2020届全国大联考高三第一次大联考数学(理)试题(解析版)

1、3 3 【解析】先求出不定积分，再代入上下限来求定积分第 1 1 页共 1818 页2020 届全国大联考高三第一次大联考数学(理)试题一、单选题21 1 已知集合A x| 2 x 3,xN, B x|x 1A，则集合Al B()【答案】A A【解析】化简集合A, ,B，按交集定义，即可求解 【详解】集合A x| 2 x 3,x N 0,1,2,B x|x 1 或 x1，则Al B 2. .故选: :A.A.【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题 22 2命题“x 0,x(x 1) (x 1)”的否定为()A A x20,x(x 1) (x 1)B B x, 0,x(x1)(x1)2C C

2、x0,x(x 1), (x 1)2D D x, 0, x( x1)(x1)2【答案】C C【解析】套用命题的否定形式即可. .【详解】命题“x M , p(x)”的否定为“x M ,P(x)”，所以命题x 0,x(x1) (x 1)”的否定为 “x0,x(x 1) (x 1)2”故选：C C【点睛】 本题考查全称命题的否定，属于基础题3dx(1x 2A A 2B B. 1,0,1C C 2,2D D 1,0,1,2A A 2 In2B B.3 In2C C6 In2D D 6 In43 3 【解析】先求出不定积分，再代入上下限来求定积分第 1 1 页共 1818 页【答案】D D第3 3页共

3、1818 页212i2厂2 dx 2x ln(x 2)1(4 In 4)( 2 ln1) 6 In 4. .故选：D D【点睛】 本题考查定积分的运算，属于基础题A A .充分不必要条件B B 必要不充分条件【详解】由题，4 4 设集合A、B是全集U的两个子集，则“AB”是 “AlQBC C .充要条件D D .既不充分也不必要条件【答案】C C【解析】作出韦恩图，数形结合，即可得出结论 【详解】如图所示，A B AejB同时AQJB故选: :c.c.【点睛】本题考查集合关系及充要条件，注意数形结合方法的应用，属于基础题. .2x,x, 05 5 已知函数f (x)，若f X。2，则xc的取值

4、范围是(Vx 4, x 0A A.(, 1)B B.( 1,0【答案】B【解析】对Xo分类讨论，代入解析式求出【详解】2x,x 0函数f(x)，由f x0Vx 4, x 0C C.( 1,)D D.(f (x0)，解不等式，即可求解),0)22x3dx第4 4页共 1818 页第5 5页共 1818 页2诊2或Xo,0Xo0解得1 Xo, 0. .故选: :B.B.【点睛】 本题考查利用分段函数性质解不等式，属于基础题1X6 6.已知p：Xo1,log!Xo-;q: x R,e x，则下列说法中正确的是()22A.p q是假命题B.p q是真命题C C.p q是真命题D D.p q是假命题【答

5、案】D D【解析】举例判断命题 p p 与 q q 的真假，再由复合命题的真假判断得答案.【详解】当XOi时，sgxoo,故p命题为假命题；2记 f f (x x)= e eX-X的导数为 ff (X)= e eXi,易知 f f(x x)= e ex- x x在(-汽 o o)上递减，在(o o ,+p 上递增,p q是假命题故选 D D【点睛】本题考查复合命题的真假判断，考查全称命题与特称命题的真假，考查指对函数的图象与性质，是基础题.7 7 .已知集合A x | 1 x 剟 2, B x|1x?5，定义集合A* B z|z x y,x A, y B，则B*( A* B)等于()A A.X

6、| 6 x, 1B B.X|1 x, 12C C.x| 11 x, 0D D.x| 5 x, 6【答案】C C【解析】 根据A* B定义，求出A* B，即可求出结论 【详解】 f f (x x) f f (o o)=1 o o，即x R, exx，故q命题为真命题;第6 6页共 1818 页因为集合B x|1 剟 x 5，所以B x| 5 剟 X1,则A* B x| 6 x, 1，所以B*(A*B) x| 11 x, 0. .故选: :C.C.【点睛】本题考查集合的新定义运算，理解新定义是解题的关键，属于基础题A A .( 1,1)B B.(,1)C C.(1,)D.( 1,)【答案】D D【

7、解析】根据函数的奇偶性用方程法求出f (x), g(x)的解析式,进而求出a，再根据复合函数的单调性，即可求出结论 . .【详解】依题意有f (x)g(x) axax2f( x) g( x)xxaa 2f(x)g(x),得f (x)axax, g(x)2,又因为g(2) a,所以a 2, f (x)2x2x, f f (x)(x)在R上单调递增, 所以函数f x22x的单调递增区间为(1,). .故选: :D.D.【点睛】本题考查求函数的解析式、函数的性质，要熟记复合函数单调性判断方法，属于中档题. .x2bx a的部分图象，则函数g(x) alnx f (x)的零8 8.已知R上的奇函数 f

