2019-2020学年福建省三明市高二上学期期末数学试题(解析版)

1、第1 1页共 1717 页2019-2020 学年福建省三明市高二上学期期末数学试题、单选题1 1 .已知直线I的倾斜角为45，则I的斜率为（）A A . 3B B.1C C. 2D D . 323【答案】B B【解析】直接根据斜率和倾斜角的关系得到答案 【详解】k tan tan 1. .4故选：B. .【点睛】本题考查了倾斜角和斜率，属于简单题 2 2.已知 i i 为虚数单位，则复数 -2L-2L = =（）1 iA A.1 iB B. 1 1 i iC C. 1 1 i iD D. 1 1 i i【答案】A A【解析】 根据复数的除法运算，即可求解，得到答案 【详解】2i 1 i1 i

2、，故选 A.A.1 i 1 i【点睛】关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题13 3 .计算3083( ( ) )277211A A .B B.C C.D D .3323【答案】D D【解析】直接计算得到答案【详解】130A31 2 1. .由复数的运算，可得复数2i1 i本题主要考查了复数的基本运算,其中解答中熟记的除法运算方法,准确运算是解答的第2 2页共 1717 页2733故选：D. .【点睛】本题考查了指数幕的计算，属于简单题 4 4以1,2为圆心且过原点的圆的方程为 （）2A A X 1y 22話B B 2x 1y 22、522 22 -C C x1y 25D D x 1y 2

3、5【答案】 C C【解析】设圆方程为x 12y 22r2，代入点0,0，计算得到答案【详解】设圆方程为X 12y 22r2，代入点0,0得到r5,即圆方程为X 12y 225. .故选：C. .【点睛】本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力5 5 双曲线x22y_41的渐近线方程为（) )11AyxB B.yxC C y 2xD D y y 4x4x42【答案】 C C【解析】根据渐近线公式直接得到答案 . .【详解】2双曲线X21的渐近线方程为：y 2x. .4故选：C. .【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，属于简单题 1 126 6函数 y y - - x x 的图象大致是（）

4、x x第3 3页共 1717 页【答案】D D得到答案. .【详解】对比图象知：D满足条件 故选：D. .【点睛】本题考查了根据导数求单调区间，函数图像的识别，意在考查学生对于函数知识的综合应用 7 7.若x, y,，且xsin x ysin y 0，则下列不等式一定成立的是 （）2 2A A.x yB B.xyC C.x yD D.x y【答案】D D【解析】 设函数f x xsinx，函数为偶函数，求导得到函数的单调区间，变换得到f x f y，得到答案 1【解析】求导得到y-122xx2x31x2，得到函数单调性，根据单调性判断图象1 1212x31订2x31y y _ _ X X ,y

5、22x2，取y20得到xx xxxx故函数在0,上单调递减，在,0上单调递减，在2113上单调递2C C .i13第4 4页共 1717 页【详解】第5 5页共 1717 页设函数f x xsinx,函数为偶函数，则f x sinx xcosx 0在0,上恒成2即函数在0,上单调递增，在一,0上单调递减 22xsinx ysin y 0，即f x f y，根据单调性知x y. .故选：D. .【点睛】本题考查了利用函数单调性解不等式，构造函数f x xsinx是解题的关键【详解】故选：B. .【点睛】本题考查了根据直线和圆的位置关系求参数，意在考查学生的转化能力和计算能力8 8 .已知直线I:

6、2与圆O：x24有交点，若k的最大值和最小M ,m，则log|t|logr,m的值为（B B. 0 0【答【解根据直线和圆相交得到kt t1 k22，整理得到t24k22 22t k t 40，根据韦达定理得到t2Mm2t 4，计算得到答案 直线I:tt 2即kx y kt t0与圆O：y24有交点,kt1 k22整理得到t2 24 k 2t kt24当不等式取等号时,k对应最大值和最小值，此时Mmt24t24故logh| M logNmlogjq Mm logt1 0第6 6页共 1717 页、多选题第 5 5 页共 i7i7 页2 29 9 .已知方程mx ny 1m, n R，则（）A

