2019届河南省开封市高三10月定位考试数学(理)试题(解析版)

1、第1页共 22 页2019 届河南省开封市高三 10 月定位考试数学(理)试题一、单选题1 .已知集合 M = 0, 1 , 2, N = x | x 1 |w1,贝 UA.M=N B.NMC. MAN =M D.MUN=M【答案】C【解析】先化简集合 N,再判断每一个选项得解【详解】由题得 N= x | x 1|w1=x|0wx0,贝 U :为%3xA.R, x0lnx0w0 B.R, x0Inx00VxVx由题得 z：=：1-()2+ (-3= 155第2页共 22 页C.R,xlnxw0 D.R,xlnxv0【答案】A【解析】直接利用全称命题的否定解答 .【详解】根据全称命题的否定得为：

2、 R, xo InXoW0.故答案为：A【点睛】(1)本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)全称命题P： g 丘也 pg，全称命题 P 的否定(冲)：去丘也冲 M .特称命题 P：八hm；,特称命题的否定 仁匚，所以全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.4 等比数列 的前项和为，若，则公比 I ()A. IB.C.D.【答案】A【解析】将.转化为关于：的方程，解方程可得的值.【详解】. S _ 冷-匕：+ m _ 二,.日+ 2 巧 + 屯+ 2q * q )=巧(1 + q) = 0,又 ,故选 A.【点睛】3. ,00|.3 uS3

3、tQ本题考查等比数列的基本运算，等比数列中共有五个量，其中是基本量，这五个量可“知三求二”，求解的实质是解方程或解方程组.5.某商场经营的某种包装的大米质量E(单位：kg)服从正态分布 N(10,(T2),根据检测结果可知 P (9. 9Z10)= 0. 96,某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米 作为福利，第3页共 22 页若该公司有 1000 名职工，则分发到的大米质量在9. 9kg 以下的职工数大约第4页共 22 页A.1B.0【答案】B【解析】根据考试的成绩E服从正态分布 N (10,d).得到考试的成绩E关于E=1(对称，根据P (9.91 -0.96長 10.1) =0.96，得

4、到 P (M9.9) =0.023，根据频率乘以样本容量得到分发到的大米质量在 9.9kg 以下的职工数.【详解】考试的成绩E服从正态分布 N(10,d).考试的成绩E关于E=1 对称，/ P(9.9W李 10.1)=0.96,1 - 0,96P( EV9.9)=：=0.02,公司有 1000 名职工，则分发到的大米质量在 9.9kg 以下的职工数大约为0.02X1000=20.故答案为：B .【点睛】本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩E关于E=1(对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解.6 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则输入

5、的 x 为A.10B.20C.30D.40第5页共 22 页C. 1 或 1 D. 1 或 0【答案】D【解析】先写出分段函数的表达式 ，再求 x 的值.【详解】如: j “由题得.当 xv0 时，“ - :. - ：_当 xA0寸，；，.；综合得 x=-1 或 0故答案为：D【点睛】本题主要考查程序框图和分段函数求值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力严一 +四兰 0 xD. n 3【答案】D 【解析】 利用指数函数与对数函数的单调性、不等式的性质即可得出.【详解】对于 A :函数 y=xe是(0, +8)上的增函数， A 错；对于 B :n32V2? 3e3logaelog n

6、3loEnlog n3log 3n 3对于 D :l0e3噪人,D 正确；故答案为：D.【点睛】 本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.2n10 .已知空间四边形 ABCD,/ BAC= , AB= AC= 2 , BD= CD= 6，且平面 ABC 丄平面 BCD,则空间四边形 ABCD 的外接球的表面积为所以几设点第 7 页共 22 页A.60nB.36nC. 24nD.12n【答案】A【解析】先利用正弦定理求出底面三角形ABC 外接圆的半径 r,设外接球的半径为 R,球心到底面的距离为 h,得到关于 R 和 h 的方程组，解方程组即得R 和外接球的表

7、面积【详解】BC2= 12+ 12-2 砧2$ (-) = 36tBC = 6.由余弦定理得由正弦定理得：il，所以三角形 ABC 的 外接圆半径为 设外接球的球心为 0,半径为 R,球心到底面的距离为 h,设三角形 ABC的外接圆圆心为 E,BC的中点为F,过点0作0G丄DF,连接D0,BE,0E. 在直角 0BE中，衣打( 1),在直角 D0G 中，：心 U*-(2),解得 h 二爲 R =庙所以外接球的表面积为-故答案为：A【点睛】(1)本题主要考查几何体的外接球的表面积的计算，考查空间位置关系， 考查正弦定理和余弦定理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)求几何体外接

