正项级数的收敛判别法及其推广

1、引 言数项级数又称无穷级数,简称级数.若数项级数的各项都由正数组成,则称为正项级数.级数理论是数学中一个非常重要的理论,正项级数又是级数中的基础部分,具有很强的实用价值和广泛的应用.作为一种常用的研究工具广泛的应用于其他数学科学和科学技术领域,因此它的收敛判定问题一直被人们所研究.正项级数的收敛判别法中,常用的且比较典型的判别法有比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、拉贝判别法等.为了比较方便、简单的判别正项级数是否收敛,首先,可以根据其特点选择适当的方法,如：柯西判别法、达朗贝尔判别法或拉贝判别法,使正项级数收敛的判别变得更加简便.当上述方法都无法使用时,根据条件选择积分判别法、对数判别法

2、、次数差审敛法等.一般是,当无法使用柯西判别法时,通常可以选用达朗贝尔判别法,当达朗贝尔判别法也无法使用时,使用比较判别法,若比较判别法还是无法判别时,再使用正项级数收敛的充要条件进行判定.由此,我们可以得到正项级数的判别法是层层递进使用的,每当一种判别法无法判断时,就出现一种新的判别法来进行判断.根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断,能够最大限度的节约时间,提高效率.本文归纳总结正项级数收敛性判断的一些典型方法,比较这些方法的不同特点,总结出一些典型的正项级数,并给出了不同通项特点的正项级数选用的不同的判别法.1关于正项级数的一些基础知识定义1.1.11 给定一个数列,对它的各

3、项依次用“+”号连接起来的表达式 （1）称为数项级数或无穷级数（也简称级数）,其中称为数项级数的通项.数项级数（1）也常写作：或简单写作.数项级数（1）的前项之和记为（2）称它为数项级数（1）的第个部分和,也简称部分和.若数项级数的各项符号都相同,则称它为同号级数.对于同号级数,只需研究各项都是由正数组成的级数称为正项级数.定义1 若数项级数（1）的部分和数列收敛于S,则称数项级数（1）收敛,称S为数项级数（1）的和,记作或.若是发散数列,则称数项级数（1）发散.2 正项级数常用的收敛判别法定理2.1 1（基本判别法）如果正项级数的部分和数列具有上界,则此级数收敛.例1判定正项级数的敛散性.分

4、析：本题无法直接使用定义、柯西判别法、达朗贝尔判别法,或比较判别法以及其他的判别法进行判断,因此可选用基本定理进行判断.解 记,则级数的前项和所以原级数的部分和数列有上界,于是原级数收敛.定理2.2 2 (级数收敛的柯西准则) 级数收敛的充要条件是：对任意给定的正数,总存在,使得当时,对于任意的正整数,都成立着对于正项级数,由于,因此,只要即可.注：当级数的通项为等差或等比数列,或通项为含二项以上根式的四则运算,且通项极限无法求出时,可以选用定义和柯西收敛原理进行判断.例2 解 取,若令,则因此,由柯西收敛原理知级数发散.例3解 =则.所以,由级数收敛的定义知原级数收敛.定理2.31 若级数与

5、都收敛，则对任意常数，级数也收敛.定理2.41 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性.定理2.51 在收敛级数的项中任意加括号,既不改变级数的收敛性,也不改变它的和.定理2.6 2 （比较审敛法）设和是两个正项级数,如果存在某正数N,对一切都有则（i）若级数收敛,则级数也收敛；（ii）若级数发散,则级数也发散.比较审敛法的极限式设和是两个正项级数.若有,则（1）当时,级数与同时收敛或同时发散；（2）当时,若级数收敛,则也收敛；（3）当时,若级数发散,则也发散.注：当级数的通项型如或含有等三角函数的因子时,可以通过对其进行适当的放缩,然后再与几何级数、级数等常见的已知其敛散性的级数