7、A 当mn 0时，方程表示椭圆B B 当mn 0时，方程表示双曲线C C .当m 0时，方程表示两条直线D D .方程表示的曲线不可能为抛物线【答案】BDBD【解析】根据椭圆，双曲线，抛物线的定义依次判断每个选项得到答案【详解】A.A. 取m n 1，此时表示圆，错误；B.B. 当mn 0时，方程表示焦点在x轴或y轴上的双曲线，正确；C C 当m 0,n 0时，方程不成立，错误；D.D.方程表示的曲线不含有一次项，故不可能为抛物线，正确；故选：BD. .【点睛】本题考查了椭圆，双曲线，抛物线的定义，意在考查学生对于圆锥曲线的理解1010 如图，在长方体ABCD AiBiCiDi中，AB 5，A

8、D 4，AA3，以直线DA，C C .点A关于直线BDi对称的点为0,5,3D D .点C关于平面ABBiAi对称的点为8,5,0【答案】ACDACD【解析】根据点关于点，点关于直线，点关于平面的对称法则，依次判断每个选项得到答案 【详解】 根据题意知：点Bi的坐标为4,5,3,A正确；B的坐标为4,5,0,Ci坐标为0,5,3,故点Ci关于点B对称的点为8,5, 3,B错y轴、z z 轴，建立空间直角坐标系，则 （）占八Ci关于点B对称的点为5,8, 3第8 8页共 1717 页误；点A关于直线BDi对称的点为G 0,5,3,C正确;点C 0,5,0关于平面ABB1A1对称的点为8,5,0,

9、D正确;故选：ACD. .【点睛】 本题考查了空间中的对称问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力1111.下列说法正确的是（）x R，使得x2x 10;D应为充分不必要条件，得到答案【详解】A.A.命题若 x x y y 且x y，则x y”为真命题，正确；B.B. 逆命题是：若 a a 1 1，则直线ax y 10与直线x ay 20平行，即x y 10和x y 20平行，正确；C.C.若P:x R，使得x2x 10，则P:x R，使得x2x 10,C错误；D.D.x x y In x 1”是x 1,”的充分不必要条件，错误；故选：AB. .【点睛】本题考查了命题的真假判断，逆命题，特称

10、命题的否定，充要条件，意在考查学生的综合应用能力 x 31212 .已知函数f x e x，则以下结论正确的是 （）A A 命题若 x xy y 且x y，则y”为真命题B B.若直线axy 10与直线ay 20平行，则 a a 1 1 ”的逆命题是真命题C C 若PR，使得x2x0,则P:x R，使得x2x 10XIn x 1”是“x1,”的充要条件【答ABAB【解依次判断每个选项：判断知A正确；根据平行的性质知B正确；C选项应为第9 9页共 1717 页B正确;x则g x e x x 2，故函数在0,上单调递增，在2,0上单调递减,4在,2上单调递增，且g 2-2. .e4画出函数图象，如

11、图所示：当0 k时有 3 3 个交点. .e综上所述：存在实数k，使得方程f x kx有4个实数解，D正确；A A f X在R上B B f log52 f e2f InC C.方程f x1有实数解个实数解【答案】BCDBCDD D 存在实数k,使得方程f X kx有4【解析】求导得到函数的单调性得到A错误；判断o iog521e 1,ln 1得到B正确；根据f 327e1得到C正确；构造函数exx2，画出函数图象知D正确，得到答案 【详x 2e 3x故函数在上单调递减,3,上单调递增，A错误;0 log521e21,ln1，根据单调性知f Iog52In,kx, 易知当27e故方程f x1有实

12、数解,C正确;0时成立，当x 0时，k2，设g x第1010页共 1717 页故选：BCD. .71 1V 1T-4 3 -2 -1012K-1【点睛】本题考查了函数的单调性，比较函数值大小，方程解的个数，意在考查学生对于函数知识的综合应用. .三、填空题1313已知直线l:x 2y 1 0，则过点1,2且垂直于I的直线方程为 _【答案】2x y 40【解析】根据垂直得到k 2,计算直线方程得到答案 【详解】直线1:x 2y 10,则k11，根据垂直知k 2,2故直线方程为y 2x 12，即2x y 40. .故答案为：2x y 40. .【点睛】本题考查了根据垂直求直线方程，意在考查学生的计