8、球的半径常用模型法、方程法11.将函数 y= sin2x cos2x 的图象向左平移 m (m 0)个单位以后得到的图象与函数y= ksinxcosx (k0)的图象关于(，0)对称，贝 U k+ m 的最小正值是【答案】C【解析】n4A.2 +3n5n7nB.C.D.12设点第 7 页共 22 页由题意可得 y= - cos (2x - 2m)的图象和y= sin2x (k 0)的图象关于点对称,第10页共 22 页n0)-乂D“ -P(X0,yo)为 y= - cos( 2x- 2m)上任意一点，则该点关于. 对称点为 在=cos(2x0- 2m),由此求得 k+m 的最小正值.【详解】将

9、函数 y=sin2x - cos2x= - cos2x 的函数图象向右平移 m 个单位以后得到 y= - cos2 (x -m)=-cos (2x - 2m )的图象，kn一(一*0)根据所得图象与 y=ks in xcosx= si n2x (k 0)的图象关于. 对称，设点 P (Xo, yo)为 y= - cos (2x - 2m)上任意一点，n2nk(? ) -；则该点关于对称点为在 y= sin2x (k 0)的图象上，故有.-cos(2x0- 2m) = v0 k 4n- 2x0) = - y0n5n所以 k=2 , sin (2x-弓)=cos (2x- 2m),即 cos (2

10、x- & ) =cos (2x 2m),5n5n5n- 2m= - +2kn, kZ,即 2m= - 2kn, kZ,故 m 的最小正值为 ,5n则 k+m 的最小正值为 2+ .故答案为：C【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象，两个函数的图象关于某个点对称的性质，属于中档题.44一y= sin2x (k 0)的图象上，故有,-cos(2x0- 2m) =y0 k 4n|j$in(y-2x0)= -y05n，求得 k=2，且 cos ( 2xo：)第11页共 22 页12 .已知函数 f (x) = ( k+ ) Inx+ , k 4 , + ),曲线 y= f(x)上总存在两 点

11、 M(x1 , y1) ,N (x2 , y2),使曲线 y= f(x)在 M, N 两点处的切线互相平行，贝 U x1+ x2 的取值范围为第12页共 22 页由题意，可得 f(xj=f (x2) (x20,且 X! Mx2),44k + -k * _k 4k4 -旳x/1V S1即-1= 1,4化简得 4 (X!+X2)= (k+ ) XiX2,g而 X!X2,4(K1+ X2J24 (xi+X2)对 kq4, +8)恒成立，4令 g (k) =k+ ,4 (k + 2|(k-2)则 g (k) =1 - * =o 对 k 4, +)恒成立, g (k) g (4) =5,161616A.

12、( ,+ ) B.( ,+ ) C. ,+ I【答案】B【解析】利用过 M、N 点处的切线互相平行，建立方程，结合基本不等式,D., + 8)再求最值，即可求X1+X2的取值范围.【详解】仪 5 上)k由题得 f(x) =x厂1= 一(x0, k0)4 16第13页共 22 页16二 x1+x2,16故 X1+X2的取值范围为(,+s).故答案为：B【点睛】本题运用导数可以解决曲线的切线问题，函数的单调性、极值与最值，正确求导是我们解题的关键，属于中档题二、填空题13 .已知向量 a=( 2, - 6), b=( 3, m)，且 a 丄 b，则 I a + b|=_ .【答案】.【解析】先根据

13、已知求出 m 的值，再求JL： I - I .【详解】由题得 2X3-6m=0,所以 m=1,所以“ = ( 5, -5),所以 1 日+引二时加+ 25= 5 也.故答案为：【点睛】本题主要考查向量的运算和向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力14 .若 sind-cos 尸，贝 U sin2 a 勺值为_.7【答案】【解析】直接把已知方程两边同时平方即得解【详解】177sin2a = - - - sin2a =,-由题得 1+:故答案为：第14页共 22 页【点睛】 本题主要考查二倍角的正弦，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力15 从 5 名学生中选出