6、进行比较,选用比较判别法进行判定.例4 判别正项级数6 收敛.解 因为,而级数收敛,所以由比较判别法知级数收敛.例5 判别正项级数 的敛散性.解 因为存在正整数,当时,有,而正项级数是收敛的,所以由比较判别法知级数收敛.定理2.7 2 柯西判别法（根式判别法）设为正项级数.且存在某正数及正常数,则（i）若对一切,成立不等式1,则级数收敛；（ii）若对一切,成立不等式,则级数发散.柯西判别法的极限形式：对于正项级数,设那么,当时,级数收敛;当时,级数发散;当时,级数的收敛性需要进一步判定.例6判定正项级数的敛散性.分析：本题级数的通项中含有,这种类型是柯西判别法的典型类型,只要取上极限进行判断即

7、可.解 记,则.所以,由达朗贝尔判别法的极限形式得级数收敛.定理2.8 2 比式判别法设为正项级数,且存在某正数及常数（）.(i)若对一切,成立不等式,则级数收敛;(ii) 若对一切,成立不等式,则级数发散.达朗贝尔判别法的极限形式：对于正项级数,当时,级数收敛；当时,级数发散；当时,级数的收敛性需要进一步判定.注：当级数的通项含有型如或,或分子、分母含多个因子连乘时,选用达朗贝尔判别法.例7 判别正项级数的敛散性.解 由于,所以级数发散.例8 判别正项级数的敛散性.解 由于所以,.故正项级数收敛.定理2.9 1 （积分判别法） 设为上非负减函数,那么正项级数与反常积分同时收敛或同时发散.注：

8、当级数的通项含有型如,为含有的表达式或可以找到原函数,或函数为上非负单调递减函数且时,可以选用积分判别法.例9 判别正项级数的敛散性.解 由于,则广义积分发散,所以由柯西积分判别法知原级数发散.定理2.10 1 （拉贝判别法）设为正项级数,且存在某正数及常数,(i) 若对一切,成立不等式,则级数收敛;(ii) 若对一切,成立不等式,则级数发散.拉贝判别法的极限形式设为正项级数,且极限存在,则(i)当时,级数收敛；(ii)当时,级数发散.注：当级数的通项含有阶乘与次幂,型如与时,而使用柯西判别法、达朗贝尔判别法时极限等于1等无法判断其敛散性的时候,可选用拉贝判别法.例10 讨论级数当时的敛散性.

9、解 无论哪一值,对级数的比式极限,都有,所以用比式判别法无法判别级数的敛散性.现在应用拉贝判别法来讨论,当时,由于 （）,所以级数是发散的.当时,由于（）,由拉贝判别法可知级数发散.当时,由于（）,所以级数收敛.定理2.111（对数判别法） 对于正项级数,若从某一项起,有,则级数收敛；若从某一项起,有,则级数发散.对数判别法的极限形式：对于正项级数,如果,那么,当时级数收敛；时级数发散；时级数的收敛性需要进一步判定.注：当级数的通项或时,可以选用对数判别法.例11 判别级数8的敛散性.解 因为,对,当时,有,所以原级数收敛.使用上面定理时，通常要根据通项的特点来使用相应的判别法,一般情况下有个

10、使用的先后顺序,顺序是：柯西判别法,达朗贝尔判别法,比较判别法,基本判别法.由此,我们可以得到正项级数的判别法是层层递进使用的,每当一种判别法无法判断时,就出现一种新的判别法来进行判断.3正项级数收敛判别法的推广前面我们介绍了判别正项级数敛散性的一些常用判别法,但是有些题目用那些常用方法判别时可能会经过特别麻烦的过程才能得到结果或者得不到结果.为了解决这个问题,我们将一些常用的判别法进行推广,就使得对某些级数的敛散性判别变得更加容易了.3.15D-C判别法对于级数,其中,若,那么（i）当时,级数收敛；（ii）当（含的情形）时,级数发散；（iii）当或或时,级数的收敛性待确定.例12判别级数的收

