泰勒公式及其应用(康林)

1、本科生毕业论文(设计)题 目： 泰勒公式及其应用 学生姓名： 康 林 学 号： 200810010207 专业班级： 应数08102班 指导教师： 邹 庆 云 完成时间： 2012年5月 泰勒公式及其应用 数学与应用数学专业学生：康林 指导老师：邹庆云 目 录摘要1关键词10引言11 带有不同余项的泰勒公式的内容及特点21.1 带有佩亚诺（Peano）型余项的泰勒公式21.2 带有拉格朗日（Lagrange）型余项的泰勒公式22 泰勒Taylor公式的应用32.1 利用泰勒公式求极限32.1.1 应用泰勒公式求极限时，常用到的展开式32.1.2 利用泰勒公式求不定式的极限42.2 泰勒公式在不

2、等式证明中的应用52.2.1 简单不等式的证明52.2.2 有关定积分不等式的证明62.2.3 一般不等式的证明72.3 泰勒公式在近似计算方面的应用82.3.1 近似计算估值82.3.2 定积分的近似计算82.4 泰勒公式在证明中值问题中的应用92.5 估计无穷小量的阶102.6 利用泰勒公式判定二元函数极限的存在性122.7 泰勒公式在其他方面的应用132.7.1 利用泰勒公式求函数在点处的高阶导数132.7.2 求某些微分方程的解142.7.3 求行列式的值16参考文献：18致 谢:18摘要：泰勒公式是数学分析中非常重要的内容,集中体现了微积分“逼近法”的精髓,在微积分的各个方面都有重要

3、的应用.本文论述了泰勒公式的一些基本内容，并主要采用举例分析的方法，阐述了泰勒公式在求极限，不等式的证明，近似计算，中值问题的证明，估计无穷小量的阶，判定二元极限的存在性以及求高阶导数、求微分方程的解，求解行列式等方面的应用及技巧.通过以上几个方面的研究，使我们在特殊的情况形成特定的思想，使解题能够起到事半功倍的效果.关键词： 泰勒公式，应用，微积分，极限，行列式Abstract：Taylor's formula is very important mathematical analysis of the contents of a concentrated expression of

4、 the calculus "approximation" of the essence, the calculus of various important aspects of the application. This article discusses some of the basic Taylor formula, and the analysis of the main methods used, for example, described in the Taylor formula for the limit, the inequality that ap

5、proximate calculation, the value of the proven, it is estimated that a small amount of the endless band, the dual determine the limit And the existence of derivatives for high-end, and the solution of differential equations, such as the determinant for the application and skill. Through the above as

6、pects of the study so that we in the special circumstances of a particular ideology, so that problem solving can play a multiplier effect.Key words:Taylor's formula, Applications, Calculus , Limit , Determinant；0引言多项式函数是各类函数中最简单的一种，用多项式逼近函数是近似计算和理论分析的一个重要内容.泰勒公式的特点就在于用一个n次多项式去逼近一个已知的函数，而且这种逼近具有很

7、好的性质，充分体现了微积分“逼近法”的精髓，在数学的多个方面都有运用. 1 带有不同余项的泰勒公式的内容及特点1.1 带有佩亚诺（Peano）型余项的泰勒公式若函数在点处n阶可导，则带Peano型余项的Taylor公式为： （1.1）带Peano型余项的公式Taylor对函数的展开要求较低，它只要求在点处n阶可导，展开形式也较为简单.（1.1）说明当时用左端的Taylor多项式代替所产生的误差是的高阶无穷小，这反映了函数在时的性态，或者说反映了在点处的局部性态.但Peano余项难以说明误差范围，一般不适应对此余项作定量估计.换句话说，带Peano型余项的Taylor公式适合于对在时作性态分析.

