2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市第三中学高一上学期期末数学试题(解析版)

1、第1页共 17 页2019-2020 学年黑龙江省哈尔滨市第三中学高一上学期期末数学试题、单选题1.已知Axx21 0,By yxe，则AI B()A .0,+B.,1C.1,D.,1 U1,【答案】C【解析】求出集合A，B，直接进行交集运算即可【详解】A x x21 0 xx1或x 1，B y y exy y 0，A B x x 1故选：C【点睛】本题考查集合的交集运算，指数函数的值域，属于基础题.2 .化简cos480的值是（）1B.2【答案】B【解析】 利用终边相同的角同名函数相同，可转化为求120的余弦值即可【详解】1cos480 cos(360120 )cos120.故选 B.2【点

2、睛】本题主要考查了三角函数中终边相同的角三角函数值相同及特殊角的三角函数值， 容易题.3 .已知f x sin2x 3 cos2x，则f x的周期为（）A .B.2C. 1D. 2属于第2页共 17 页【答案】A第3页共 17 页周期【详解】x S2x3coS2x3)，周期为:故选：A【点睛】 本题考查两角和的正弦公式，三角函数的最小正周期，属于基础题14 .已知扇形的周长为6cm，圆心角为一，则扇形面积为(4【答案】【点睛】【答案】B区间为(1,2).【详解】 令f (x) Iog2X0,f (2) log22 2 2=10,【解析】 利用两角和的正弦公式化简函2代入周期计算公式T即可求得A

3、 .2cm2B8cm2 9C9cm2 8D .1cm2【解周长为6cm则2R I 6，代入扇形弧长公式解得代入扇形面积公式S 12【详解】2R即可得解.由题意知2R1所以S=_2故选：B1l 6,l -R代入方程解得464 = 89本题考面积公式，属于基础题5 .方程log2x x2的解所在的区间为(A(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D .(3,4)【解析】 令f(X)IOg2Xx 2，由f (1)f (2)0可知方程log2xx 2的解所在的因为f(1)f(2)0,所以f (x)在(1,2)上有零点,f (1) log21 1第4页共 17 页因此方程log2X x 2的解所在的区间为

4、(1,2).故选：B【点睛】本题考查求函数零点范围，属于基础题6 .已知 sinC3)2cos()sin ，则2sin2sin cos()213A .B.C.D .21022【答案】A故选：A【点睛】【详解】3112 2因为a logi-0，(丄)5(2)s0,所以 a c b3233故选：D【点睛】 本题考查利用对数函数及幕函数的单调性比较数的大小，属于基础题求等式化简为含tan的分式，代入tan3即可得解【详解】化简得3cossin，则ta n32si n2sincos2 tan2tan_ 21 2sin2costan21=10【解析】由三角函数诱导公式化简等式可得tan7 .比较,311

5、alog12，b (-)5,c323(|)15的大小()A .cb aB.c abC.ab cD. a c b【答案】D【解析】由对数函数的单调性判断出alog13320再根据幕函数1y在(0，)本题考查三角函数诱导公式二、六，同角三角函数的关系，属于基础题(护3，利用1 sin2cos2将所上单调递减判断出0,即可确定大小关系第5页共 17 页8 .为了得到y si n(2x-)的图象，可以将y sin2x的图象(A.向左平移11个单位B. 向左平移个单位1212C .向右平移个单位D. 向右平移个单位63【答案】A11【解析】 根据左加右减原则，只需将函数y sin2x向左平移个单位可得到

6、12y sin(2x).【详解】y sin2(x丄)sin(2x丄)sin(2x -)12 6 62 sin(2x -)，11即y sin 2x向左平移 个单位可得到y sin(2x-).126故选：A【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质，三角函数诱导公式，属于基础题9 .已知函数f (x) 2tan(2x ),(0(,0)，则该函数的一个单调递减区间是(12)，其函数图象的一个对称中心是2)【答案】D,n nB.(635_12,12【解析】由正切函数的对称中心得=-，得到f (x) 32ta n(2x第6页共 17 页k2x可解得函数的单调递减区间322因为(一,0)是函数的对称中心，所以

