正五边形尺规作图的画法及其他

1、正五边形尺规作图的画法及其他正五边形的画法第一种：圆内接正五边形的画法如下: 1、 作一个圆，设它的圆心为O；2、作圆的两条互相垂直的直径AZ和XY；3、作OY的中点M；4、以点M为圆心，MA为半径作圆，交OX于点N；5、以点A为圆心，AN为半径，在圆上连续截取等弧，使弦AB=BC=CD=DE=AN，则五边形ABCDE即为正五边形。第二种作法： 1. 以O为圆心，半径长为R画圆，并作互相垂直的直径MN和AP； 2. 平分半径OM于K，得OK=KM； 3. 以K为圆心，KA为半径画弧与ON交于H， AH即为正五边形的边长； 4. 以AH为弦长，在圆周上截得A、B、C、D、E各点，顺次连结这些点。

2、五边形ABCDE即为所求。第三种：圆内接正五边形的画法如下: 1、 作一个圆，设它的圆心为O；2、作圆的两条互相垂直的直径AZ和XY；3、作OY的中点M；4、以点M为圆心，MA为半径作圆，交OX于点N；5、以点A为圆心，AN为半径，在圆上连续截取等弧，使弦AB=BC=CD=DE=AN，则五边形ABCDE即为正五边形。以上两种图形的作法运用了所求图形边长与已知的线段长度的关系，用构造直角三角形的方法作出与所求图形的边长相等的线段，从而作出整个图形，这是尺规作图中常用的一种方法等线段法，即用已知图形的线段作出与所求图形边长相等的线段。正多边形的尺规作图是大家感兴趣的正三边形很好做；正四边形稍难一点

3、；正六边形也很好做；正五边形就更难一点，但人们也找到了正五边形的直规作图方法确实，有的困难一些，有的容易一些正七边形的尺规作图是容易一些，还是困难一些呢？人们很久很久未找到作正七边形的办法，这一事实本身就说明作正七边形不容易；一直未找到这种作法，也使人怀疑：究竟用尺规能否作出正七边形来？数学不容许有这样的判断：至今一直没有人找到正七边形的尺规作图方法来，所以断言它是不能用尺规作出的     人们迅速地解决了正三、四、五、六边形的尺规作图问题，却在正七边形面前止步了：究竟能作不能作，得不出结论来这个悬案一直悬而未决两千余年   

4、;   17世纪的费马，就是我们在前面已两次提到了的那个法国业余数学家，他研究了形如Fi （i为右下角标）22i（底数2指数2的i次幂）1 的数费马的一个著名猜想是，当 n3时，不定方程xnynzn没有正整数解现在他又猜测Fi都是素数，对于i0，1，2，3，4时，容易算出来相应的Fi：F03，F15，F217，F3=257，F4=65 537     验证一下，这五个数的确是素数F5=225+1是否素数呢？仅这么一个问题就差不多一百年之后才有了一个结论，伟大的欧拉发现它竟不是素数，因而，伟大的费马这回可是猜错了！F5是两素数之积：F5

5、641×6 700 417     当然，这一事例多少也说明：判断一个较大的数是否素数也决不是件简单的事，不然，何以需要等近百年？何以需要欧拉这样的人来解决问题？     更奇怪的是，不仅F5不是素数，F6，F7也不是素数，F8，F9，F10，F11等还不是素数，甚至，对于F14也能判断它不是素数，但是它的任何真因数还不知道至今，人们还只知F0，F1，F2，F3，F4这样5个数是素数由于除此而外还未发现其他素数，于是人们产生了一个与费马的猜想大相径庭的猜想，形如22i1的素数只有有限个但对此也未能加以证明

6、     当然，形如Fi=22i+1的素数被称为费马素数由于素数分解的艰难，不仅对形如Fi=22i+1的数的一般结论很难做出，而且具体分解某个Fi也不是一件简单的事     更加令人惊奇的事情发生在距欧拉发现F5不是素数之后的60多年，一位德国数学家高斯，在他仅20岁左右之时发现，当正多边形的边数是费马素数时是可以尺规作图的，他发现了更一般的结论：正n边形可尺规作图的充分且必要的条件是n=2k（2的k次幂）或 2k×p1×p2××ps，（1，2s为右下角标） 

7、60;   其中，p1，p2，ps是费马素数     正7边形可否尺规作图呢？否！因为7是素数，但不是费马素数     倒是正17边形可尺规作图，高斯最初的一项成就就是作出了正17边形根据高斯的理论，还有一位德国格丁根大学教授作了正257边形     就这样，一个悬而未决两千余年的古老几何问题得到了圆满的解决，而这一问题解决的过程是如此的蹊跷，它竟与一个没有猜对的猜想相关连     正17边形被用最简单的圆规和直尺作出来了，而正多边形可以换个角度被视为是对圆的等分，那么这也相当于仅用圆规和直尺对圆作了17等分，其图形更觉完美、好看高斯本人对此也颇为欣赏，由此引导他走上数学道路(他早期曾在语言学与数学之间犹豫过)，而且在他逝后的墓碑上就镌刻着一个正17边形图案     高斯把问题是解决得如此彻底，以致有了高斯的定理，我们对于早已知道如何具体作图的正三边形、正五边形，还进而知道了它们为什么能用尺规作图，就因为3和5都是费马素数(3=F0，5F1)；对于很久以来未找到办法来作出的正七边形，乃至于正11边形、正 13边形，现在我们能有把握地说，它们不可能