8、因此，在处理时的极限计算问题时，可以考虑对有关函数采用这种展开方式，从而达到简化运算的目的.1.2 带有拉格朗日（Lagrange）型余项的泰勒公式若函数在点的某领域内阶可导，则带Lagrange型余项的Taylor公式为：（介于之间） （1.2） 带Lagrange型余项的Taylor公式对函数的展开要求较高，形式也相对复杂，但因为（1.2）对均能成立（当不同时，的取值可能不同）.因此，这反映出函数在领域内的全局性态.对Lagrange余项通常情况下可以作定量估算，确定其大致的误差范围.因此，带Lagrange型余项的Taylor公式适合于研究在区间上的全局性态，例如：用于证明中值问题的等式

9、或不等式关系，等等.2 泰勒Taylor公式的应用2.1 利用泰勒公式求极限对有些极限问题，利用带Peano型余项的泰勒公式求出极限是十分有效的方法，要比诸如洛必达法则，等价无穷小代换的方法来得简便，但需要对一些常用的泰勒公式较熟悉.2.1.1 应用泰勒公式求极限时，常用到的展开式 （1）（2）（3）（4）（5）（6） 上述展开式中的符号表示当时，它是一个较高阶的无穷小，亦即有 ；根据这个定义容易验证：当时有：（1）（2）（3）（4）（5） 2.1.2 利用泰勒公式求不定式的极限例1，求极限解： 因而求得利用泰勒公式方法计算极限的实质是一种利用等价无穷小的替代来计算极限的方法.我们知道，当时，

10、 等.这种等价无穷小其实就是将函数用泰勒公式展开至一次项.有些问题用泰勒公式方法和我们已经熟知的等价无穷小方法相结合，问题又能进一步简化.例2，求. 解： 由, 于是 ，可以看出例2这道题，若是用洛必达法则是相当繁琐的，而用泰勒公式和等价无穷小的方法相结合来考虑来做就简单很多.运用泰勒公式方法求极限时，需要注意的一个问题是：将函数展开至多少项才可以呢？其实从例题中不难看出：只需要展开至分子和分母分别经过简化后系数不为零的阶数即可.2.2泰勒公式在不等式证明中的应用2.2.1 简单不等式的证明例3 当时，证明： 证明：取， 则 代入泰勒公式，其中 得 当 时 故 当时，得 . 有时候所要证明的不

11、等式是含有多项式和初等函数的混合不等式，不妨作一个辅 助函数并用泰勒公式替代，往往使证明方便简捷.2.2.2 有关定积分不等式的证明例4 设在上单调增加，且，证明： （2.2.1）证明：（1）先证 由题意，对，当时 故 （2.2.2） （2）再证 对，在点处的泰勒展开式为（在与之间） （2.2.3）因，所以 （2.2.4） 将分别代入式（2.2.4）并相加，得 （2.2.5） 对（2.2.5）式的两边在上的积分，则 （2.2.6） （2.2.7）故 （2.2.8）由式（2.2.2）与式（2.2.8）可知（2.2.1）式成立. 利用泰勒公式对定积分不等式进行证明，主要针对的类型是：已知被积函数二

12、阶或者二阶以上可导且又知最高阶导数的符号.通过直接写出的泰勒展开式，根据题意对展开式进行缩放，从而证明命题.一般不等式的证明例5在上，且，试证明 证明： 任取，对任意，利用泰勒公式及其条件可得 （2.2.9） （2.3.0） （2.2.0）+（2.3.0）得 所以有 即 （2.3.1） 设，使 根据（2.3.1）及0得 即 利用泰勒公式解决一般不等式的证明，只要适用于题目中的函数具有二阶或二阶以上导数且最高阶导数的大小或上下界可知的命题.在进行证明时，首先写出比高阶导数低一阶的泰勒展开式，然后恰当地选择等式两边的与.特别要注意的是：展开点不一定以为最合适，有时以为展开点，题目更容易处理.最后，

13、根据所给的最高阶导数的大小或界，对展开式进行缩放，从而使命题得证.2.3 泰勒公式在近似计算方面的应用2.3.1 近似计算估值例6计算的值，使其误差不超过.解：,由,得到有:故 ,当时,便有从而略去而求得的近似值为2.3.2 定积分的近似计算例7求的近似值,精确到.解：因为中的被积函数是不可积的（即不能用初级函数表达）,现用泰勒公式的方法求的近似值.在的展开式中以代替 x得逐项积分,得 上式右端为一个收敛的交错级数,由其余项的估计式知能够精确计算定积分的函数，只是大量函数中很少的一部分.事实上，在实际计算定积分时不能得到它的准确值时，即只能求出其近似值时，这时，运用泰勒公式对函数的定积分进行近

