2020届云南省名校高考适应性月考统一考试数学(理)试题(解析版)

1、【点睛】第 1 页共 16 页2020 届云南省名校高考适应性月考统一考试数学(理)试题一、单选题1 .已知集合A二xEN x?6x +8兰0，集合B=x 2x8，贝 y AQB=()A . 3, 4B. 2, 3, 4C. 2, 3D . 4【答案】A【解析】直接计算出 A、B 两集合，就能求出答案【详解】集合A - 9,3,4?,B Jx|x沁，所以A B “3,4?选 A.【点睛】集合的交集运算属于简单题2.设复数 Z 满足1+i z=2，则复平面内 z 表示的点位于()A .第一象限B.第二象限C .第三象限D .第四象限【答案】D【解析】由复数的四则运算求出z，就能判别相应选项【详解

2、】22(1 i)因为(1 i)2，所以z1-i，则复平面内表示 z 的点位于第四1+i (1 +i)(1 _i)象限选 D .【点睛】复数四则运算，属于简单题3已知正项等比数列 玄中，a?aa4，若S3=31，则a.=()A. 2?5B. 2?5n-1C. 5nD .5n-1【答案】D【解析】 考查等比数列的定义，通过a2a3二a4,& =31就可以求出数列通项公式【详解】232由a2 a4得agq，即a；印，解得a 1.又因为S=aia2a 31，第2页共 16 页n _1即1 q q31，解得q =5，所以a5选 D .第3页共 16 页考查等比数列定义，属于简单题0 6 0 64

3、 .设 a= 0.6., b= logo.61.5, c= 1.5.，贝 V a, b, c 的大小关系是（）【答案】C【解析】 这是三个不同类型的数字，所以和中间值 0 和 1 比较大小，从而得到a,b,c的大小关系.【详解】解析：因为0 : a =0.60.6: 0.601，b二也界.5： ：0,c = 1.50.6所以b:：:a : c，选 C.【点睛】【详解】【点睛】本题考查了向量数量积的运算，本题的关键是确定向量两两所成的角是120；,意在考查向量数量积求模的基本知识6.棱长为 4 的正方体的所有棱与球 0 相切，则球的半径为（）A.avbvcB.avcvbC.bvavcD.bvcv

4、a 1.50-1，本题考查了指数和对数比较大小,般同类型的数按单调性比较大小，或是和中间值 0,1 比较大小.5 .若平面单位向量a,b，c不共线且两两所成角相等，则B. 3【答案】Ca b c=（）【解析】首先判断向量两两所成的角为120,再根据a b c计算结解析：设向量a, b两两所成的角为二，则平面不共线向量a,b，c的位置关系只有一种，即两两所成的角为120，所以v -120.a b a b c二xa2b2A 2；b 2a c2b C八；3 6cos：当v -120时,=0，选 C.第4页共 16 页B.43【答案】CC. 2、2第5页共 16 页【解析】考查几何体与球相切的问题，常

5、见的有外接、内切和本题的棱相切【详解】因为球 0 与正方体的所有棱相切，所以该球的直径等于正方体的面对角线长设球的半径为 R,则2R=4j2，R=2、.2选 C.【点睛】考查几何体与球相切的问题，常见的有外接、内切和本题的棱相切多画图找关系7 .函数f X i = X2COSX在一的图象大致是-【答案】C【解析】 分析：利用函数的奇偶性，排除选项，再取特殊值判断即可详解：由于f -x=f X,故函数为偶函数，排除代B两个选项2f X =2xcosx_x sinx，令2xcosx_x2sinx=0，可得JIJIxtanx=2，方程的解x，即函数的极大值点x，排除 D.44故选：C.点睛：函数图象

6、的识辨可从以下方面入手： 从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；从函数的奇偶性，判断图象的对称性；从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象.1 丄 11 丄丄 11第6页共 16 页8为计算 S=1，设计了下面的程序框图，则在空白框中23 499100应填入第7页共 16 页A .i =i 1B.i =i 2C .i =i 3D .i =i 4【答案】B【解析】 分析：根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减因此累加量为隔项.11111详解：由S =1得程序框图先对奇数项

7、累加，偶数项累加，2 3 499 100最后再相减.因此在空白框中应填入 i =i 2，选 B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、 循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.9.下边茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩， 其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是（）（开第8页共 16 页【解析】试题分析：记其中被污损的数字为X，由题知甲的 5 次综合测评的平均成绩是1-（80 2 90 3 8 9 2 10 90