11、敛性.解 令,则有,.从而,由D-C判别法知,原级数收敛.3.23越项比值判别法设正项级数的通项是递减的,如果,则（1）当时,级数收敛；（2）当时,级数发散.3.37次数差审敛法若正项级数的一般项为关于项数的分式形式（若为整式则分母视为1）,设分子的最高次数为,分母的最高次数为.（1）若,则级数发散；（2）若,则级数收敛.证明 （1）当时,分四种情况讨论.若,则其部分和数列一定是一个单调增加无解数列,故部分和数列的极限不存在,由级数发散的定义,级数发散.若,则一般项的极限为分子、分母的最高次数的系数比,即一般项的极限不可能为0,根据级数收敛的必要条件,级数发散.若,此时的分子的次数高于分母的次

12、数,则有,根据极限审敛法,级数发散.若,此时的分子、分母的最高次数相同,则有,根据极限审敛法,级数发散.综上,若,级数发散.（2）若,设,则存在p1使得,根据极限审敛法,级数收敛.例13判定级数的敛散性.分析：这里我们把认为的最高次数为1,此时,猜想级数收敛.启示我们找一个收敛级数与该级数比较.解 因为得,因为级数收敛,由比较审敛法知收敛.例14 判定级数的敛散性解 由次数差审敛法,所以此级数发散.3.48柯西判别法的推广设为正项级数,若存在正定数,使得,则（i）当时,级数收敛；（ii）当时,级数发散.例15考察正项级数的敛散性.解 由于,故由柯西判别法的推广知此级数收敛.且容易看出这样判别较

13、运用柯西判别法来判定,显得更加简便快捷.3.58达朗贝尔判别法的推广设为正项级数,且,则（i）当-q-1时,级数收敛；（ii）当-1q+时,级数发散.例16考察正项级数的敛散性.解 由于,故达朗贝尔判别法失效,但由于,故由达朗贝尔判别法的推广知此级数收敛.3.612比较判别法的推广（1）若正项级数收敛,则级数也收敛（）；（2）若正项级数发散,且,则级数发散.证明 用数学归纳法和比较判别法来证明.（1）当时,因为级数收敛,所以,从而,即收敛.假设时收敛,则时,由得收敛,所以结论成立.（2）当时,由比较判别法知发散.假设时发散,则时,因为,所以发散,因此结论成立.例17 判别级数的敛散性.解 由级

14、数和级数收敛,可得级数收敛.再由比较判别法的推广得级数收敛.3.76拉贝判别法的推广引理6 设正项级数发散,则级数当时是收敛的,当时是发散的.其中,.证明 先证明时级数发散.因为正项级数发散,所以,并且单调递增.于是对任意,存在使得,从而于是,级数发散.当时,由比较判别法知级数发散.当时,同样因为正项级数发散,所以,并且单调递增.故对任意,存在,使得,这说明所以对正项级数适当的加括号后所得的级数是收敛的,从而,原级数收敛.定理 设正项级数（）发散.若正项级数（）满足 （3）则（i）当（包括）时级数收敛（ii）当时级数发散（iii）当R=1时级数的敛散性不定.证明 由,可以找到a满足,记.因为级

15、数发散,所以,由引理知级数是收敛的.这时,若记,则又由（3）知,当充分大,是常数时,其中,当充分大时可以保证上式右端大于0,从而由引理知级数收敛.当时,与上面的证明相似.当时,由（1）得,由引理知发散.3.84厄尔马可夫判别法设为递减的正值连续函数,又设,那么（1）当时,级数收敛；（2）当时,级数发散.厄尔马可夫判别法的推广设为递减的正值连续函数,为递增可导函数,并满足,如果,那么（1）当时,级数收敛；（2）当时,级数发散.证明 （1）设,由于,有,使当时,有.取使,则.于是当时,有,=.由于充分大且,故,又因,故,从而,固定,让,取极限得.于是由柯西积分判别法知级数收敛.（2）当时,则取充分