13、算能力1414 为迎接2022年北京冬奥会，短道速滑队组织甲、乙、丙等6名队员参加选拔赛，比赛结果没有并列名次 记 甲得第一名”为P,乙得第一名”为q,丙得第一名”为r, 若P q是真命题，p r是真命题，则得第一名的是 _ . .【答案】乙【解析】根据P q是真命题，P或q为真命题，r为假命题，p为真命题，得到答案. .【详解】因为第一名只有一个，所以由P q是真命题，可得命题P与命题q有且只有一个为真命题，则r必为假命题，第1111页共 1717 页又因为p r是真命题，则p为真命题，故P为假命题，故q为真命题. .第1212页共 1717 页故答案为：乙 【点睛】本题考查了逻辑推理和命题

14、的判断，意在考查学生的逻辑推理能力321515 .已知f x是定义在R上的奇函数，当x 0时，f X 2x 3x a，则f 2_;曲线y f x在点2, f 2处的切线方程为 _【答案】412x y 20 032的解析式为f X 2x 3x,求导得到切线方程【详解】f x是定义在R上的奇函数，贝y f 02 2 1616 1212即12x y 200. .故答案为：4;12x y 20 0. .【点睛】 本题考查了函数的奇偶性，求函数值，函数的切线方程，意在考查学生对于函数知识的综合应用4为C的一个焦点，若tan PFQ -,QF 5 PF，则双曲线C的离心率为3【答案】、2【解析】如图所示：

15、连接PF1,QF1，根据对称性知PF1QF为平行四边形，计算得到【解析】根据奇函数得到a0，计算 f f 2 21616 12124，求得X 0时当x 0时，x 0,故fx2x33x22x33x2f x 6x26x,f212，故切线方12 x 21616 .设过原点的直线与双曲线2yb21 a 0,b0交于P,Q两个不同点,第1313页共 1717 页PF15a2PFa一，利用余弦定理计算得到答案2【详如图所示：连接PF1,QF1，根据对称性知PF1QF为平行四边形第1414页共 1717 页e 2. .故答案为：2. .本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的综合应用能力和计算能力 四、解答题

16、1717 .已知i是虚数单位，复数z 2 i 4 2i i. .(1)(1)求复数 z z 的模z；若z mz n 1 3i(m,n R,z是 z z 的共轭复数)，求m和n的值. .m 0【答案】(1)5(1)5 ; (2)(2). .n 3【解析】(1 1)化简得到z 4 3i，计算模长得到答案 (2 2)化简得到4 4m n 3 3m i 1 3i，计算得到答案 【详解】(1)(1)因为z 2 i 4 2i i，所以z 2 i 4i 24 3i，则z x/42325. .tan PFQ4，则cosPFQ3- cos5F1PFQF |PF5 PF,PFiPF 2a，故|PFi5a，pFi根

17、据余弦定理：4c225a2a25aa222 23， 化简得到c22a2， 故z 4 3i,z 4 3i，所以z mz n 4 3i m 4 3i n 1 3i,4 4mn 1,m 0即4 4m n 3 3m i1 3i，所以解得3 3m3,n 3【点睛】本题考查了复数的计算，模长,意在考查学生的计算能力 2x,x 0r r小1818 .已知函数f x且f f 21. .logax, x 0(1)(1)求实数a的值；当x 2,2时，求f x的值域. .【答案】(1)4(1)4; (2)(2),1. .【解析】(1 1)代入数据直接计算得到答案 (2 2)分别计算x 2,0和x 0,2的值域，综合

18、得到答案【详解】(1)(1)f2221,故f f 21 1fl0ga，令lOga1-1，解得a 44444当x2,0时，-xf x 2区间2,0上单调递增，所以fx -,1;4当x0,2时,f f x xl0gl0g4x x 区间0,2上单调递增，所以f x1,2，综上，当x 2,2时，函数f x的值域是,1. .【点睛】本题考查了根据函数值求参数，分段函数的值域，意在考查学生的计算能力 1919 .已知动点P在y轴的右侧，且点P到y轴的距离比它到点F 1,0的距离小1. .(1)(1)求动点P的轨迹C的方程；设斜率为1且不过点M 1,2的直线交C于A, B两点，直线MA,MB的斜率分别为K,