8、，乙的 5 次综合测评的平均成绩是598M 3 T2 21 09 94297A.B.C.D .551010【答案】A第9页共 16 页(89442*x，解得x0, kl)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆在平面直角坐标系中，设 A (- 3, 0), B (3, 0)，动点 M 满足1MA1= 2,则动点 M 的轨迹方程为IMBI()2 2 2 2A (x- 5) +y = 16B. x + (y- 5) = 92 2 2 2C . (x+5)2+y2= 16D x2+ (y+5)2= 9【答案】A【解析】首先设M (x,y )，代入两点间的距离求MA和MB，最后整理方程【详解】MA

9、(x +3 ( + y2解析：设M (x, y )，由=2，得-2 =4,|MB|(x_3) +y2可得：(x+3)2+y2= 4 (x- 3)2+4y2,即 x2- 10 x+y2+9 = 02 2 2 2整理得x-5 y =16，故动点M的轨迹方程为x-5 y =16选 A.【点睛】本题考查了轨迹方程的求解方法，其中属于直接法，一般轨迹方程的求解有1直接法,2代入法，3定义法，4参数法.2019M m -1的值是()【答案】A【解析】 将函数 f(x)构造为 f(x)=奇函数+常数形函数1010 古希腊数学家阿波罗尼奧斯(约公元前 262公元前 190 年)的著作圆锥曲线论11设函数(31

10、cos x2 f(x)=(x e)的最大值为M，最小值为 m,则x2e2A 1B 2C 220192019第10页共 16 页【详解】第11页共 16 页为奇函数，故g(x)maxg(x)min=0，则M 2，所以(M m)2 = 1选 A.【点睛】一般像这种较为复杂函数求最大值与最小值和相关问题，常会考虑函数本身或者能否构建成奇偶函数相关问题12 .棱长为 2 的正方体 ABCD - AiBiCiDi中，E , F , G 分别是 AB, AD , BiCi的中点,那么正方体内过 E , F , G 的截面面积为（）A. 32B. 33C.23【答案】B【解析】正方体截面的考查，可以通过正方

11、体的结构画图可以完成【详解】解析：分析正方体结构可以得知，该截面为一个边长为、2的正六边形，其面积为6 （ 2）2=3.3选 B.4【点睛】通过正方体的机构特征，多画图，将三点所构成的平面去和正方体的棱判断交点位置二、填空题2i3.曲线 y= x+lnx 在点（i, i）处的切线方程为 _【答案】3x-y-2=0【解析】首先求x =1处的导数，再根据切线公式y y0=f x0 xx求切线方程f（X）(n)cos x(x e)2 x2+e22sin二x 2exsin兀x + 2ex *i,设g(x) =-2-2,贝V g(x)x2e2x2eD.2、2第12页共 16 页【详解】1解析：v =2x

12、 ，在点（1, 1 ）处的切线斜率为3，所以切线方程为3x-y-2 = o.x【点睛】本题考查了导数的几何意义求切线方程，属于简单题型14 .在公差为 3 的等差数列an中，ai,a3,a11成等比数列，则数列an的前 n 项和 Sn【答案】23n n【解析】考查等差数列的定义，通过指定的三项的等量关系及公差的值求出a1，从而能完成本题【详解】2 2由题意得a3= a1an，即a16 ai?a130，解得a1=2，所以a*= 3n-1，所以S=（宀戸n23n2n -2 .【点睛】考查利用等差数列的定义求其通项公式，进而求前n 项和.15 .甲队和乙队进行乒乓球决赛，采取七局四胜制（当一队贏得四

13、局胜利时，该队获胜,决赛结束）根据前期比赛成绩， 甲队每局取胜的概率为 0.8.且各局比赛结果相互独立，则甲队以 4： 1 获胜的概率是【答案】1 0243 125【解析】直接利用二项分布公式的，但是要注意实际问题4:1 不能简单的二项分布【详解】甲队以 4 ： 1 获胜时共进行了5局比赛，其中甲队在前4局中获胜3局，第5局必胜，则概率515丿51 024=3125.【点睛】本题属于易错题，高考中就出现过，4:1 获胜是需要前 4 场 3 胜一负，并且第五场赢下2 216.已知双曲线C:%-岂-1?a0,b0）的右焦点为F,双曲线C与过原点的直a b3线相交于A、B两点，连接AF,BF.若AF

