2020-2021学年湖南师大附中高一下学期入学自主检测数学试题Word版

1、-1 -湖南师大附中 2020-2021 学年度高一第二学期入学自主检测数学时量：20 分钟满分：50 分一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的.21.已知集合Mxx 2x 0，N 0,1,2，则M N（）A.0B.0,1C.0,2D.0,1,2235-，则a,b,c的大小关系是（）5A.a b cB.bcaC.cabD.cba1x13.函数f xx2的零点个数为（）2A.0 B.1 C.2D.34.已知函数fxasi nxbcos x，且f 43，则f 2021的值为（）A.1B.1 C.3 D.325.关于x的方程

2、x ax b 0，有下列四个命题：甲：x 1是该方程的根；乙：x 3是该方程的根；丙：该方程两根之和为2； 丁：该方程两根异号.如果只有一个假命题，则该命题是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁12 .6.若实数a，b满足一一 ab，则ab的最小值为（）a bA.2B.2 C.2-2D.47.若函数f xx x b在区间0,2上是减函数，则实数b的取值范围是（）A.,4B.,2C.2,D.4,8.已知函数y fx的定义域为R，则“f x无最大值”的一个充分条件是（）C2一52 - 5b3 _52一5a设-2 -12.已知Xy 1，y 0，X0.则-乩的值可能是（y 1A.f X为偶函数且关于直线

3、X 1对称B.f X为偶函数且关于点1,1对称C.f X为奇函数且关于直线X 1对称D.f X为奇函数且关于点1,1对称二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.9已知a 0，b 0，且a b 4.则下列结论正确的是（）A.ab 4B.丄丄1C.2a2b16D.a2b28a b10.下列几个说法中，正确的是（）1A.已知函数f X的定义域是 一,8，则f 2X的定义域是1,32B.命题“X 0，eXX1”的否定为：“X。B.函数f x在 ，一上单调递增12 3C.若f

4、X1f X22，则X1X2的最小值为 3D.函数fX的图象向右平移 一个单位长度得到函数y cos3x的图象4C 若函数fX2X2 b有两个零点，则实数b的取值范围是0 b 221 XD.若函数f x 4 x2ln在区间1 X1 1-1,-上的最大值与最小值分别为2 2M和m，则11.已知函数fXsin 3X的图象关于直线X对称，则（）224A.函数X 为奇函数12-3 -235A.B.C.1 D.-344三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.已知4a2，lg x a，则,上单调递减，则6 2x, x16.设函数f x2x已知函数f xx22x a lgx(1)求使

5、f a1的a最小值;18.(本小题满分 12 分)已知函数f x sin2x sinx茲s2x于(1)求f x的最大值及取得最大值时x的值;、2(2)若方程f X在0,上的解为x1，x2，而，求cos x-!x2的值.319.(本小题满分 12 分)1.已知函数f x是定义域为R的奇函数，当x0时,2x.则x0时,15.已知函数f x sin x3cos x 0，若x 0,使得f 1x f 1 x成立，则实数a的取值范围是若函数f x为R上的单调函数,则实数a的取值范围是四、解答题：本题共 6 个小题，共70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.(本小题满分10 分)(2)若对任意x

6、1,，有意义，求实数a的取值范围.a,2x, x a,-4 -xe a设a 0,f xx是R上的偶函数.a e（1）求a的值；（2） 判断f x在0,上是增函数还是减函数，并证明你的结论.20. （本小题满分 12 分）倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环保思想成为社会生活中的主流文化某化工企业探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量r0为2mg / m3，首次改良工艺后排放的废气一3中含有污染物数量ri为1.94mg/m，第n次改良后所排放的废气中的污染物数量r.可由函数模型rnroro ”50.5n pp

7、 R,n N*给出，其中n是指改良工艺的次数.（1）试求改良后rn的函数模型；（2） 依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过0.08mg /m3试问：至少进行多少次改良工艺后才能使企业所排放的废气中含有污染物数量达标？（参考数据：取lg2 0.3）21. （本小题满分 12 分）已知函数f x10、.3sincos仝10cos2.2 2 2（1）求函数f x的最小正周期；（2）将函数f x的图象向右平移 一个单位长度，再向下平移a a 0个单位长度后得到函6数g x的图象，且函数g x的最大值为 2.（i）求函数g x的解析式；（ii） 证明：存在无穷多个互不相同的正整数

