极限思想在解压轴题中的运用

1、极限思想在解高考压轴题中的运用 摘 要：尽管函数与数列的极限已经从高中教材被删掉了，但数学中长期以来形成的极限原理和极限思想在探索问题与解决问题中的作用是难以被替代的，尤其是对特优生的培养，我们更应该加强他们极限思维的训练，提升其灵活应用数学去解决实际问题的能力。关 键 词：极限 转化与化归 洛必达法则 众所周知，高考不但重视数学知识的应用而且更加注重思维品质、思想方法的考查，尤其知识交汇处的题目在高考压轴题中屡见不鲜。从近几年全国各地压轴题的命题视角上看，试题多在递推数列、数列与函数、数列与不等式、函数与导数、函数与不等式、解析几何等等知识交汇处出现，着重考查学生的综合运用知识的能力、知识迁

2、移能力以及创新能力。这需要学生熟练掌握函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想、有限与无限思想、或然与必然思想以及临界与极限思想。而极限思想在我们平时学习与生活中随处都在用，在边缘知识的研究和边缘学科的发展与创新中确还不可或缺。通过对近几年高考题的研究，很多压轴题如果寻常规，不但不容易想到方法而且即使想到方法计算量也很大。如果我们能挖掘出题目中的极限思想，应用极限知识来解决，就会达到事半功倍的效果。下面结合近几年考试题进行展示，以求抛砖引玉。例1（2010大纲全国卷理数22题）已知数列中， .（）设，求数列的通项公式；（）求使不等式成立的的取值范围 .注：此

3、题第二问难度相当大，参考答案用到了数学归纳法、分类讨论思想、迭代思想。实际上，如果我们充分认识题目所给条件的内在含义“单调递增且存在极限，且极限在内”那么这个问题就相当简单了。解：（）由题由将其代人式整理得，所以。又。 （）因为，所以单调递增且存在极限。又，设则。由。另外，。综上，。例2（2008辽宁理数22题）设函数.（）求的单调区间和极值;（）是否存在实数,使得关于的不等式的解集为?若存在,求的取值范围;若不存在,试说明理由.注：（1）此题第二问看起来就是一个最值问题，但是由于是开区间，所以令很多人无功而返。为了避免这个问题参考答案应用了高等数学里的级数思想。实际上，只要我们运用极限知识，

4、这类问题也是可以解决的。（2）为了说明极限思想在解题中的优越性，这里简要介绍洛必达法则：对于型与型函数的极限，它等于把它的分子、分母分别求导后其商的极限。解：（）的增区间为，减区间为。的极大值为，没有极小值。（过程略）（）存在实数,使得关于的不等式的解集为。由题只需，所以由问题转化为求函数在上的最小值了。由（）我们知道函数在区间的两端取得最小值，由洛必达法则得。 另外，。即，所以。例3（2010大纲全国卷理数22题）设函数（）证明：当时，；（）设当时，求a的取值范围注：此题第一问考查构造函数的思想，应该说在导数那个地方我们经常应用，第二问出题人是要想考查学生的分析问题的能力、转化与化归思想以及

5、分类讨论思想，我们知道分类讨论的分类标准是学生普遍感觉很困难的，又尤其是一些隐藏得比较深的问题，就更加缩手无策了。对于这个题，如果我们灵活应用导数的几何意义以及导函数的几何意义，就可以把它转化为直线斜率与函数的切线的斜率大小关系问题，从而避免分类难的问题了。解：（）证明：因为，所以 令，又单调递增， 在单调递减，在单调递增，即。所以。（）解：当时显然成立。仅考虑，所以。令， ，即函数在递增。另外，而（令，所以），所以单调递增。我们知道表示图像上点切线的斜率，现在单调递增，即图像上点切线的斜率越来越大。所以，要使成立，只需直线的斜率小于或等于函数在处的斜率就行了，即。而由在有意义，得。综上，。例4（2013全国新课标卷I理数12题）。，A. B. C. D. 解：本题选B。由已知为定值。所以点。又。即，即点 无限地向短轴的端点靠近，所以三角形的面积无限增大。 本题表面上看是一个单纯的数列难题，如上解析却把它当作了集数列、椭圆、极限、数形结合的综合题，无疑难度大大降低了。例5（2014福建理数20题）已知函数 （I）求a的值及函数的极值； （II）证明：； （III）证明：。分析：问题（I）、（II）略。问题（III）等价于：。令，另外，由洛必达法则则的图像的下方（即）。所以原命题得证。随着新课标的推进，高考考查知识的方式更灵活，考查知识的应用能力将进一步增