分析的初步应用 专题：阅读型分析：根据回归方程为=0.85x85.71，0.850，可知A，B，C均正确，对于D回归方程只能进行预测，但不可断定解答：解：对于A，0.850，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确；对于B，回归直线过样本点的中心（，），故正确；对于C，回归方程为=0.85x85.71，该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85

18、kg，故正确；对于D，x=170cm时，=0.8517085.71=58.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，故不正确故选D点评：本题考查线性回归方程，考查学生对线性回归方程的理解，属于中档题8（5分）广州2010年亚运会火炬传递在A，B，C，D，E五个城市之间进行，各城市之间的距离（单位：百公里）见表若以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是（）ABCDEA05456B50762C47098.6D56905E628.650A20.6B21C22D23考点：频率分布表；统筹问题的思想及其应用的广泛性 专题：概率与统计分析：以A为起点，E为终点

19、，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的路线是中间三个位置的排列共有A33种结果，列举出六种结果的路途长度选出最短的路途，列出路径的长度，得到结果解答：解：以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的路线是中间三个位置的排列共有A33=6种结果，列举出六种结果的路途长度选出最短的路途，ABCDE，总长是26，ACDBE，总长是21，ABDCE，总长是28.6，ADBCE，总长是26.6，ACBDE，总长是22，ADCBE，总长是23，总上可知最短的路径是21故选B点评：本题考查频率分布表，考查统筹问题的思想及其应用的广泛性，考查利用统计问题解决实际问题，本题采用列举法来解题

20、9（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N2）和实数a1，a2，an，输出A，B，则（）AA+B为a1，a2，an的和B为a1，a2，an的算术平均数CA和B分别是a1，a2，an中最大的数和最小的数DA和B分别是a1，a2，an中最小的数和最大的数考点：循环结构 专题：算法和程序框图分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出a1，a2，an中最大的数和最小的数解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知，该程序的作用是：求出a1，a2，an中最大的数和最小的数其中A为a1，a2，an中最大的数，B为a1，a2，an

21、中最小的数故选：C点评：本题主要考查了循环结构，解题的关键是建立数学模型，根据每一步分析的结果，选择恰当的数学模型，属于中档题10（5分）设z是复数，则下列命题中的假命题是（）A若z20，则z是实数B若z20，则z是虚数C若z是虚数，则z20D若z是纯虚数，则z20考点：命题的真假判断与应用 专题：计算题分析：设出复数z，求出z2，利用a，b的值，判断四个选项的正误即可解答：解：设z=a+bi，a，bR，z2=a2b2+2abi，对于A，z20，则b=0，所以z是实数，真命题；对于B，z20，则a=0，且b0，z是虚数；所以B为真命题；对于C，z是虚数，则b0，所以z20是假命题对于D，z是纯

22、虚数，则a=0，b0，所以z20是真命题；故选C点评：本题考查复数真假命题的判断，复数的基本运算11（5分）观察（x2）=2x，（x4）=4x3，（cosx）=sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（x）=（）Ag（x）Bf（x）Cf（x）Dg（x）考点：归纳推理 专题：规律型分析：由已知中（x2）=2x，（x4）=4x3，（cosx）=sinx，分析其规律，我们可以归纳推断出，偶函数的导函数为奇函数，再结合函数奇偶性的性质，即可得到答案解答：解：由（x2）=2x中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；（x4）=4x3中，原函

23、数为偶函数，导函数为奇函数；（cosx）=sinx中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；我们可以推断，偶函数的导函数为奇函数若定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x），则函数f（x）为偶函数，又g（x）为f（x）的导函数，则g（x）奇函数故g（x）+g（x）=0，即g（x）=g（x），故选A点评：本题考查的知识点是归纳推理，及函数奇偶性的性质，其中根据已知中原函数与导函数奇偶性的关系，得到结论是解答本题的关键12（5分）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息，设定原信息为a0a1a2，ai0，1（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其

24、中h0=a0a1，h1=h0a2运算规则为：00=0，01=1，10=1，11=0，例如原信息为111，则传输信息为01111传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A10111B01100C11010D00011考点：进行简单的合情推理 专题：推理和证明分析：根据题意，只需验证是否满足h0=a0a1，h1=h0a2经验证，A，B，C都符合D中，h1=h0a2=01=1，故错误解答：解：A选项原信息为101，则h0=a0a1=10=1，h1=h0a2=11=0，所以传输信息为11010，A选项不正确；B选项原信息为110，则h0=a0a1=11=0，h1

25、=h0a2=00=0，所以传输信息为01100，B选项正确；C选项原信息为110，则h0=a0a1=10=1，h1=h0a2=11=0，所以传输信息为11010，C选项正确；D选项原信息为001，则h0=a0a1=00=0，h1=h0a2=01=1，所以传输信息为00011，D选项正确；故选：A点评：本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题此题注意正确理解题意，根据要求进行计算二、填空题（每小题5分，共20分）13（5分）观察下列等式：12=11222=31222+32=61222+3242=10照此规律，第n个等式可为考点：归纳推理 专题：

26、压轴题；规律型分析：等式的左边是正整数的平方和或差，根据这一规律得第n个等式左边为1222+3242+（1）n1n2再分n为奇数和偶数讨论，结合分组求和法求和，最后利用字母表示即可解答：解：观察下列等式：12=11222=31222+32=61222+3242=10分n为奇数和偶数讨论：第n个等式左边为1222+3242+（1）n1n2当n为偶数时，分组求和（1222）+（3242）+=，当n为奇数时，第n个等式左边=（1222）+（3242）+n2=+n2=综上，第n个等式为故答案为：点评：本题考查规律型中的数字变化问题，找等式的规律时，既要分别看左右两边的规律，还要注意看左右两边之间的联系

