正弦定理和余弦定理教师版

1、正弦定理和余弦定理1 正弦定理：2R，其中R是三角形外接圆的半径由正弦定理可以变形：(1)abcsin_Asin_Bsin_C；(2)a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(3)sin A，sin B，sin C等形式，解决不同的三角形问题2 余弦定理：a2b2c22bccos_A，b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C余弦定理可以变形：cos A，cos B，cos C.3 SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.4 在ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝

2、角或直角图形关系式absin Absin A<a<baba>b解的个数一解两解一解一解难点正本疑点清源1在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在ABC中，A>Ba>bsin A>sin B；tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC；在锐角三角形中，cosA<sinB,cosA<sinC·2 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换1 在ABC中，若A60°，a，则_.2 (2

3、012·福建)已知ABC的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_3 (2012·重庆)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A，cos B，b3，则c_.4 (2011·课标全国)在ABC中，B60°，AC，则AB2BC的最大值为_5 已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc16，则三角形的面积为()A2 B8 C. D.题型一利用正弦定理解三角形例1在ABC中，a，b，B45°.求角A、C和边c. 已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a1，b，AC2B，则角A的大小为_

4、题型二利用余弦定理求解三角形例2在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且.(1)求角B的大小；(2)若b，ac4，求ABC的面积 已知A，B，C为ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2cos A0.(1)求角A的值；(2)若a2，bc4，求ABC的面积题型三正弦定理、余弦定理的综合应用例3(2012·课标全国)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，acos Casin Cbc0.(1)求A；(2)若a2，ABC的面积为，求b，c.1.在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.(1)若c2，C，且ABC的面积为，求a，b的值；(2

5、)若sin Csin(BA)sin 2A，试判断ABC的形状解(1)c2，C，由余弦定理c2a2b22abcos C得a2b2ab4.又ABC的面积为，absin C，ab4.联立方程组解得a2，b2.(2)由sin Csin(BA)sin 2A，得sin(AB)sin(BA)2sin Acos A，即2sin Bcos A2sin Acos A，cos A·(sin Asin B)0，cos A0或sin Asin B0，当cos A0时，0<A<，A，ABC为直角三角形；当sin Asin B0时，得sin Bsin A，由正弦定理得ab，即ABC为等腰三角形ABC为

6、等腰三角形或直角三角形2.(2011·浙江)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sin Asin Cpsin B (pR)，且acb2.(1)当p，b1时，求a，c的值；(2)若角B为锐角，求p的取值范围解(1)由题设并由正弦定理，得解得或(2)由余弦定理，b2a2c22accos B(ac)22ac2accos Bp2b2b2b2cos B，即p2cos B.因为0<cos B<1，所以p2，由题设知p>0，所以<p<.3.(2012·辽宁)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列(1)求cos

7、 B的值；(2)边a，b，c成等比数列，求sin Asin C的值题型四三角形形状的判定典例：(12分)在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)·sin(AB)，试判断ABC的形状 A级课时对点练(时间：40分钟满分：60分)一、选择题(本题共5小题，每小题5分，共25分)1在ABC中，A60°，B75°，a10，则c () A5 B10 C. D5 解析：由正弦定理得： ， c. 答案：C2(2010·茂名调研)已知a，b，c是ABC三边之长，若满足等式(abc)(abc)ab，则角C的大小为()A60° B90° C1

8、20° D150°解析：由(abc)(abc)ab得(ab)2c2ab.c2a2b2aba2b22abcos C.cos C，C120°.答案：C3在ABC中，已知sin Acos Bsin C，那么ABC一定是()A直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D正三角形解析：利用正弦定理、余弦定理把已知转化为三边关系，可得b2c2a2，因此A90°.答案：A4ABC中，AB，AC1，B30°，则ABC的面积等于()A. B. C.或 D.或解析：，sin C.0°C180°，C60°或120°.(1)当C

9、60°时，A90°，BC2，此时，SABC；(2)当C120°时，A30°，SABC××1×sin 30°.答案：D5(2010·上海卷)若ABC的三个内角满足sin Asin Bsin C51113，则ABC()A一定是锐角三角形B一定是直角三角形C一定是钝角三角形D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形解析：sin Asin Bsin Cabcabc51113设a5k，b11k，c13k，则cos C0，C为钝角答案：C二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)6在ABC中，2bac，B30

10、76;，ABC的面积为，那么b等于_解析：由2bac，两边平方a2c24b22ac，又SABCacsin Bac，ac6，a2c24b212，b2a2c22accos B4b2126，b242.b1.答案：17(2010·广东卷)已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a1，b，AC2B，则sin A_.解析：在ABC中，ABC180°，又AC2B，3B180°即B60°.由正弦定理，所以sin A.答案：8(2010·山东卷)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a，b2，sin Bcos B，则角A的大小为_