16、大,可得当时,.从而,常数,上式表明,无论多大,总有使某常数,从而积分发散.再由柯西判别法知级数发散.小 结正项级数是级数理论的重要组成部分,而它的敛散性的判定又是级数理论的核心问题.因此,正项级数敛散性的判定在理论和实际中都有广泛的应用.但敛散性的判别方法却不尽相同.一、介绍了正项级数常用的收敛判别法. 常用的收敛判别法有：基本判别法 如果正项级数的部分和数列具有上界,则此级数收敛.级数收敛的柯西准则 级数收敛的充要条件是：对任意给定的正数,总存在,使得当时,对于任意的正整数,都成立着对于正项级数,由于,因此,只要即可.比较审敛法 设和是两个正项级数,如果存在某正数N,对一切都有则（i）若级

17、数收敛,则级数也收敛；（ii）若级数发散,则级数也发散.柯西判别法（根式判别法） 设为正项级数.且存在某正数及正常数,则（i）若对一切,成立不等式1,则级数收敛；（ii）若对一切,成立不等式,则级数发散.达朗贝尔判别法（或称比式判别法） 设为正项级数,且存在某正数及常数（）.(i)若对一切,成立不等式,则级数收敛;(ii) 若对一切,成立不等式,则级数发散.积分判别法 设为上非负减函数,那么正项级数与反常积分同时收敛或同时发散.拉贝判别法 设为正项级数,且存在某正数及常数,(i) 若对一切,成立不等式,则级数收敛;(ii) 若对一切,成立不等式,则级数发散.对数判别法 对于正项级数,若从某一项

18、起,有,则级数收敛；若从某一项起,有,则级数发散.二、介绍了推广后的正项级数收敛判别法D-C判别法对于级数,其中,若,那么（i）当时,级数收敛；（ii）当（含的情形）时,级数发散；（iii）当或或时,级数的收敛性待确定.越项比值判别法 设正项级数的通项是递减的,如果,则（1）当时,级数收敛；（2）当时,级数发散.次数差审敛法 若正项级数的一般项为关于项数的分式形式（若为整式则分母视为1）,设分子的最高次数为,分母的最高次数为.（1）若,则级数发散；（2）若,则级数收敛.柯西判别法的推广设为正项级数,若存在正定数,使得,则（i）当时,级数收敛；（ii）当时,级数发散.达朗贝尔判别法的推广设为正项

19、级数,且,则（i）当-q-1时,级数收敛；（ii）当-1q+时,级数发散.比较判别法的推广（1）若正项级数收敛,则级数也收敛（）；（2）若正项级数发散,且,则级数发散.拉贝判别法的推广设正项级数（）发散.若正项级数（）满足则（i）当（包括）时级数收敛（ii）当时级数发散（iii）当R=1时级数的敛散性不定.厄尔马可夫判别法设为递减的正值连续函数,又设,那么（1）当时,级数收敛；（2）当时,级数发散.厄尔马可夫判别法的推广：设为递减的正值连续函数,为递增可导函数,并满足,如果,那么（1）当时,级数收敛；（2）当时,级数发散.当然,这只是正项级数收敛判别法及其推广的一小部分,除了这些之外,还有好多

20、其他判别法有待于我们进行更深刻的研究.致 谢随着这篇本科毕业论文的最后落笔,四年河北北方学院的学习生活也即将划上一个圆满的句号.这四年也注定将成为我人生中的一段重要旅程回忆.四年来,我的师长、我的领导、我的同学给予我的关心和帮助,使我终身收益,倍感珍惜.在本文的撰写过程中,韩振芳老师作为我的指导老师,她治学严谨,学识渊博,视野广阔,为我营造了一种良好的学术氛围.置身其间,耳濡目染,潜移默化,使我不仅接受了全新的思想观念,树立了明确的学术目标,领会了基本的思考方式,掌握了通用的研究方法,而且还明白了许多待人接物与为人处世的道理.其严以律己、宽以待人的崇高风范,朴实无华、平易近人的人格魅力,与无微不至、感人至深的人文关怀,令人如沐春风,倍感温馨.正是由于她在百忙之中多次审阅全文,对细节进行修改,并为本文的撰写提