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1、求数列极限的几种典型方法首先我们要知道数列极限的概念:设为数列，为定数，若对任给的正数，总存在正整数N，使得当nN时有，则称数列收敛于，定数则称为数列的极限，并记作 （）。若数列没有极限，则称不收敛，或称为发散数列。下面我们来研究求数列极限的几种方法：方法一：应用数列极限的定义例一：证明，这里为正数。证明：由于 故对任给的，只要取，则当时就有 这就证明了。 用定义求数列极限有几种模式： （1），作差，解方程，解出，则取或 （2）将适当放大，解出； （3）作适当变形，找出所需N的要求。方法二：（迫敛性）设收敛数列都以为极限，数列满足：存在正整数,当时有： 则数列收敛，且。例二：求数列的极限。 解

2、：记，这里 （，则有 由上式的 ,从而有 数列是收敛于1的，因为任给的，取，则当时有，于是上述不等式两边的极限全为1，故由迫敛性证得。 方法三：（单调有界定理）在实系数中，有界的单调数列必有极限。 例三：设其中实数，证明数列收敛。 证明：显然数列是递增的，下证有上界，事实上， 于是由单调有界定理知收敛。 方法四：对于待定型利用e 例四：求 解：因e，而 .=e即 故方法五：（柯西收敛准则）数列收敛的充要条件是：对任给的，存在正整数N，使得当n，m时，有 例五：证明任一无限十进小数=0.的n位不足近似（n=1，2，）所组成的数列 满足柯西条件（从而收敛），其中为中的一个数，证明：记，不妨设，则有

3、 对任给的，取,则对一切，有 这就证明了题目满足柯西条件，从而收敛。方法六：Stolz定理：设n>N时，且，若（为有限数或无穷大），则 例六：求 （解： = 方法七：形如数列极限例七：设，其中k与为正数，则收敛于的正根。解：因为，所以对一切n有，则是一有界数列，但非单调。事实上，若，则，考察 由于故收敛，从而收敛，由于，则在等式两边取极限，得，故是方程的正根。 方法八：利用积分求数列极限 众所周知，如果在上正常可积，则，其中。对于反常积分，我们可以证明如下结论： 命题1：设在（0，1) 是单调的，x=0，x=1可以是的奇点，如果收敛，则 命题2：设在（0，单调，且收敛，则 例八：设常数，试求极限解：令 则 所以方法九：阶的估计法 特别的： 在用阶的估计来求极限过程中需要初等函数的泰勒公式 常用估计式有：更一般地：以上表达式中x可换成，其中，例如： 例九：试证明证明：因为 所以 从而 参考文献【1】 数学分析 上册第三版 华东师范大学数学系编 北京：高等教育出版社，2001 （2006重印）。 【2】 数学分析 上册 华东师大第三版

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