14、 =6,BF =8,cosBAF =，则第13页共 16 页5该双曲线的离心率为 _.第14页共 16 页【答案】e = 53【解析】试题分析：AF=6,BF=8,cos/BAF,由余弦定理可求得AB=10,5.BFA = 90，将A,B两点分别与双曲线另一焦点连接，可以得到矩形，结合矩形性质可知，2c =10，利用双曲线定义，2a = 86=2，所以离心率e = 5.【考点】 双曲线的定义，双曲线的离心率，余弦定理.三、解答题17. ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,若3acos2B - 3bcosBcos A -c = 0(1)求cosB;(2)若AB =2,3

15、sin A = 2sin B，求 ABC 的面积.【解析】 本题考查了三角形中正余弦定理的应用 .(1)通过条件用正弦定理，将所有边的 形式化成角的形式.(2)将条件中3sin A = 2sin B化成边的关系，最后选择余弦定理求另 外边，最后再用面积公式【详解】 解: (1)3a cos2B 3bcosBcos A-c = 3cos B(a cosB bcos A)-c = 0, 由正弦定理，有3cos B(si n A cos B+cos As in B) - s in C=0,1即3cosBsinC-sinC =0，所以cosB.312(2)因为cos B，所以sin B 又3sinA二

16、2sin B，所以3a二2b根据余弦332224定理b = a c -2accos B，得a=：,b = 2,所以ABC的面积为s=1acsinB=匕229【点睛】本题单一的考查了正余弦定理，属于简单题18 .如图，在ABC 中，/ B= 90 AB = BC= 2, P 为 AB 边上一动点， PD / BC 交AC 于点 D，现将PDA 沿 PD 翻折至PDAi, E 是 AiC 的中点.【答(1) cosB = - (2)3第15页共 16 页(1)若 P 为 AB 的中点证明：DE /平面 PBAi.(2)若平面 PDA平面 PDA，且 DE 丄平面 CBAi，求二面角 P- AiD

17、- C 的正弦值.【答案】(1)详见解析(2)上63【解析】(1)通过线线平行去得到线面平行，这也是线面平行证明中十分重要的手段(2)利用空间向量求二面角的平面角的正弦值，向量法做题，一定要细心运算【详解】(0证明：取AB的中点F,连接EF,PF.因为P为AB的中点且PD/BC,所以PD是厶ABC的中位线所以 PD/BC,且 PD又因为E是AC的中点，且AB的中点为F所以EF是厶ABC的中位线，1所以 EF/BC,且 EF =- BC,所以 PD 与 EF 平行且相等，所以四边形PDEF是平行四边形，所以DE/PF.因为PF平面PBA,DE二平面PBA，所以DE/平面PBA.(2)解：因为DE

18、_平面CBAi，所以DE AQ.又因为E是AQ的中点，所以AD二DC二DA，即D是AC的中点由PD/BC可得，P是AB的中点在ABC中，/ B =90：,PD/BC丄PDA沿PD翻折至L PDA， 且平面PDA平 面PDA,利用面面垂直的性质可得PAi-平面PBCD，以点P为原点建立坐标系如图所示，第16页共 16 页设平面ADC的法向量为瞎=(x, y,z),容易得到平面APD的法向量 常=(1,0,0), 设二面角P -AQ -C的大小为 v，有1、3 1【点睛】证明线面平行，一般三种途径：找线线平行、找面面平行、利用空间向量，第一种方法用的较多利用空间向量求相关夹角或者距离问题，运算要格

19、外注意19.某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成 .规定：至少正确完成其中2道题的便可通过已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概2率都是一，且每题正确完成与否互不影响.3(1) 分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；(2) 请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？【答案】(1)详见解析；(2)甲获得面试通过的可能性大【解析】 试题分析：(1)确定甲、乙两人正确完成面试题数的取值，求出相应的概率，即可得到分布列，并计算其数学期望；(2)确定 DEVDn,即可比较甲、乙两人