7、2 12126(kZ)因为0I，所以=3，f(x)2ta n(2xk2 2【详解】k右(kZ)，解得第7页共 17 页【点睛】 本题考查正切函数的图像与性质，属于基础题2310 .已知函数f(x) si n( x ) 2cos x 2，贝Uf (x)在0,上的最大值与最2642小值之和为()9711A .B.C. 0D.222【答案】D【解析】 首先利用两角和与差的正弦公式将函数化简为f(x) sin(x ) 3，当37x0,二时，二x,，由正弦型函数的单调性即可求出最值2 2 6 6 12【详解】当x 0,|时,sin(?) 3故选：D【点睛】2xk (k Z)，解得+32122k+ -12

8、 2(kZ),当k 0时，函数的一个单调递减区间是故选：D12f (x) sin( x23 . sin一x2 2c 22cos1 cos x2 2-x 2=2in-x+1cos-x422221 cos x2222f (x)maxf(0)sin(石)所以最大值与最小值之和为:112本题考查两角和与差的正弦公式, 正弦型函数的单调性与最值，属于基础题11.已知y sin x的图象在0,1上存在10个最高点，贝U的范围()第8页共 17 页【答案】A解得的范围.【详解】故选:【点睛】本题考查正弦函数图像的性质与周期，属于中档题则方程 f(x) m(1 m 4)在2019,2019上的所有根的和为()

9、A.1004B.3028C.2019D.2020【答案】D【解析】首先由题所给条件计算函数的周期性与对称性，作出函数图像，f(x) m(1 m 4)在2019,2019上的所有根等价于函数f(x)与y m图像的交点，从两函数的交点找到根之间的关系，从而求得所有根的和【详解】A .号即B.20 ,22 )C.37牛D.(20 ,22 )【解析】根据题意列出周期应满足的条解得441437，代入周期计算公式即可由题可知则41(9(1014)T14)T，解得T4143743737，_241212 .定义在R上的奇函数 f(x)满足f(x 4)f(x)，且当x0,2时，f第9页共 17 页函数 f(x)

10、为奇函数，所以f(x 4) f (x) f( x)，则 f(x)的对称轴为：x 2, 由f (x 8) f (x 4) 4) f (x 4) f (x)知函数周期为 8,作出函数图像如下：第10页共 17 页A1斗A3_LTJ,_AdBi11丿1.1J1 J1.1iy_s卫Z A-2/r46 /8 10WA6 X -2-V-Vf(x) m(1 m 4)在2019,2019上的所有根等价于函数f(x)与ym图像的交点，交点横坐标按如图所示顺序排列，因为f(2019) f (3) 1,f(2019)f( 3)1，所以两图像在 y 轴左侧有 504 个交点，在 y 轴右侧有 506 个交占八、X1X

11、2XX4X5X6|X100X10122222X1X2X3X4X5X6LX1009X10104X1X2X3X4X5X6LX1009X10102020故选：D【点睛】本题考查函数的图像与性质，根据函数的解析式推出周期性与对称性，考查函数的交点与方程的根的关系，属于中档题 二、填空题13 . tan22 +tan23 +tan22 n23 =_【答案】1解：因为 tan22 +tan23 +tan22 tan23 =tan(22 +23 )(1- tan22 tan23 )+【解第11页共 17 页tan22 fan23 =tan45 =114 .已知y loga(1 ax)在(1,2)上单调递增，

12、则a的范围是_3第12页共 17 页1【答案】0 a -2【解析】 令g(x) 1 ax，利用复合函数的单调性分论讨论函数g(x)的单调性，列出关于a的不等式组，求解即可.【详解】令g(x) 1 ax当a 1时，由题意知g(x) 1 ax在(1,2)上单调递增且y 1 ax 0对任意的x (1,2)a 1恒成立，则a 0，无解；g(1) 1 a 0当0 a 1时，由题意知g(x) 1 ax在(1,2)上单调递减且y 1 ax 0对任意的0 a 11x (1,2)恒成立，则a 0，解得 0 ag(2) 1 2a 01故答案为：0 a12【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性，同增异减，求解时注意