14、4 名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，乙只能参加数学竞赛，则不同的参赛方案种数为_ 【答案】36【解析】分三种情况讨论，分别求出每一种情况下的方法数，即得解【详解】(1)当甲上乙不上时，共有种方法；(2)当甲不上乙上时，共有 种方法；(3)当甲乙都上时，共有一 ” “ 种方法.综上所述，不同的参赛方案种数为 18+6+12=36 种.故答案为：36【点睛】(1)本题主要考查计数原理和排列组合的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)排列组合一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂

15、问题分类法、小数问题列举法16 我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理)：幕势既同，则积不容异”，势”即是高，幕”是面积意思是：如果两等高的几何体在同高处所截得两几 何体的截面积恒等， 那么这两个几何体的体积相等.已知焦点在 x 轴上的双曲线 C 的离心率 e =，焦点到其渐近线的距离为 2 直线 y= 0 与 y= 2 在第一象限内与双曲线 C 及其渐近线围成如图所示的图形OABN,则它绕 y 轴旋转一圈所得几何体的体积为【答案】【解析】由题意得双曲线方程为；=1, y=2 在第一象限内与渐近线的交点 N 的坐标和与双曲线第15页共 22 页第一象限交点 B 的坐标，记 y=

16、2 与 y 轴交于点 M，由nMB|2- MN |2=n,根据祖晅 原理，能求出它绕 y 轴旋转一圈所得几何体的体积.【详解】比 2J *由题得：，所以 a=1,b=2.22 yx -双曲线方程为 丨=1,y=2 在第一象限内与渐近线y=2x 的交点 N 的坐标为(，2),y=2 与双曲线；=1 在第一象限交点 B 的坐标为(；，2),记 y=2 与 y 轴交于点 M (0, 2), A (1, 0),/nMB|2- nMN |2=：l=n,根据祖晅原理，它绕 y 轴旋转一圈所得几何体的体积为-=2n.故答案为：2n【点睛】本题考查几何体的体积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意祖暅原理的

17、合理运三、解答题兔Sn17 .设等差数列 的前 n 项和为 ，且 a4 + a5= S4= 16 .(I)求数列 的通项公式；1b33丄 TbT”(n)设数列=，求 的前 n 项和.na =in丄1【答案】(1);(2).【解析】(I)根据已知解方程组得到：,即得数列 的通项公式.(n)利用裂项第16页共 22 页相消法求的前 n 项和【详解】(I)-为等差数列，解得.，.11If 11 II一【点睛】(1)本题主要考查等差数列通项的求法，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)类似(其中是各项不为零的等差数列，为常数)的数列、部分无理数列等用裂项相消法求和1

18、8 .如图，在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 为菱形， PAD 为正三角形，且 E 为AD 的中点，BEX平面 PAD(I)求证：平面 PBCL 平面 PEB;(n)求平面 PEB 与平面 PDC 所成的锐二面角的余弦值.【答案】(1)见解析;(2)【解析】(I)先证明 BC 丄平面 PEB 再证明平面 PBCX平面 PEB. (n)建立空间直角坐标系 E-xyz , 利用向量法求平面 PEB 与平面 PDC 所成的锐二面角的余弦值.【详解】第17页共 22 页(I)vBE!平面 PAD 又 AM 平面 PAD ADL BE又 PAD 为正三角形，E 为 AD 的中点， ADLPE又

19、 PEPBE E,. ADL 平面 PEB ABCE 为菱形， =，引，. BC!平面 PEB又 BC 匚平面 PBC 二平面 PBCL平面 PEB.(H)如图所示,建立空间直角坐标系 E-xyz ,厂设菱形 ABCD 的边长为 2，贝UAE=ED=1 PE=EB=，C (- 2, 0)D (- 1 , 0 , 0), P ( 0 , 0,),応(-屆咲恥(1訴).又平面 PEB 的一个法向量为本题主要考查空间位置关系的证明，考查空间二面角的计算， 意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析转化推理能力19 甲、乙两家外卖公司，其 骑手”的日工资方案如下：甲公司规定底薪 70 元，每单 抽

20、成 1 元；乙公司规定底薪 100 元，每日前 45 单无抽成，超出 45 单的部分每单抽成 6 元.假设同一公司的 骑手”一日送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名骑手”并记录其 100 天的送餐单数，得到如下条形图：平面 PEB 与平面 PDC 所成的锐二面角的余弦值为设平面 PDQ 的一个法向量为:样 QCO=-55第18页共 22 页(n)若将频率视为概率，回答以下问题:与送餐单数 n ( n N *)的函数关系;(i)记乙公司的 骑手”日工资为 x(单位：元)，求 X 的分布列和数学期望;(ii)小明拟到这两家公司中的一家应聘骑手”的工作，如果仅从日工资的角度考虑,请你利用所学的统

