2019届湖南省长沙市高三下学期第二次模拟考试数学(理)试题(解析版)

1、【详解】第1页共17页2019 届湖南省长沙市高三下学期第二次模拟考试数学(理)试题一、单选题1 1 设全集，集合几二心卜 / -，匚二、-，则()A A B B.阍:V一门C C .宀卜冬】*匚D D ；卜【答案】D【解析】先求“再求：即可【详解】因为=丫厂 二，八 H；-： .-,所以 I I 乜=:匕 “CU(AUB)=X|X-3)故选：D【点睛】本题考查集合的运算，熟记并集与补集的定义，准确计算是关键，是基础题4_2 2已知复数，则复数在复平面内对应点的坐标为()A A. (-2-2)B.(一2C. (2,2)D. (2.-2)【答案】A【解析】先化简乙再求即可【详解】4_因为，所以二

2、工，对应点的坐标为故选：A【点睛】本题考查复数的运算及几何意义，熟记定义，准确计算是关键，是基础题2 1】心=0力0)r ,A3 3若双曲线的一条渐近线与直线 _垂直，则该双曲线的离心率为()A A 2 2B B.C C.D D.【答案】C【解析】先求渐近线的斜率，再求e即可第2页共17页ie = II + A = ;10依题意可得，贝U，所以；.故选：C【点睛】本题考查双曲线的几何性质，渐近线，熟记性质，准确计算是关键，是基础题4 4高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国 新四大发明”，近日对全国 100100 个城市 的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分别

3、为“-xi：|1,它们的平均数为，方差为；其中扫码支付使用的人数分别为，:y 二厂*,”它们的平均数为，方差为，贝y,分别为（）A A3x + 2 Sb + 2B3x 3SC+29sD3X+29S + 2【答案】C【解析】由样本数据的平均数和方差的公式，化简、运算，即可求解，得到答案【详解】 1由平均数的计算公式，可得数据的平均数为二七1数据 r -.十 _的平均数为：LI-而K%十2）十（沁十2） +（说豹十2）J =胡3凶十衍十十呵如）十2 * 100J=3x + 2数据亏二广”二、=的方差为 - - - 数据A7、H的方差为：而址坯十2）-（3x十2/十（3X2十2-（4十2）十十（3x

4、100十2）-（3x十2）心=舟9（询-x）2十9（X2-X）2十十9（x100-x）2 = 9$2故选C.【点睛】本题主要考查了样本数据的平均数和方差的计算与应用，其中解答中熟记样本数据的平均数和方差的计算公式，合理化简与计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.x-2y i4 15 5已知变量满足约束条件，则-的最小值为（）A A 9 9B B. 8 8C C 7 7D D 6 6【答案】A【解析】先画出可行域，再结合z的几何意义，数形结合求解即可【详解】第3页共17页1 I1 I作出可行区域（如图阴影所示），化直线二=7书为，可知当直线经lx - 2y + 4 = 05过点

5、A取得最小值，此时解得A,的最小值为6故选：D【点睛】本题考查线性规划，数形结合思想，准确作图，熟练计算是关键，是基础题6 6已知数列为等比数列，首项，数列 满足 ，且，则 （）A A 8 8B B. 1616C C 3232D D 6464【答案】C【解析】先确定 为等差数列，由等差的性质得进而求得的通项公式和的通项公式，则可求【详解】由题意知 为等差数列，因为，所以 因为 ，所以公差 ，则 ，即. ，故，于是故选：C【点睛】本题考查等差与等比的通项公式，等差与等比数列性质，熟记公式与性质，准确计算是 关键，是基础题第4页共17页17 7.已知是函数I的极值点，则（）1IA A .B B.