11、解析：sin Bcos Bsin，sin1，解得B.由正弦定理得sin A，即A.答案：三、解答题(本题共2小题，每小题10分，共20分)9(2010·重庆卷)设ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且3b23c23a24bc.(1)求sin A的值；(2)求的值解：(1)由余弦定理得cos A，又0A，故sin A.(2)原式.10已知平面四边形ABCD中，BCD为正三角形，ABAD1，BAD，记四边形的面积为S.(1)将S表示为的函数，(2)求S的最大值及此时的大小解：(1)在ABD中，由余弦定理得BD222cos ，又SSABDSBCDsin (22cos )sin

12、.所以Ssin，(0，)(2)(0，)，.所以时，即时，S取得最大值，最大值为1.B级素能提升练(时间：30分钟满分：40分)一、选择题(本题共2小题，每小题5分，共10分)1(2010·长春调研)锐角ABC中，若A2B，则的取值范围是()A(1,2) B(1，)C(，2) D(，)解析：ABC为锐角三角形，且A2B，B.A2B，sin Asin 2B2sin Bcos B，2cos B(，)答案：D2在ABC中，如果lg alg clg sin Blg ，并且B为锐角，则ABC的形状是()A等边三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等腰直角三角形解析：由已知得sin B，得B，由余弦

13、定理知：b2a2c22accos B，b2a2(a)22·a·a·cos a2，ab，又ca，a2b2c2.ABC为等腰直角三角形答案：D二、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分)3在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若三角形的面积S(a2b2c2)，则角C的度数是_解析：由S(a2b2c2)得absin C·2abcos C.tan C1.又0C，C45°.答案：45°4已知ABC三边满足a2b2c2ab，则此三角形的最大内角为_解析：a2b2c2ab，cos C，故C150°为三角形的最大内角答案：1

14、50°三、解答题(本题共2小题，每小题10分，共20分)5在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2c22b，且sin Acos C3cos Asin C，求b.解：由余弦定理得：a2c2b22bc cos A又a2c22b，b0.所以b2c cos A2，又sin Acos C3cos Asin C，sin Acos Ccos Asin C4cos Asin C，sin(AC)4cos Asin C，即sin B4cos Asin C.由正弦定理得sin Bsin C，故b4c cos A，由，解得b4.6在ABC中，角A、B、C所对边长分别为a、b、c，设a、b

15、、c满足条件b2c2bca2和，求角A和tan B的值解：由b2c2bca2，得，即cos A，又0A，A.又，CABB，sinsin B，整理得cos B sin Bsin Bsin B. cos Bsin B，则tan B.答案要点梳理1.(1)sin Asin Bsin C (2)2Rsin A2Rsin B2Rsin C(3)2b2c22bccos Aa2c22accos Ba2b22abcos C基础自测122.13.4.5.C题型分类·深度剖析例1解由正弦定理得，sin A.a>b，A60°或A120°.当A60°时，C180°

16、;45°60°75°，c；当A120°时，C180°45°120°15°，c.变式训练1例2解(1)由余弦定理知：cos B，cos C.将上式代入得：·，整理得：a2c2b2ac.cos B.B为三角形的内角，B.(2)将b，ac4，B代入b2a2c22accos B，得b2(ac)22ac2accos B，13162ac，ac3.SABCacsin B.变式训练2解(1)cos ，cos A2cos21，sin A.又·3，bccos A3，bc5.SABCbcsin A×5

17、15;2.(2)由(1)知，bc5，又bc6，根据余弦定理得a2b2c22bccos A(bc)22bc2bccos A361010×20，a2.例3解(1)由题设并由正弦定理，得解得或(2)由余弦定理，b2a2c22accos B(ac)22ac2accos Bp2b2b2b2cos B，即p2cos B.因为0<cos B<1，所以p2，由题设知p>0，所以<p<.变式训练3解(1)c2，C，由余弦定理c2a2b22abcos C得a2b2ab4.又ABC的面积为，absin C，ab4.联立方程组解得a2，b2.(2)由sin Csin(BA)si

18、n 2A，得sin(AB)sin(BA)2sin Acos A，即2sin Bcos A2sin Acos A，cos A·(sin Asin B)0，cos A0或sin Asin B0，当cos A0时，0<A<，A，ABC为直角三角形；当sin Asin B0时，得sin Bsin A，由正弦定理得ab，即ABC为等腰三角形ABC为等腰三角形或直角三角形课时规范训练A组1D2.C3.B4.5.26.4或57解(1)b2a·sin B，由正弦定理知sin B2sin A·sin B.B是三角形的内角，sin B>0，从而有sin A，A60°或120°，A是锐角，A60°.(2)10bcsin 60°，bc40，又72b2c2