21、计学知识为他做出选择，并说明理由.(100 n45rn NV=【答案】(1)I； (2) (i) 112 元(ii )推荐小明去甲公司应聘.【解析】 = 100(1 牴n w N(I)根据题意可知日工资; 1(n) (i )先求出送单数为42,44,46,48,50时的频率，再写出分布列和期望(ii )先求出甲公司的“骑手”日平均送餐单数和甲公司的“骑手”日平均工资，再计算乙公司的“骑手”日平均工资,即得解.【详解】(I)根据题意可知，乙公司每天的底薪100 元，前 45 单无抽成，超出 45 单部分每单抽成 6 元, =故日工资I 100 n m = k-1即 了 2i，故直线AB过定点（-

22、i , -i）经检验，此时直线与椭圆有两个交点，满足题意综上所述，直线 AB 过定点（-1 , -1 ）【点睛】（1）本题主要考查动点的轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系和直线的定点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）求动点的轨迹方程常用直接法、定义法和代入法.21 .已知函数 f(x)= In (x+ 1) + ax2 x.(i)讨论 f(x)在0,+)上的单调性；1=?(1 + 9k2)x2+ 18kmx + 9m?- 9 = 0Xl+ X2 =，得即(2 - 2k)KtK2= (m -1)(K2+ 勺- 2k)(9m2* 9) = (m 1)(- 18km)第22

23、页共 22 页(n)若函数 g (x)= f (x) + x 有两个极值点 x1, x2,且 x1vx2,求证:g ( x2) In2 .第23页共 22 页g(Kj-ln2【详解】x(2ax + 2a -1)f(x) - -，K E 0 + 8)设 h(x) = 2 馭+ 2a -1，设,a王一即时，h (x)0,. f (x)在上单调递增;/I -2ah (x) 0,. f ( x)单调递增.ias 【答案】(1)当 a0时，f(x)在 Is 上单调递减；当 时，f(x)在 1 上单调递增;10 a m( -一| =In-4- - =In2(I)解:当a0时,h (x)v0，二 f ( x

24、 )在上单调递减;当当2a-1v0,时,l-2axe 0,-23时，h (x)v0，二 f ( x)单调递减;第24页共 22 页1a i 时，f (x)在上单调递增;综上所述，当 a0，使小“八1-门有两不同实根，且.，只需，即 a2.4 -1=1 0*1)乂(0),1 刃2,1 g ( x )在 上单调递增，在-上单调递减，在 g ( X)在取得极大值，在取得极小值2 - 1 = 2ax?+ 2ax?+ 1 = 0ra =-.-= ln(x?+ 1 + axj = ln(x24-11 +tm(t) = ln(t+ 1)- , re设 数,j 1111 m -j = ln- + - = In

25、2【点睛】(1)本题主要考查利用导数求函数的单调性、极值和最值，考查利用导数证明不等式,是求得 g ( x )在取得极大值，在取得极小值，其二是求出 mf -= ln- + - = In2 2 222(X )在上单调递增上单调忆=ln(x?4-1 j +意在考(2)解答本题的关键有三点，其一其三是求出10 a 0魚： ,m ( t )第26页共 22 页jx 4 + 4co5a22 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1: ：(a为参数)，以 0 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为p24pcos 令 3= 0,直线 I 的极 坐标方程为0=(pR) (I)求曲线 C1 的极坐标方程与直线 I 的直角坐标方程；(H)若直线 I 与曲线 C1, C2 在第一象限分别交于 A, B 两点，P 为曲线 C1 上的动点，求APAB面积的最大值.【答案】(1)：;(2).【解析】(I)先求出曲线 C 的普通方程为(+上 1 百，再化成极坐标方程为卩二肚祸,再利用消参法求出直线 I 的直角坐标方程为厂叔.(H)先求出|AB| =p2_ P1= 1,再 求 C (4, 0)到 I 的距离为2 迟，以AB为底边的厶 PAB 的高的最大值为4宀艮再求 PAB 的面积的最大值。【详解】(I)依题意，曲线 C 的普通方程为:I,极坐标方程为:,