6、1 1C C .D D . 2 2【答案】B【解析】 对函数求导，利用已知条件求得a,得到导函数，由极值点的定义求解即可【详解】F r ih,由. ，得.又：h-二I,当X 0X1故是函数的极值点，故二成立故选：B【点睛】本题考查极值的定义，熟练计算是关键，注意检验，是基础题8 8某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）*1嗣A A.B B.C C.D D.【答案】A【解析】由题意首先确定几何体的结构特征，然后结合体积公式求解其体积即可.【详解】由三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为4的圆柱挖掉右上半柱而形成的几何体.斗、亠r. 4站、rTEX故该几何体的体积为故选：A.【点睛

7、】求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解.9 9.已知，贝U-的值域为（）L3返A A . . UJUJB.B. 口勾C C .（亍三）D D . . （0*20*2 為第5页共17页【答案】B【解析】 化i： -二-I-I：】：I I=2（沁一扩+ 所以恥严1 .故选：B【点睛】本题考查二倍角公式，二次型函数求值域，熟记公式，准确计算是关键，是基础题1010. 20022002 年在北京召开的国际数学家大会的会标是以

8、我国古代数学家的弦图为基础设计的. .弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）. .设4其中直角三角形中较小的锐角为，且如果在弦图内随机抛掷10001000 米黑芝麻（大小差别忽略不计），则落在小正方形内的黑芝麻数大约为（）A A. 350350B B. 300300C C. 250250D D . 200200【答案】DI【解析】由二倍角的正切公式推导出-,设大正方形为ABCD,小正方形为EFGHAE I边长为a,由tan 0,得大正方形边长为2a,利用大小正方形的面积比能求出落在小正方形内的黑芝麻数【详解】2曲悄41tan 20 =- = 7估门戸=_由亠”，得

9、.，设大正方形为ABCD，小正方形为EFGH，且,AE 1由肚*工咒，得-左二上，则，二心:落在小正方形内的黑芝麻数大约为故选：DD第6页共17页【点睛】本题考查三角函数的实际应用，二倍角的正切公式，直角三角形计算，熟记公式，准确计算是关键，是基础题g(x)=心 严g(.loB5in)-g(og1m) 2g(2)1111 已知函数，若实数满足，则-的取值范围是()1A A.25B.绚C.25,十D.胡【答案】A八.X 2/g(log5m) - g(logitn) 0,：故 在单调递增，又为奇g(log5m) - g(login) 1）令-/J5）g：4p4当i冬兀冬$时f（%）0.当-J ?时

10、f（兀）0耗）=（）=_聖64故，即； l的最小值为本题正确选项：【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的应用，考查利用导数求最值的问题.解决圆锥曲线中的面积类最值问题，通常采用构造函数关系的方式，然后结合导数或者利用函数值域的 方法来求解最值.二、填空题1313已知m0，若的展开式中”的系数比 x x 的系数大 3030,则也=_【答案】2 2【解析】 利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，求得的值.【详解】a a 十咱）“展开式通项为：丁* _4_4 詔芬f 且 S 十皿）的展开式中芒的系数比兀的系数大 3030Gm = 30,即：2in m -6 - 0s解得：(舍去)或本题正确结果

11、：【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基 础题.I IO |第8页共17页1414已知两个单位向量 債和h的夹角为12，则a + b在h方向上的投影为 _1_【答案】I II II【解析】 运用向量数量积的定义和性质，先求的值，再利用向量的投影公式,计算即可得到所求值.【详解】. _ I i2_ 1|(n+brb11因为(a + b)Lb=aLb + |b飞，所以a十b在b方向上的投影为砧 |_故答案为【点睛】本题考查向量的投影，数量积运算，数量积定义，熟记公式，准确计算是关键，是基础题1515已知函数：的图像在点处的切线与直线7- =二垂直，若数

12、列I丽；的前项和为，则二_.n【答案】丄【解析】利用导数的几何意义求a,然后通过数列 的通项公式，利用裂项法进行求和即可求出 .【详解】由题意知城一讥；,则L H-,，故 ，；，故_L - _2_ _ !_ 1 1111 L 11 I n伽小创+H=花=乔7)可广航肓十厂厂十荷-时尸 k? n故答案为【点睛】第9页共17页本题考查数列求和，切线的应用，熟记求和基本方法，准确计算是关键，是基础题1616.如图，在长方体 5 乩匸二 5；中，匸；-1，点 在棱上，当-取得最小值时，1 1 丄山，则棱的长为_ . .【答案】【解析】把长方形展开到长方形所在平面，利用三点共线时：取得最小值，利用勾股定

