步步高大一轮复习讲义高三数学54平面向量应用举例

1、§5.4平面向量应用举例1向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：ab_.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质ab_.(3)求夹角问题，利用夹角公式cos _ (为a与b的夹角)2平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角

2、函数、数列的综合问题此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质难点正本疑点清源1向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观，向量本身是一个数形结合的产物在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合2要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题1平面上有三个点A(2，y)，B，C(x，y)，若，则动点C的轨迹方程为_2河水的流速为2 m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为_3已知A、B是以C为圆心，半径为的圆上

3、两点，且|，则·等于() A B. C0 D.4某人先位移向量a：“向东走3 km”，接着再位移向量b：“向北走3 km”，则ab表示()A向东南走3 km B向东北走3 kmC向东南走3 km D向东北走3 km题型一应用平面向量的几何意义解题例1平面上的两个向量，满足|a，|b，且，a2b24.向量xy (x，yR)，且a22b221.(1)如果点M为线段AB的中点，求证：；(2)求|的最大值，并求此时四边形OAPB面积的最大值探究提高本题是一道典型的考查向量几何意义的应用问题求解第(2)问的难点就是如何利用第(1)问的结论来解决新的问题，突破这一难点的关键主要是从设点M为线段A

4、B的中点入手，借助条件及第(1)问的结论，去探究|的最大值等问题 已知非零向量与满足·0且·，则ABC为()A三边均不相等的三角形 B直角三角形C等腰非等边三角形 D等边三角形题型二平面向量与解析几何的综合问题例2已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x8，P为该平面上一动点，作PQl，垂足为Q，且·0.(1)求动点P的轨迹方程；(2)若EF为圆N：x2(y1)21的任一条直径，求·的最小值探究提高本题是平面向量与解析几何的综合性问题，涉及向量数量积的基本运算，数量积的求解以及轨迹、直线和圆、直线和椭圆中的最值等问题，该题的难点是向量条件的转化与应用，破

5、解此问题应从向量的坐标运算入手，这也是解决解析几何问题的基本方法坐标法在解题过程中应该注意结合向量的有关运算技巧，先化简后运算 已知圆C：(x3)2(y3)24及点A(1,1)，M是圆C上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且2，求点N的轨迹方程 题型三向量在解三角形中的应用例3已知在锐角ABC中，两向量p(22sin A，cos Asin A)，q(sin Acos A,1sin A)，且p与q是共线向量(1)求A的大小；(2)求函数y2sin2Bcos取最大值时，B的大小探究提高向量与三角函数的结合往往是简单的组合如本题中条件通过向量给出，通过向量的平行得到一个等式，这时向量的使命便告完

6、成向量与其他知识的结合往往是这种简单组合，因此这种题目往往较为简单 ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，设向量m(ab，sin C)，n(ac，sin Bsin A)，若mn，则角B的大小为_5.忽视对直角位置的讨论致误试题：(12分)已知平面上三点A、B、C，向量(2k,3)，(2,4)(1)若三点A、B、C不能构成三角形，求实数k应满足的条件；(2)若ABC为直角三角形，求k的值学生解答展示审题视角因和已知，则可得(含k的式子)，若三点不能构成三角形，则有三点共线；若ABC为直角三角形，则有一个角为直角，即某两边构成的角成直角，转化为某两个向量垂直，此时应根据直角顶点不同而进

7、行分类讨论，求得符合条件的k的值规范解答解(1)由三点A、B、C不能构成三角形，得A、B、C在同一条直线上，即向量与平行，4(2k)2×30，解得k.4分(2)(2k,3)，(k2，3)，(k,1)5分ABC为直角三角形，则当BAC是直角时，即·0，2k40，解得k2；7分当ABC是直角时，即·0，k22k30，解得k3或k1；9分当ACB是直角时，即·0，162k0，解得k8.11分综上得k2，1,3,812分批阅笔记(1)用向量研究平面几何问题，是向量的一个重要应用，也是高考的热点本题难度不大，属中档题(2)本题的错误非常典型造成错误的主要原因就是思

8、维定势所致第(1)问，三点不能构成三角形，从构成三角形的条件直接否定，转化成求解不等式，从而使问题变得复杂，无法进行下去第(2)问，由于思维定势，误认为A一定为直角，从而使解答不完整(3)考生书写格式不规范，不完整，也是失分的一个重要因素.方法与技巧1向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题2以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法3有关线段的长度或相等，可以用向量的线性运算与向量的模4用向量方法解决

9、平面几何问题的步骤(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；(3)把运算结果“翻译”成几何关系5向量的坐标表示，使向量成为解决解析几何问题的有力工具，在证明垂直、求夹角、写直线方程时显示出了它的优越性，在处理解析几何问题时，需要将向量用点的坐标表示，利用向量的有关法则、性质列出方程，从而使问题解决失误与防范1向量关系与几何关系并不完全相同，要注意区别例如：向量并不能说明ABCD.2构造向量解题，构造是关键，而向量的构造并不是唯一的，要根据题目进行调整3加强平面向量的应用意识，自觉地用向量的思想和方法