27、14（5分）已知复数z=（i是虚数单位），则|z|=考点：复数求模 专题：计算题分析：通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果解答：解：|z|=故答案为：点评：本题考查复数的模的求法，考查计算能力15（5分）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为1：8考点：类比推理 专题：立体几何分析：根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合三角形的面积比的方法类比求四面体的体积比即可解答：解：平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们

28、的面积比为1：4，类似地，由平面图形面积类比立体图形的体积，得出：在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 1：8故答案为：1：8点评：本题主要考查类比推理类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去一般步骤：找出两类事物之间的相似性或者一致性用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）16（5分）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙

29、罐取出的球是红球的事件则下列结论中正确的是（写出所有正确结论的编号）P（B）=；P（B|A1）=；事件B与事件A1相互独立；A1，A2，A3是两两互斥的事件考点：条件概率与独立事件；互斥事件与对立事件 专题：概率与统计分析：由题意A1，A2，A3是两两互斥的事件，由条件概率公式求出P（B|A1），P（B）=P（A1B）+P（A2B）+P（A3B），对照四个命题进行判断找出正确命题，选出正确选项解答：解：由题意A1，A2，A3是两两互斥的事件，P（A1）=，P（A2）=，P（A3）=；P（B|A1）=，由此知，正确；P（B|A2）=，P（B|A3）=；而P（B）=P（A1B）+P（A2B）+P（

30、A3B）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）=+=由此知不正确；A1，A2，A3是两两互斥的事件，由此知正确；对照四个命题知正确；故答案为：点评：本题考查相互独立事件，解题的关键是理解题设中的各个事件，且熟练掌握了相互独立事件的概率简洁公式，条件概率的求法，本题较复杂，正确理解事件的内蕴是解题的突破点三、解答题17（10分）实数m为何值时，复数z=+（m2+m2）i（i为虚数单位）是（1）实数；（2）纯虚数考点：复数的基本概念 专题：数系的扩充和复数分析：（1）根据复数为实数的充要条件列出方程组，注意分母不为零，求出m的值即可；（2）根据复数为纯虚数的

31、充要条件列出方程组，注意分母不为零，求出m的值即可解答：解：（1）复数z为实数的充要条件是，解得m=1，所以m=1时复数z为实数（5分）（2）复数z为纯虚数的充要条件是，解得m=3，所以m=3时复数z为纯虚数（10分）点评：本题考查复数为纯虚数、实数的充要条件，牢记复数的基本概念是解题的关键，属于基础题18（12分）某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在（29.94，30.06）的零件为优质品从两个分厂生产的零件中个抽出500件，量其内径尺寸，的结果如下表：甲厂分组优质品360320680非优质品140180320合计50050010007.356.635，所以有9

32、9%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”点评：独立性检验的应用的步骤为：根据已知条件将数据归结到一个表格内，列出列联表，再根据列联表中的数据，代入公式，计算出k值，然后代入离散系数表，比较即可得到答案19（12分）设直线l1：y=k1x+1，l2：y=k2x1，其中实数k1，k2满足k1k2+3=0（1）证明l1与l2相交；（2）设l1与l2的交点为（a，b），求证3a2+b2为定值考点：直线的一般式方程 专题：反证法；直线与圆分析：（1）用反证法，假设l1与l2不相交，则l1l2，k1=k2，得出矛盾，从而证明命题成立；（2）根据点P的坐标满足两直线方程，求出3a2+b2是否为定值即

33、可解答：解：（1）证明：反证法，假设是l1与l2不相交，则l1与l2平行，有k1=k2，代入k1k2+3=0，得+3=0，此时与k1为实数的事实相矛盾；从而k1k2，即l1与l2相交；（6分）（2）因为交点P的坐标（a，b）满足，即（b1）（b+1）=k1k2a2=3a2，整理，得3a2+b2=1；所以3a2+b2为定值1（12分）点评：本题考查了直线方程的应用问题，也考查了反证法的应用问题，是基础题目20（12分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi（单位：千克）与月储蓄yi（单位：千元）的数据资料，计算得xi=80，yi=20，xiyi=184，xi2=720（）求家庭

34、的月储蓄y关于月收入x的线性回归方程=x+，并判断变量x与y之间是正相关还是负相关；（）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄注：线性回归方程=x+中，=，其中，为样本平均值考点：线性回归方程 专题：计算题；概率与统计分析：（）由题意可知n=10，=xi=8，=yi=2，代入可得b值，进而可得a值，可得方程，由回归方程x的系数b的正负可判；（）把x=7代入回归方程求其函数值即可解答：解：（）由题意，n=10，=xi=8，=yi=2，=0.3，=20.38=0.4，=0.3x0.4，0.30，变量x与y之间是正相关；（）x=7时，=0.370.4=1.7千元点评：本题考查线性回归方程的求解及应用，属基础题21（12分）已知数学、英语的成绩分别有优、良、及格、不及格四个档次，某班共60人，在每个档次的人数如表：优良及格不及格优1311良1076及格2409不及格1b7a+4（1）求数学及格且英语良的概率；（2）在数学及格的条件下，英语良的概率；（