14、似计算是一种非常行之有效的好方法.2.4 泰勒公式在证明中值问题中的应用例8 设函数在上具有三阶连续导数，且,证明：在内至少存在一点，使.证明：由麦克劳林公式，得 (在0和之间)分别令，并将所得的两式相减，得 (,)由的连续性知，在上有最大值M和最小值m则有 由连续函数的介值定理知，至少存在一点，使得 . 例9 证明若与均存在且有限，则解法一 用Lagrange中值定理由存在，从而在时有界，可记为 ，因此 ，令 则 （） 有 （介于，之间） （2.3.2）又 存在，于是 由Lagrange中值定理，应有 （）从而 . 于是对上述 ， 使得 有 （2.3.3）令，则对 ，由式（2.3.2）和式（

15、2.3.3）得 也即有 因与均存在且有限，则 解法二 用Taylor公式 同解法一，在时有界，记为， 对 ，由Taylor公式有， 于是有 （2.3.4）由式（2.3.4）得出 对，可令，其余证法可仿照解法一写出. 相比较而言，前一种方法两次用到Lagrange中值定理，而在后一种方法中将其归并为一个二阶的Taylor公式，从而使叙述更为简洁，清晰.2.5 估计无穷小量的阶 如何估计无穷小量的阶，对于简单函数可用估猜法，但是对于复杂的函数就无能为力了，但用Peano型余项的Taylor公式就可迎刃而解.例10 当时，函数是多少阶无穷小量，其中是参数.解：因为 所以 故 当 时，y是2阶无穷小量

16、当 时，y是4阶无穷小量 . 通过应用泰勒公式对无穷小量的阶进行估计，可以简便有效地判定级数及广义积分的敛散性，下面举例进行说明：例11 讨论级数的敛散性.分析：直接根据通项去判断该级数是正向级数还是非正向级数比较困难,因而也就无法恰当选择判敛方法,注意到,若将其泰勒展开为的幂的形式,开二次方后恰与相呼应,会使判敛容易进行.解 ： 因为,所以,所以故该级数是正向级数.又因为,所以.因为收敛,所以由正向级数比较判别法知原级数收敛.例12由于收敛，所以2.6 利用泰勒公式判定二元函数极限的存在性 利用泰勒公式研究函数无穷小量的阶，在判定二元函数极限的存在性时，是一种非常有效的方法，其具体做法如下：

17、 给出 点的Taylor展开式特殊地，在点处的Taylor展开式为： 这里 .例13 求函数极限 解： 又 显然，当， 时 故所求极限不存在 .2.7 泰勒公式在其他方面的应用2.7.1 利用泰勒公式求函数在点处的高阶导数由泰勒展开的唯一性，并注意到泰勒公式的各项系数（），则可得高阶导数，即（）例14 求 在处的阶导数（）. 解：由泰勒公式 及 故 .2.7.2 求某些微分方程的解微分方程的解可能是初等函数或者非初等函数，如微分方程 （2.3.5）的求解问题便是如此，因而解这类方程时，我们可以设想其解可以表成泰勒级数的形式.进一步，我们还可以大胆设想可以表示成更为一般的幂级数的形式，从而得到了

18、解这类方程的一种重要方法.事实上，若，在某点的邻域内可以展开成关于的泰勒级数（或幂级数），则方程（1）的解在的邻域内也能展成关于的泰勒级数（或幂级数），即例15 微分方程 解：显然，可在的邻域内展开泰勒级数，故原方程有形如 （2.3.5）的幂级数解，将式（）及其导数代入原方程，得 即 令的同次幂系数为零，得 ， ， （ ）从而 ，即有 ， （）所以其通解为 即 .2.7.3 求行列式的值若一个行列式可看作的函数（一般是的次多项式），记作，按泰勒公式在某处展开，用这一方法可求得一些行列式的值.例16 求n阶行列式 （）解：记，按泰勒公式在处展开： （）易知 （）由式（）得，时都成立. 根据行列式求导的规则，有 ， ，（因为）于是在处的各阶导数为把以上各导数代入有若， 有 ；若， 有 .泰勒公式求解行列式这一方法在高等代数中没有介绍过，从而为行列式的求解又多了一种方法，也是用数学分析手段研究高等代数问题的初步探索. 参考文献： 1 裘兆泰等,M数学分析指导，北京：科学出版社 ，2004. 2 费定晖等,M吉米多维奇数学分析习题集题解（第三版）,山东科学技术出版社,19