正项级数的敛散性判别11

1、正项级数的敛散性判别xxx（x x x数学与统计学院x x x班 x x x x 邮编）摘要:正项级数是级数内容中的一种重要级数,它的敛散性是其最基本的性质.本文主要探讨正项级数的各种敛散性判别法,主要有柯西积分判别法、比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法以及一种优于达朗贝尔的判别方法.探讨了它们的证明过程及应用这些方法解决相关的实例,并对正项级数敛散性判别的方法进行了总结.关键词：正项级数；敛散性；判别法中图分类号：O122.71引言：级数是数学分析中的重要组成部分之一,而正项级数又是级数中最简单从而也是级数中最基础的一种级数.证明正项级数的敛散性是正项级数最重要的性质之一,而在解决级数的

2、问题时多半也要涉及到讨论级数的敛散性.由于正项级数在级数中的基础地位,所以讨论正项级数的敛散性是级数的一个基础内容,也是十分重要的内容之一,故正项级数敛散性判别法在数学分析中有着重要地位.2正项级数的基本概念2.1定义所谓无穷级数，就是指有一列无穷多个数，将此数列依次用加号连接起来，写成，就称为无穷级数，记为，其中称为通项或者第项.仅仅是一种形式上的相加，为了回答这种形式上的相加是否具有“和数”及这个“和数”的确切意义，我们首先令.,.这样对任何一个无穷级数，我们总可以做出一个数列并称为级数的次部分和（简称部分和）称数列为级数的部分和数列.级数就是无限多个数的和.若级数的每一项的符号都是正,则

3、称级数是正项级数.若级数的部分和数列收敛于有限值，即=.则称级数收敛，收敛于,记为.也称为级数的和数.若部分和数列发散，则称级数发散.当级数收敛时，又称为级数的余和.2.2正项级数收敛的基本定理设正项级数的部分和为，显然部分和数列为单调增加的，也就是，我们已经知道，如果这个数列具有上界，那么他的极限存在.如果这个数列没有上界，那么它发散到.由此我们得到了正项级数收敛的基本定理.正项级数收敛它的部分和数列有上界.正项级数发散到正无穷它的部分和数列无上界.基本判别定理解决了级数的一个收敛问题,它不必研究,而只需粗略地估计的值当时是否保持有界就可以了,这样就避开了中冠以的复杂表达式.它是判断正项级数

4、收敛（或发散）的最基本方法,但是我们在具体应用时却不大方便.由正项级数敛散性的基本判别定理可以推导出正项级数敛散性常用判别定理比较判别法及其极限形式，柯西判别法（又称根式判别法）及其极限形式，达朗贝尔判别法（又称比值判别法）及其极限形式，柯西积分判别法.3几个比较重要的级数在正项级数敛散性的判别中往往需要一个用于比较的因子,用这个因子的敛散性来判断一个级数收敛还是发散.常用的比较因子有三个几何级数、调和级数、p-级数.下面简单介绍一下这三个级数及它们敛散性的证明,便于后期能够更好地应用.3.1 几何级数(等比级数)讨论几何级数的敛散性,其中是公比.解：1）当时，已知几何级数的项部分和（i）当,

5、时,几何级数的部分和存在极限,且. 因此,当时,几何级数收敛,其和是,即.（ii）当时, 因此,当时,几何级数发散.2）当时,有两种情况:()当时,几何级数是 即几何级数的部分和数列发散.（）当时,几何级数是 即几何级数的部分和数列发散.于是,当时,几何级数发散.综上所述,几何级数,当时收敛,其和是,即几何级数收敛于，当时发散.3.2调和级数证明调和级数是发散的.证明： 设调和级数的项部分和是,即由于已知即当时,调和级数的部分和与是等价无穷大,即调和级数发散.3.3 P-级数讨论p-级数的敛散性,其中是任意实数（该级数又称为广义调和级数）.解：1）当时,广义调和级数就是调和级数,已知调和级数发