8、x0，使得g x00.22. （本小题满分 12 分）2-5 -已知f xax bx 2，x R.（1）若b 1，且3 y yf x , x R，求a的取值范围；-6 -(2)若a 1，且方程f xx212在0,2上有两个解x,x2，求b的取值范围，并湖南师大附中 2020-2021 学年度高一第二学期入学自主检测证明21Xi丄X24.-7 -数学参考答案、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的题号12345678答案CDBDACDD、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题

9、目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分题号9101112答案ABACDACBCD三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.1015. 2【解析】Tf x在一，一上单调递减，且f一f一0,f0,6 26 2f x sin x .3 cos x2si nx3 f L21f2sin_0,2333-kkZ3k 1k Z,331 2又由2- -一0,得03,2262.161,01四、解答题:本题共6 个小题， 共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.【解析】(1)fa1即lg 3 a1，所以3 a 10,即a 7,所以a的最小值为

10、 7214.x0,因为f x是奇函数，所以所以f X f x22x 2 x x 2x.-8 -2小, x 2x aL+上，0恒成x2立x 2x a 0恒成立.设y x22x a,x 1,所以a的取值范围是3,方法二： 对任意x 1,fx有意义在区间1,2,x 2x上，xa0恒成立2x2x a0恒成立a2x 2x恒成立，设g x2x2x,x1,，则agxmax，因为g xx22x2x 11，故当x 1时g x取得最大值g 13,所以a 3，即a的取值范围是3,当2x2k k Z，325即xk k Z时，函数f x取最大值，且最大值为1.125 k（2）由（1）知，函数f x图象的对称轴为x kZ

11、，12 2511当x 0,时，对称轴为x 或一.12122又方程f x在0,上的解为x-i,x2.3225结合图象知点x1-与点x2-关于x对称.3312（2）方法一：对任意X 1,f X有意义 在区间1,2y x 2xaa 1递增，所以当x 1时，ymin于是当且仅当ymin3 a 0时,x在x 1,上有意义，故a 3.18.【解析】（1）f xcosxsin xsin 2x2討2xsin 2x 3-9 -x-ix25，则X156COS XiX25COS -62x2sin 2x2又f x2sin 2x2-，故COS X1x2319.【解析】因为f是R上的偶函数,所以XX即e aXa eXe_

12、aXa e又exex不可能恒为“ 0 ”,0，而a(2)f在0,上是增函数 证明如下:在0,上任取x1X2，x1f x2X2eexeX2X1ee51eX2/2X11X1X2e1e2eX2因为1，所以由0为X2得1eX1x2X1xX1所以.xX1ee2e1e 1eX1eX20，即fX1所以在0,上是增函数20.【解析】(1)由题意得r01.94，所以当n1时，A rrr150.5X1x2e1e2从而x2X2即1.94 22 1.94 50.5 p，解得p 0.5所以rn2 0.06 50.5n 0.5n故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型rn2 0.06 50.5 n 0.5n N-

13、10 -(2)由题意可得，rn0.5 n 0.52 0.06 50.08,整理得50.5n 0.5竺0.06即50.5n 0.532,两边同时取常用对数，得0.5 n 0.5Ig5，整理得n 2翌21，1 lg2取Ig2 0.3代入，得25lg 21 lg230 1757，又因为n N，所以n6.综上，至少进行 6 次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标21.x x2xx 10、3 si n cos 10cos2 25.3 sin x 5cos x25 10sin5.所以函数f x的最小正周期T(2)( i)将f x的图象向右平移-个单位长度后得到y610sin x5的图

14、象, 再向下平移a a 0个单位长度后得到g x10sin xa的图象.又已知函数g x的最大值为 2,所以102，解得a13.所以g x 10sin x &(ii)要证明存在无穷多个互不相同的正整数X。，使得g x00，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得10sin x0840，即sin x05由5子知，存在003，使得sin由正弦函数的性质可知，当x时, 均有sin x因为y sin x的周期为2，所以当x 2k0,2kZ时，均有sin x因为对任意的整数k，2k2k0031,-11 -所以对任意的正整数k，都存在正整数xk2k0,2k4，使得sin xk5即存在无穷多个互不相同的正整数Xo，使得g Xo0.22.【解析】（1）b1时，fx ax2x 2,因为3,x R关于x的方程2axx 23即ax2x 10无实数解,易