构造三垂直模型求解构成已知角的直线解析式

1、构造“三垂直”模型，求解“构成已知角度的直线”解析式【例1】如图1，在坐标系中，A（0，4），B（-2，0），OCAB于点C，求OC的表达式。【解析】（方法一）直线AB的斜率为2，故直线OC的斜率为-1/2，所以OC解析式为：y=-x/2；（方法二）过点C作CDy轴于点D，过点B作BECD，交DC延长线于点E（如图1-1）。则BCEDCOACOABOBCO，BCCO=BECD=BOAO=12，设C（m，2m+4），则：2(m+2) (0-m)=12，解得：m= -8/5，C（-8/5，4/5），OC解析式：y=(4/5)/(-8/5)x=-x/2。方法二构建了“三垂直”模型，利用比例

2、关系解得点C坐标，再用“两点式”求解直线解析式，在此题中显得繁杂，但是揭开了解决此类问题的“通用方法”。【例2】如图2，在坐标系中，A（-1，0），B（0，-3），直线BC交x轴于点C，ABC=45 º，求BC的函数表达式。【思路】利用ABC=45º构建等腰直角三角形，再构建“三垂直模型”求出直角顶点坐标。【解析】过点A作ADBC于点D；过点D作DEx轴于点E，过点B作BFED，交ED延长线于点F（如图2-1）。则ABD为等腰直角三角形，AEDBDF，DE=BF，AE=DF；设D（x，y），则：0-y=x，   x+1=y+3，解此方

3、程组，得：x=1，y=-1，D（1，-1），直线BC解析式：y=(-1+3)/(1-0)x-3，化简得：y=2x-3.【练习1】如图L1，在坐标系中，A（-1，2），B（5，-1），直线ACAB与x轴交于点C，求直线AC的解析式。【提示】用“斜率法”。【练习2】如图L2，A（0，1），B（3，0），直线BC交y轴于点C，ABC=45 º，求BC的函数表达式。【提示】如图L2-1，构建“三垂直模型”，求出点D坐标。【例3】如图3，A（-2，-4），B（4，0），直线BC交y轴于点C，ABC=60º，求BC的函数表达式。【思路】利用特殊角构建直角三角形，再利用三边关系

4、构建“三垂直模型”。【解析】过点A作ADBC于点D，过点D作DEx轴，过点A作AEDE于点E，过点B作BFED，交ED延长线于点F（如图3-1）。ABC=60º，ADDB=31，易知ADEBDF，EDFB=AEDF=31；设D（x，y），则：（x+2）y=31， （y+4）(4-x)=31，解得：x=5/2-3，y=33/2-1；D（5/2-3，33/2-1），BC解析式：y=(33/2-1)/( 5/2-3-4)(x-4)，化简得：【练习3】如图L3，A（0，1），B（3，0），直线BC交y轴于点C，ABC=30º，求BC的函数表达式。【提示】如图L3-1，构建

5、“三垂直模型”，求出点D坐标。 【例4】如图4，A（0，-4），B（4，0），直线y=-3x和直线AB交于点C，点P是y轴上一点，且OCP=3OAB，（1）求点C的坐标；（2）求直线BP的函数表达式。【思路】易知OAB=45º，所以OCP=135º，OCP的邻补角为45º。构建“三垂直模型”求解点P坐标。【解析】（1）略。C（1，-3）；（2）过点P作PECP，交OC于点E，过点E作EFy轴于点F，过点C作CGy轴于点G（如图4-1）。OAB=45º，OCP=135º，PCE=PEC=45º；易知PEFPCG，G（0，-3）

6、设P（0，p），E（e，-3e），则p+3e=1，-3-p=e，解得：p= -5，BP解析式：y=5x/4-5。【备注】也可以如图4-2那样构造“三垂直”，求得P坐标。【例5】（综合运用，2018天津中考第25题）在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（1，0）。已知抛物线y=x²+mx-2m(m是常数)，顶点为P。（1）当抛物线经过点A时，求顶点P的坐标；（2）若点P在x轴下方，当AOP=45º时，求抛物线的解析式；（3）无论m取何值，该抛物线都经过定点H。当AHP=45º时，求抛物线的解析式。【解析】（1）略。解析式：y=x²+x-2，P（-1/2

7、，9/4）；（2）P（-m/2，-（m²+8m）/4），P在x轴下方，-（m²+8m）/40，m0或m-8；AOP=45º，OP解析式：y= -x，-（m²+8m）/4=m/2，解得m= -10，或m=0（舍去）。抛物线解析式：y=x²-10x+20；（3）易知H（2，4）。当点P在AH下方时，过点A作ABHP于点B，过点B作BCx轴于点C，过点H作HDCB，交CB延长线于点D（如图5-1）。则ABH为等腰直角三角形，ABCBHD，HD=BC，AC=BD；设B（x，y），则D（x，4），C（x，0），故：x-1=4-y，x-2=y，解得：x=7

8、/2，y=3/2，B（7/2，3/2），直线BH解析式为：y=(4-3/2)/(2-7/2)(x-2)+4，化简得：y= -5x/3+22/3，P在直线HB上，-（m²+8m）/4=(-m/2)·(-5/3)+22/3，化简得：3m²+34m+88=0，解得：m=-22/3(m=-4舍去)；此时抛物线解析式为：y=x²-22x/3+44/3；当点P在AH上方时，由知：斜率为3/5，故解析式为：y=(3/5）(x-2)+4，化简得：y= 3x/5+14/5，P在直线HB上，-（m²+8m）/4=(-m/2)·(3/5)+14/5，化简得：3m²+34m+88=0，解得：m= -14/5(m=-4舍去)；此时抛物线解析式为：y=x²-14x/5+28/5；综上所述，当AHP=45º时，抛物线的解析式为：y=x²-22x/3+44/3；或y=x²-14x/5+28/5。 【练习4】如图L4，A（0，6），B（6，0），直线y=3x+3与坐标轴交于点C、D，点P是直线AB上的一点，且APC=CDB。（1）求DCP的度数；（2）求点P的坐标