10、去思考问题课时规范训练(时间：60分钟)A组专项基础训练题组一、选择题1已知平面上直线l的方向向量e，点O(0,0)和A(1，2)在l上的射影分别是O1和A1，则e，其中等于() A. BC2 D22已知O是ABC所在平面上一点，若···，则O是ABC的()A内心 B重心C外心 D垂心3已知|a|2|b|，|b|0且关于x的方程x2|a|xa·b0有两相等实根，则向量a与b的夹角是()A BC. D.二、填空题4已知在ABC中，a，b，a·b<0，SABC，|a|3，|b|5，则BAC_.5已知ABO三顶点的坐标为A(1，0)，B(0,2

11、)，O(0,0)，P(x，y)是坐标平面内一点，且满足·0，·0，则·的最小值为_6已知i，j分别是x，y轴上的单位向量，一动点P与M(1,1)连结而成的向量与另一向量n4i6j垂直，动点P的轨迹方程是_. 三、解答题7如图，在等腰直角三角形ABC中，ACB90°，CACB，D为BC的中点，E是AB上的一点，且AE2EB.求证：ADCE.8已知点P(0，3)，点A在x轴上，点Q在y轴的正半轴上，点M满足·0，当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹方程B组专项能力提升题组一、选择题1平面上有四个互异点A、B、C、D，已知(2)·()0，则

12、ABC的形状是()A直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D等边三角形2. 如图，ABC的外接圆的圆心为O，AB2，AC3，BC，则·等于()A. B.C2 D33设D、E、F分别是ABC的三边BC、CA、AB上的点，且2，2，2，则与()A反向平行 B同向平行C互相垂直 D既不平行也不垂直二、填空题4在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若··1，那么c_.5在四边形ABCD中，(1,1)，则四边形ABCD的面积为_6给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动若xy，其中x，yR，则xy的

13、最大值是_三、解答题7. 如右图，在RtABC中，已知BCa，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问与的夹角取何值时·的值最大？并求出这个最大值8已知向量a(cos 23°，cos 67°)，向量b(cos 68°，cos 22°)(1)求a·b；(2)若向量b与向量m共线，uam，求u的模的最小值答案要点梳理1(1)ab(b0)x1y2x2y10 (2)a·b0x1x2y1y20(3)基础自测1.y28x (x0)22 m/s3.A4.B题型分类·深度剖析例1(1)证明因为点M为线段AB的中点，所以.所以(xy).

14、(2)解设点M为线段AB的中点，则由，知|1.又由(1)及a22b221，得|2|222222a22b21.所以|1.故P，O，A，B四点都在以M为圆心、1为半径的圆上，所以当且仅当OP为圆M的直径时，|max2. 这时四边形OAPB为矩形，则S四边形OAPB|·|ab2，当且仅当ab时，四边形OAPB的面积最大，最大值为2.变式训练1D例2解(1)设P(x，y)，则Q(8，y)由·0，得|PC|2|20，即(x2)2y2(x8)20，化简得1.所以点P在椭圆上，其方程为1.(2)因·()·()()·()()2221，P是椭圆1上的任意一点，设

15、P(x0，y0)，则有1，即x16，又N(0,1)，所以2x(y01)2y2y017(y03)220.因y02，2，所以当y02时，2取得最小值(21)2134，(此时x00)，故·的最小值为124.变式训练2解设M(x0，y0)、N(x，y)由2得(1x0,1y0)2(x1，y1)，点M(x0，y0)在圆C上，(x03)2(y03)24，即(32x3)2(32y3)24.x2y21.所求点N的轨迹方程是x2y21.例3解(1)pq，(22sin A)(1sin A)(cos Asin A)(sin Acos A)0，sin2A，sin A，ABC为锐角三角形，A60°.(

16、2)y2sin2Bcos2sin2Bcos2sin2Bcos(2B60°)1cos 2Bcos(2B60°)1cos 2Bcos 2Bcos 60°sin 2Bsin 60°1cos 2Bsin 2B1sin(2B30°)，当2B30°90°，即B60°时，函数取最大值2.变式训练3课时规范训练A组1D2.D3.D4.150°5.362x3y10 (x1) 7证明··|2···|2|cos 90°|2cos 45°|2cos 45

17、76;|2|20，即ADCE.8解设M(x，y)，A(a,0)，Q(0，b) (b>0)，则(a,3)，(xa，y)，(x，by)由·0，得a(xa)3y0.由，得(xa，y)(x，by)把a代入，得3y0，整理得yx2.动点M的轨迹方程是yx2.B组1B2.B3A4. 5. 627解，·0.，·()·()····a2··a2·()a2·a2a2cos .故当cos 1，即0，即与同向时，·最大，最大值为0.8解(1)a·bcos 23°·cos 68°cos 67°·cos 22°cos 23