6、散,即p-级数发散. 2）当时,有.已知调和级数发散,根据比较判别法可知,当时,级数发散.3）当时,有.于是,有即级数的部分和数列有上界,从而级数收敛.综上所述,当时级数发散;当时收敛.在正项级数敛散性的证明中常借助于这三个级数敛散性为桥梁来判断其它级数的敛散性,所以必须要熟练掌握这三个级数.4几种常用的级数敛散性判别的方法4.1正项级数的比较判别法 由以上给出的基本定理，我们可以得到一个判别级数敛散性的基本方法.比较判别法 若两个正项级数和之间成立着关系：存在常数，使，或在某项以后（即存在，当时）成立以上关系式，那么：（i）当级数收敛时，级数也收敛.（ii）当级数发散时，级数也发散. 证明：

7、设级数和的部分和分别是和，于是有成立，当收敛时，有界，于是也必有界，得知收敛.当发散时，无上界，于是也没有上界，故发散.为了使比较判别法能更方便地应用，我们给出比较判别法的极限形式.比较判别法的极限形式 设正项级数和 ，若有，那么这两个级数同时收敛或同时发散. 证明：利用极限存在的定义，我们可以很容易地证明上诉结论.为此，取，则存在，当时，有再利用比较判别法便证明了此结论.当 时 即，和为两正项级数，取，则在正整数，当时，有即，于是，又收敛，则根据比较判别法有.若发散，则可能收敛可能发散.例如：发散，但收敛.发散，但发散.当时，因为，级数和是正项级数.取，则存在正整数，当时，有.于是，若收敛，

8、则由比较法，得收敛；若发散，则发散，若发散，则的敛散性不一定.比较判别法只适用于正项级数敛散性的判别，而寻求合适的级数是解题的关键.几何级数和级数常用来充当比较判别法中的级数.例1： 判别下列级数的敛散性.分析这是一个典型的例题，通项是关于的一个有理分式.应注意分母和分子中的最高幂次之差，通项为关于的一个有理分式的级数和相应的p-级数有相同的敛散性.本题中这一差数为，故应和的级数做比较.解：，而级数与有相同的敛散性，即同时发散，又发散，故由比较判别法，级数是发散的.例2： 用比较判别法的极限形式判别实例1中的级数的敛散性. 解：因为，故由比较判别法得知此级数发散.利用比较判别法，要将判定的级数

9、与几何级数比较，于是我们可以建立以下两个很有用的判别法柯西判别法和达朗贝尔判别发.4.2正项级数的柯西判别法柯西判别法 设为正项级数，若从某一项起（即存在,当时）成立着（为某确定的常数），则级数收敛；若，则发散. 证明：若当时成立，那么有而级数是收敛的，再根据比较判别法得知亦收敛；若当时成立，那么有，因此级数的一般项不趋于，故级数发散.柯西判别法的极限形式对于正项级数，设那么当时，此级数必为收敛，当时为发散，而当时，此级数的敛散性需要进一步判定.证明：i）当时，由于，总可以选取适当小的一个正数使，再按上下限的定理，在数列中只有有限多个数的n次根大于或等于，既是当时有 应用以证明的柯西判别法，此

10、处，立即得知，级数收敛.ii)当时，由于，则总可以取适当小的一个正数使.再由上下限定理，在数列中将有无穷多个数，它的次根大于或等于，即是说，将有无穷多个这样的（记为）使得 于是，级数的一般项必不趋于，即此级数发散. iii）时，我们举例说明级数和这两个级数的都等于，但前者发散，后者收敛，因此当时，此判别法失效.例3： 证明级数收敛.分析当级数的通项中含有或类似的表达式时，通常采用柯西判别法判别级数的敛散性.证：因为故由柯西判别法得知所给级数收敛.例4：判别级数的敛散性.解: 由于,所以根据柯西判别法的推论知,级数发散.4.3正项级数的达朗贝尔判别法达朗贝尔判别法 设为正项级数，若从某一项起成立

11、着（为确定的数），则级数收敛，若, 则级数发散.证明：我们假设从第二项起，即有，并且，故 由于，所以级数收敛，再由比较判别法知级数也收敛.若从某一项起，则对一切，皆有于是当时，级数的一般项将不趋于，故此极限发散.为了在实际应用中更方便，下面给出其极限形式.达朗贝尔判别法的极限形式 对于正项级数，当时，级数收敛.当时，级数发散.而当时，级数的敛散性须进一步判定. 证明：i）当时，由于，于是总可以找到一个适当小的数，使.再按照上下限定理，在数列中除去优先多个数外，其余数都小于.也就是说，存在自然数，当时，有成立，应用已经证明的达朗贝尔判别法，这里，故级数收敛.ii）当时，由于，那么我们总可以找到一