20、谁的面试通过的可能性大.,C(-1,2,0),AD = (0,1,1)CD=(1,一1,0).4n Tn有fo o- -y z- -X y-COST，所以第17页共 16 页试题解析:(1)设甲正确完成面试的题数为，则的取值分别为 1, 2, 3P =1=字=5；P =2=爭冒P =3=字应聘者甲正确完成题数的分布列为匕123P131555.131E =1232555设乙正确完成面试的题数为，则取值分别为 0，1，2，3应聘者乙正确完成题数的分布列为:n012316128P27272727“ 1 6 12 8E i i：01232.27272727f22(或/- B 3, E=32)I3丿3(

21、2)因为D&) = (1 2 $汽1+(2 2 f汉3+(3 2 f汉1=2,55552D二n p 1 _ p =3所以DD综上所述，从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成 2 道题的概率考查，甲获得面试通过的可能性大P =0二C30327；P =1二c3627P =2 =C3327827第18页共 16 页20 .已知点 M ( x, y)满足J(x + 1)“ +J(x_1+y2= 2/2(1) 求点 M 的轨迹 E 的方程；2(2) 设过点 N( 1 1,0)的直线 I 与曲线 E 交于 A, B 两点，若厶 OAB 的面积为(03为坐

22、标原点).求直线 I 的方程.2【答案】(1)xy2=1(2)x-y 1=0或X y 1=02【解析】(1)根据几何意义可知，点M满足动点M到定点-1,0 , 1,0的距离和为22，且2 2 2，所以点M满足椭圆的定义，写出轨迹方程；(2)首先分直线l与x轴垂直和x轴不垂直两种情况讨论，当斜率存在时，y =kx 1与椭圆方程联立，设12交点A(X1,y,), B(X2,y2 )，根据条件可知S=如勺力y2=，即23J(y1+y2丫 一4y2 = 4，利用根与系数的关系求k，即得直线1的方程【详解】解: (1)由已知，动点M到点P -1,0,Q 1 ,0的距离之和为2J2，且PQ C2J2，所以

23、动点M的轨迹为椭圆而a = J2,C = 1，所以b = 1,2所以动点M的轨迹E的方程为y2=1.当直线1与x轴不垂直时，设直线1的方程为y = k x 1,y =k x 1 , 由x得1 2k x 4k x 2k -0y =1I 2(2)当直线1与x轴垂直时,则也七&1吟,不满足条件.所以x1x24k21 2k2X1X2 =2k2-21 2k2而SOAB由SOAB1 12|ON y y2=2|力y2,第19页共 16 页2 24k4k 162 2=1 2k21 2k 9，所以直线I的方程为x-y1=0或xyT=0.【点睛】本题考查了定义法求曲线方程和直线与圆锥曲线的位置关系的综合问

24、题，意在考查转化与化归和逻辑推理和计算能力的考查，直线与椭圆相交时，时常把两个曲线方程联立，消去x或y建立一元二次方程， 然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.21 .已知函数 f (x)= ax-cosx a0(1) 若函数 f ( x)为单调函数，求 a 的取值范围；2(2)若 x 0, 2 诃，求：当 a 时，函数 f ( x)仅有一个零点.3兀【答案】(1)a乞-1或a _1(2)详见解析【解析】(1)首先求函数的导数，x=a sinx，当函数单调递增时 X-0 恒成立，当函数单调递减时，f x 0恒成立；(2)根据(1)可知当a_1时，函数单调递增，根据零点

25、存在性定理可知只有一个交点，当0：a：1时，可得函数存在两个极33值点，二：:为, x2：二，根据单调性可判断，f x, =axi - cos%是极大值,2 2f X2二ax?-cosx?是极小值，因为f 0 = T：0,f为0,若函数只有一个零点，只需满足f X20，即可求得a的取值范围.【详解】(1)解：由fxi；=ax-cosx，可得xi；=a sinx,xR.因为 T 玄sinx玄1,又 -丫2 丈 y2?_4yiy2JI k Xi X22k2-24k2(X2卄；1 2k2 21 2k2所以则k4 k2-2 = 0，所以k=T,第20页共 16 页所以当a -1时，x =a sinx0,f x为R上的单调增函数;当a - -1时，x = a sinx乞0,f x为R上的单调减函数综上，若函数f x为单调函数，贝U a_T或a_1.(2)证明：当a -1时，由(1)可知f x为R上的单调增函数第21页共 16 页又fOi1,f012丿2所以函数f x在0,n有且仅有一个零点，满足题意.I 2丿当0 a：1时，令f (x) = a +sinx = 0,贝U sinx = -a由于0兰x兰2