13、对数函数的定义域，属于基 础题.15函数y Asi n( x ) b，其中AO,0,|的图象如图所示，求y的2解析式_首先根据函数的最高点与最低点求出【解析】A, b，然后由图像求出函数周期从而计算出1，再由函数过点(,2)求出23第13页共 17 页【详解】A于4,b宁2,【点睛】本题考查由图像确定正弦型函数的解析式，第一步通过图像的最值确定二步通过周期确定的值，第三步通过最值点或者非平衡位置的点以及数 k 的取值范围是_ .3【答案】3,)2【解析】试题分析：当0 x1时，f(x) 1 x 11 (1 x) x,1 x 1,x 0,2又f (x) 1f (x 2),x (2,)2如图所示:

14、，解得4sin(x22，因为函数过点&,2),所以sin231423k (k Z)，解得k (k Z)因为丨丨于，所以故答案为：y 4s in(31x2y 4sin(A, b 的值，第1 x 1,x 0,216已知函数f (x)1，若x-f(x 2),x (2,)20时,f(x)k恒成立，则实x当1 x 2时，f (x)1 x 11(x 1) 2 x,第14页共 17 页x2(n1),2 n时，f(x)在x 2n 1处取得最大值，且f(x)maxf(2n 1),f(2n 1),则数列an是以 1 为首项，以为公比的等比数列,1($10时,f(x)12* 1，k恒成立，只需x f (2n2( n

15、 1),2 n上,k均有f (x)x恒成立,结合图形知:f(2n 1)令bn2n2* 1bn2n 12n 12n1盯2n 12* 12n 11时，bn 1bn2时，bn 1bn0,bn 1b2最大，(bn)max【考点】1函数图像;三、解答题17 .求下列各式的值(12cos2101oosin 35 cos35(2)2n 13 2n，bn,b1b2,bn,b2b32 22恒成立问题;b23,k3数列的最值b42n 1,k (n 1)max,2ooocos7 cos8 cos15cos23ocos8cos15o【答案】(1)2； (2)1.【解析】 首先利用公式cos21 cos 22降幕，然后

16、将20o写为9070o将cos20o化为sin 70即可得解;将7o记为15o8o,23o记为15o8o,再用公式C(),C()展开，然后化简求值第15页共 17 页第16页共 17 页sin15osin8osin15osin8o故答案为：2 ； -1【点睛】本题考查三角函数诱导公式，二倍角公式，两角和与差的余弦公式，属于基础题18.已知函数f(x) 2sin(2 x )13(1)写出函数 f(x)单调递减区间和其图象的对称轴方程;5(2)用五点法作图，填表并作出f (x)在,的图象.6 62x3xy=-TTT(2)见解析【详解】1 cos201(1)原式=2sin7o2sin 70osin7

17、0o(2)原式=cos(15o8。) cos8ocos15ocos(15o8o) cos8cos15。cos8cos15。sin 8s in 15ocos8cos15ocos8cos15osin 8s in 15ocos8cos15oTT【答案】(1 )递减区间12，k Z对称轴方程：x12k2(k Z)；第17页共 17 页【解析】(1)由正弦型函数的单调性与对称性即可求得f (x)的单调区间与对称轴；(2)根第18页共 17 页据五点作图法规则补充表格，然后在所给坐标中描出所取五点，以光滑曲线连接即可【详解】令22k 2x33T2k (k Z)，解得x122x302322x75612312

18、6y131-11本题考查正弦型函数的单调性与对称性，五点法作正(余)弦型函数的图像，属于基础题2 ax19已知f(x) log2为奇函数，且a 0 x 2(1) 求a的值；(2)判断 f(x)在2,上的单调性，并用单调性定义证明.【答案】(1) a 1 ； ( 2)递减，见解析k12 xk7(k12Z)，令2x k (k321Z)，解得%122k(k Z)，所以函数的递减区间为k22,k712k Z,对称轴方程:Z)；【点第19页共 17 页【解析】(1)函数 f (x)是奇函数，所以f( x) f(x)，得到第 i3 页共 i7 页2 ax2 axlOg2 FlOg2f，从而解得3 1；(2