13、理列方程组，解方程组求得的值【详解】把长方形展开到长方形所在平面，如图，当,在同一条直线上MA AC 2时，.取得最小值，此时 K莎 方，令m出，,，则【点睛】本小题主要考查空间中的最短距离问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查空间想象能力，属于中档题.第10页共17页三、解答题1717.在. 中，内角 ，的对边分别为，且4.：工；.（1 1）求號 ;（2 2）若3c sin A = JLISHIB, A AABC的面积为，求 的周长. .【答案】（1） * *；（2） S 二一 匚【解析】（1）根据余弦定理直接求解可得，进而可得；（2）由正弦定理角化边可得，再利用面积公式求解即可（2）因为

14、m - liii：.所以 ，即卩解得【点睛】 本题主要考查了正余弦定理及面积公式求解三角形，属于基础题1818.如图，四棱锥的底面是直角梯形，和 是两个边长为 2 2 的正三角形，厂二=比， 为尤的中点， 为：的中点. .假设线段上存在一点，设:-.- I : -II, 得 .，：；,由直线与平面厂工:所成角的正弦值为列的方程求解即可【详解】(1)证明：设为 的中点，连接二，忙:. I, ，,四边形I卜为正方形./为.的中点， 为川，.的交点， 为汀的中点，即0E为三角形BPF的中位线OE IIFF.因为m匚的面积为13 c12即，所以，【详解】第11页共17页.OE住平面PDC,PF匸平面P

15、DC,.OE II平面PDC.(2). *述为.的中点，陀丄 ACAC =JAB十= 22A0 = & ,.PO二JPAJ AC?=匹EO=沁-屈在APBO中，POF R0=PE2=4,.胆丄Ro.又AC BO =O,.胆 丄 平面应UD.又因为圧-工,所以过 分别作，的平行线，分别以它们作为轴，以 为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 B(L-B(L-1,0)1,0), , C(1J,O)C(1J,O), , D(-3D(-3Q Q, , P(0,0P(0,0 框)假设线段上存在一点，使直线 与平面所成角的正弦值为.I III II I设DQ = ?JDP(O Z - + +- +

16、 -【答案】(1)见解析；(2)：丨；(3)见解析【解析】(1)令函数心:m证明其最小值大于等于0即可(2)原题转第16页共17页化为 -： 恒成立，令-li； (3)由(1)，令 ，得，裂项相消求和得即可【详解】(1)证明：令函数I :| | “，、 0，即兀十1.日0，得x a - 1 .当：，U,即7.时，在I：；.八上单调递增，m(x) m(0) = 0，所以当】J.时，“心二；在I：；.八上恒成立；当-:，即八I时，：在上单调递增，在“I丨上单调递减,所以煮口 小一 L：|所以不恒成立综上所述：的取值范围为(3)证明：由(1)知用点， * 令，：，：，.n +1li - 11“ “

17、“ln(n + 1) - Inn 时” 血，即，故有li：. i. I 11?ln(ti + 1) - Inn 亍?ax第17页共17页I 3n 4 2、n + 1 , ln(n十3rH 2) lnfri -i I)、八,12n- 1所以.【点睛】本题考查导数与函数的最值，利用导数求解恒成立问题，利用导数证明不等式，分类讨1论思想，分析求解能力，第三问关键是利用(1)令，裂项求和，是中档题lx =- 1 I tcosa.2222 在直角坐标系中，曲线 的参数方程为(为参数)，其中，!.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程p，- 2pccs9 - 4psm6卜4 = 0

18、(1 1)求曲线 和曲线的直角坐标方程；(2(2)已知曲线与曲线 交于两点，点，求卜*：卜的取值范围. .【答案】(1)曲线 的普通方程.；二：4，其中，；曲线 的直角坐标方程.(2)【解析】(1)根据参数方程与普通方程的互化，可得曲线的普通方程；根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可得曲线的直角坐标方程(2)将直线的参数方程代入曲线，利用韦达定理和参数 的几何意义，即可求解，得 到答案.【详解】(1)曲线的普通方程11 :其中，！;|x 1 I tCOSOk(2)将，-代入12n因为:-I :上述各式相加可得化简得-J:1因为J二 土 所以.亡二设两点对应的第18页共17页,则有勺十毗池屮严 X|PA|2+ |PB|2=(|PA| I |PB|)2- 2|PA|PB|弓(叩 + 冏)2% t=(片 + )2-2甲2 - 1白口 -6丘(6J01所以二的取值范围是【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线参数方程的应用，其中解答中熟记参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及合理利用直线参数方程参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力属于基础题.2323