19、 k2，求k1k2的值 2【答案】(1)y 4x x 0； (2)0.(2)0.【解析】(1 1)根据题意知轨迹是抛物线，计算得到答案(2(2)设直线AB:y X b b3,Ax%,B X2,y2，联立方程，利用韦达 第 1111 页共 1717 页第1616页共 1717 页定理得到x12 27 7，x2专，代人计算得到答案. .【详解】(1)(1)依题意动点P的轨迹是抛物线(除原点)，其焦点为F 1,0，准线为x设其方程为y22pxp 0，则21，解得p2,所以动点P的轨迹C的方程是y24x x 0. .(2)(2)设直线AB:y,A花畀,B X2,y2,4x,得yx b,2y4b，即y4

20、y4b 0,16 16b0，所以b1,yiy24，因为XiX2所以kk2y22y12比144 y24 y124y22% 2y22因此k1k20. .【点睛】本题考查了轨迹方程, 定值问题，意在考查学生的计算能力2020 已知四棱锥PABCD的底面ABCD是等腰梯形,AB/CD,ACIBD O,PB AB2 2，AC PB. .平面ABCD(2)(2)求二面角A PD B的余弦值. .【答案】证明见解析；(2)(2)66第1717页共 1717 页【解析】(1 1)证明AC BD,PB AC得到AC平面 PBDPBD，得到证明(2 2)以OA,OB,OP所在直线分别为x轴，y轴，z z 轴建立空

21、间直角坐标系，计算平面virPAD的法向量为n 1, 2,1，平面PBD的一个法向量m 1,0,0，利用夹角公式 得到答案 【详解】(1)(1)在等腰梯形ABCD中，OA OB 2，Q AB 2 2，AB2OA2OB2，所以OA OB，即AC BD，又因为PB AC，且BDI PB B，所以AC平面 PBDPBD，又因为AC平面ABCD，因此平面PBD平面ABCD. .连接PO，由知，AC平面 PBDPBD，所以AC PO，所以PO、PA20A22，所以PB2PO2OB2，即PO OB，又Q OA OB，以OA,OB,OP所在直线分别为x轴，y轴，z z 轴建立空间直角坐标系,则A 2,0,0

22、，D 0, 1,0，rP0,0,2，UUUUJIV设平面PAD的法向量为nx,y,z，因为PA 2,0, 2，PD0, 1, 2，需VPA0,口2x 2z0,所以vULiV，即VPD0,y 2z0,令z 1，则x1，y2，所以平面PAD的一个法向量V1,2,1，irQ Q ACAC 平面 PBDPBD， 平面 PBDPBD 的一个法向量m 1,0,0，所以cos m, n所以二面角A PD B的余弦值为 6 6. .6【点睛】m n .6mn v3t第1818页共 1717 页本题考查了面面垂直，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力2121 阿基米德(公元前287年一公元前212年)不

23、仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积 已知平面直角坐标系2 2xOy中，椭圆C: %爲1aa bb 0的面积为2、3,两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形(1)(1)求椭圆C的标准方程；(2)(2)过点P 1,0的直线I与C交于不同的两点代B，求VOAB面积的最大值 【答案】【解析】(1(1)根据题意计算得到a 2,b a得到椭圆方程 (2)设直线|的方程为x my1,联立方程，根据韦达定理得到y1y26m3m24y1y293m，表示出43m2【详解】ab(1)(1)依题意有a2a2、3,2c,b2解得a 2,L 所以椭圆C

24、的标准方程是b 3,2y3(2)(2)由题意直线I的斜率不能为 0 0 ,设直线I的方程为x myx由方程组x24my 1,y2得3 m21,34 y26my 9设A X1, y1,B X2, y2,所以y1y26m，y1 y29,3 m24所以所以y1y2y24y1y212 m213m24SVOABOPy1y2(t 1),则m2丄2SVOABt 1,6t3t216_1,3t第1919页共 1717 页0恒成立,第2020页共 1717 页1 1因为 3t3t -在1,上单调递增，3所以当t 1,即m 0时，VOAB面积取得最大值为3. .2【点睛】本题考查了椭圆方程， 椭圆内三角形面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力 2222 .已知函数f x In x ax a R. .（1 1）讨论f x的单调性;m的取值范围. .1m t-根据函数的单调性得到取值范围t【详解】(1)(1)Q f0,且f x11 axx定义域为a,xx当 a a0 0 时，fx0,f x在0,上单调递增，当a0时