19、)在区间2，上任取两个数X，X2，且 XiX2，判断f(X2) f(xj的符号，得到f(X2)f(xj，由此证明函数 f(x)的单调性【详解】2 axf (x)，则log2-x 22 axX 2，解得 a i ；x 22ax函数f(x)log2-_aX在2,上单调递减，证明如下x 2在区间2,上任取两个数 Xi,X2，且 XiX2，因为2 XiX2，所以(X22)(Xi2) (X22)( Xi2)c (X22)( Xi2),即0 (X22)( Xi2)(X22)( Xi2)0一-i，八丿2八v丿，(x22)( xi2)所以f(X2)f(xO也,2f ?o即f(x2) f(G，(X22)( Xi

20、2)函数f(x) log2-ax在2,上单调递减.x 2【点睛】(1)由题意知f( x)axf (X2)l0g2XL-2log2XX22Xi4( x2x-i)0f (Xi)2l0g2(X22)(X12)2(X22)(Xi2)6第21页共 17 页x20.f (x) 2sin -sinX2sinX. XXsin cos262 622 2(i)若.2f (x -)1,求x的范围；23、12337(2) 若f()cos() ，且io4134444sin().516【答案】 (i)x|2k一X2k,kZ； (2)sin()6665【解析】 (i)利用公式sin sin-cos()cos()化简函数解析

21、式可得本题考查由函数的奇偶性求参数，利用定义证明函数的单调性，属于基础题求6第22页共 17 页f(x)22sin(x)，将函数解析式代入不等式得241sinx，即可求得 x 的取值2范围；由 f()3 2求得sin(-)3，根据，的范围求出10452403从而求得cos()4,sin(5),再利用两角差的余弦公445413式即可得解【详解】1 1、1 cosx( cos x)2 2x(62k，5T2k )(k Z)【点睛】本题考查三角函数和差化积公式，两角和与差的正弦公式，同角三角函数的平方关系,计算时注意角的取值范围，属于中档题(1)求函数 f (x)在R上的最小值;5(2)若方程f(x)

22、 0在0,匚 上有四个不相等的实根，求a的范围.【答案】(1)见解析；(2)( ,22-.3)f(x)1 . sinx21 cosx21 . sinx2sin (xi)若-2f(x-)2，则J子 g1 .,sinx2f()sin(2)410,sin()45因为3所以一,cos(因为4347243,所以0,Sin(444sin()sin(-)()4)sin()sin(；)sin166521 .设函数f (x)2.x x a sin cos2 2cos2x 5 , a2sin(3r)3)cos() cos(6第23页共 17 页234【解析】(1)将函数化简为 f(x) sin2x asinx a

23、 2，令t sinx 1,1，则f(t) t2at a 2，求出对称轴，对区间1,1与对称轴的位置关系进行分类讨论求5出最小值；(2)要满足方程f(X)0在0，上有四个不相等的实根，需满足61f(t) t2at a 2 在(,1)上有两个不等实根，列出相应的不等式组，求解即可【详解】2a 3,a22所以求函数 f(x)在R上的最小值g(a)aa 2, 2 a 2；43,a 25要满足方程f (x) 0在0,-上有四个不相等的实根，需满足6【点睛】令tsinx 1,1，则f(t)t2ata 2，对称轴为：xa2当1a2即a 2时，f(x)minf(1)2a 3当1a即a 2时，2f(x)minf(1) 3,|)2当 2a 2 时，f (x)minf(aa 2 ,24(1)f (x) a(1 sinx) 1(1 2sin2x)2，5.2sin x a si nx a21f(t) t2at a 2 在(,1)上有两个不等零点,39a -240f(2)f (1) 2a 3 a24(a2)，解得0本题考查动轴定区间分类讨论二次函数最小值,正弦函数的单调性,二次函数的几何性第25页共 17 页质，属于中档题22 .设函数f(x) log