12、个适当小的正数使，在根据上下限定理，在数列中，除去有限多个数外，其余数都大于，也就是存在自然数,当时，有应用达朗贝尔判别法，级数发散. iii）当时，级数的敛散性需要进一步地判定.在此我们用两个例子来加以说明和这两个例子的，但前者发散，而后者收敛.例5： 判别级数的敛散性.解: 由于,所以根据达朗贝尔判别法的推论知,级数收敛.说明：当正项级数的一般项具有积、商、幂的形式,且中含有、以及形如的因子时,用达朗贝尔判别法比较简便.当正项级数的一般项为n次方形式,用柯西判别法比较方便.因这就说明凡能用比较判别法判定收敛性的级数，也能用根式判别法来判断，即根式判别法较之比较判别法更有效.但反之不能.由于

13、达朗贝尔判别法有时会失效，下面介绍一种优于达朗贝尔的判别方法.4.4定理： 对于正项级数，如果则当时，级数收敛；当时，级数发散. 在证明这个定理前要先给出一个引理引理（1）和（2）是两正项级数，如果从某一项起下列不等式成立，则（2）收敛蕴含着（1）收敛；级数（1）发散蕴含着级数（2）发散. 证明：取一自然数，使，设引理中的不等式恒成立，注意到引理中的三个不等式都可化为令则 1）当时，显然有. 2）当时，我们可以将写成的形式，其中，若则有；若，则可表示为的形式，使 ，若还不成立，则将此过程一次继续下去，经过有限次后，我们可以将表示成的形式，其中，反复使用不等式，于是我们得到下面的式子：于是对于，

14、恒成立.由级数的比较判别法就证明了引理的结论.下面证明定理4.4证：1）当 时，取，使得成立.根据定理的假设，存在自然数，当时，有， 取一实数，使.令，则级数收敛，且 ，故当n充分大以后应有：，即 ，且，根据引理知级数收敛.2） 当时，取，使得成立.根据定理假设，存在自然数，当时，有，令，则，因此，于是由引理及级数发散知级数也发散.说明：当时，此方法失效. 推论： 对于级数，如果，且，则当时级数收敛；当时级数发散.例6：讨论级数的敛散性. 解：因为，故不能用达朗贝尔的判别法来判别其敛散性.但是我们可以观察到， 根据推论知：当时级数发散；当时，级数收敛；当时，可由积分判别法知级数发散.4.5正项

15、级数的柯西积分判别法设为上非负减函数，则正项级数与反常积分同时收敛或同时发散.证明：由假设为上非负减函数，则对任何正数，在上可积，从而有，依次相加，得 若反常积分收敛，则对，有.于是，知 级数 收敛.反之，若级数收敛，则对任意正整数，有.又因为上非负减函数，故对任何，有, .故知，反常积分收敛.同理可证它们同时发散.例7： 判别级数的敛散性.分析:因为将换成连续变量,即是，显然函数在是单调减少的正值函数,所以可以用积分判别法.解:将原级数换成积分形式,由于,即收敛,根据积分判别法可知,级数也收敛.5判别正项级数敛散性方法的总结综上所述,判别正项级数的敛散性的方法多种多样,本文介绍的主要有比较判

16、别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、柯西积分判别法,以及一种优于达朗贝尔的判别方法.但是我们在判别正项级数的敛散性时要选用合适的方法.也就是说一种判别方法并不是对所有的正项级数都适用.对用给定的正项级数，我们可以按下列顺序进行判别： 1）首先观察其通项是否趋于零，如果通项不趋于零，则级数发散. 2）如果通项趋于零，可根据级数通项的特点，考虑用比较判别法、达朗贝尔判别法法、柯西判别法或优于达朗贝尔的判别法. 3）极其特殊的情况下，也可以用级数的部分和数列来判断级数的敛散性.总结了正项级数敛散性的判别法和解题思路后，我们就能更好地掌握如何选择正项级数敛散性的判别法，做到避繁就简，思路清晰，起到事半功

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