8、(X)f(X)和偶函数g(x)满足f (x)g(x)(a 0且a 1)，若g(2)a，则函数f x22x的单调递增区间为(9 9 .如图是二次函数f (x)A A.4,2B B.1 1, ,1 1C C.(1,2)D D.(2,3)第7 7页共 1818 页【答案】B B【解析】根据二次函数图象的对称轴得出b范围，y轴截距，求出a的范围，判断g(x)在区间端点函数值正负，即可求出结论 【详解】2 f(x) x bx a，结合函数的图象可知,1, /f (x) 2x b,所以g(x)aln xf (x)aln x 2xb在(0,)上单调递增又因为g1 a In1-1b 0,g(1)aln1 2b

9、 0,221 1所以函数g(x)的零点所在的区间是2,i2,i故选: :B.B.【点睛】本题考查二次函数的图象及函数的零点，属于基础题出 f f (x)(x)在(，1)单调性，即可求出结论【详解】 对于任意x R，函数 f(x)f(x)满足f(2 x) f(x),因为函数 f(x)f(x)关于点(1,0)对称，当x 1时，f(x)一匚是单调增函数,二次函afOb - 2X1010 对于任意f (x),x 1. .若a f1 ,b f122A A bc aB B.b a c【答案】 A A【解析】 由已知可得1, )的单调性， 再由x) f (x)，且当xT时，函数1,c f -，则a,b,c大

10、小关系是()3C C cabD D c b af (2 x) f (x)可得 f f (x)(x)对称性，可求第8 8页共 1818 页所以 f(x)f(x)在定义域R上是单调增函数. .第9 9页共 1818 页1111因为232，所以f2b c a. .故选: :A.A.【点睛】本题考查利用函数性质比较函数值的大小，解题的关键要掌握函数对称性的代数形式, 属于中档题.故选：A A1111.已知函数f(x)2，则函数yf (x 1)的图象大致为(【解析】用排除法，通过函数图像的性质逐个选项进行判断,找出不符合函数解析式的图像，最后剩下即为此函数的图像【详设g(x)f(x 1)-，由于gIn

11、x x 12ln2 20， 排除B B 选项；g(e)2二，所以g(e)，排除 C C 选项；由于当x时,g(x)0，排除D D 选项. .故 A A 选项正确. .第1010页共 1818 页【点睛】本题考查了函数图像的性质，属于中档题第1111页共 1818 页ax24ax In x，则 f f (x)(x)在(1,4)上不单调的一个充分不必要条件可以是( )1c11、1c1A A aB B 0 a C C a或a 0D D a 21616216【答案】D D出结论 【详解】若 f f (x)(x)在(1,4)上不单调，令g(x) 2ax24ax 1,则函数g(x) 2ax24ax 1对称

12、轴方程为x 1在区间(1,4)上有零点(可以用二分法求得) 当a 0时，显然不成立；a 0当a 0时，只需g(1) 2a 10g(4)16a 1 0a 011或g(1) 2a 10，解得a或a. .162g16a 1 0故选: :D.D.【点睛】中档题 、填空题1313 如图，直线I是曲线y f (x)在x 3处的切线，贝U f (3)_1212 已知函数f(X)【解先求函数在(1,4)上不单调的充要条件，即f (x)0在(1,4)上有解，即可得f (x)2ax 4a -x2ax24ax 1x本题考查含参数的函数的单调性及充分不必要条件,要注意二次函数零点的求法，属于第1212页共 1818

13、页2【解析】 求出切线I的斜率，即可求出结论【详解】由图可知直线I过点(3,3), 0,3,232可求出直线I的斜率|321,3 021由导数的几何意义可知，f (3)丄. .21故答案为：- -. .2【点睛】本题考查导数与曲线的切线的几何意义，属于基础题. .1414 已知集合A x|x| 4,xZ, B 1,m，若AB A，且3 m A，则实数m所有的可能取值构成的集合是 _ . .【答案】0,2,3. .【解析】 化简集合A，由B A，以及3 m A，即可求出结论 【详解】集合A 3, 2, 1,0,1,2,3，若A B A,则m的可能取值为3, 2, 1, 0 0, 2 2, 3 3

14、,又因为3 m A,所以实数m所有的可能取值构成的集合是0,2,3. .故答案为：0,2,3. .【点睛】本题考查集合与元素的关系，理解题意是解题的关键，属于基础题第1313页共 1818 页1515设函数f(x)3x26x在区间a,b上的值域是9,3，则b a的取值范围是【答案】2,42,4【解析】f(x) 3x26x配方求出顶点，作出图像，求出f(x)9对应的自变量,结合函数图像，即可求解 【详解】f (x)3x26x 3(x 1)23，顶点为(1,3)因为函数的值域是9,3，令3x26x 9，可得x 1或x 3. .又因为函数f(x) 3x26x图象的对称轴为x 1，且f(1)3，所以b

15、 a的取值范围为2,4.2,4.故答案为: :2,4.2,4.【点睛】本题考查函数值域，考查数形结合思想，属于基础题. .1616 如图，养殖公司欲在某湖边依托互相垂直的湖岸线CA、CB围成一个三角形养殖区 ACB.ACB.为了便于管理，在线段AB之间有一观察站点M,M到直线BC,CA的距离分别为 8 8 百米、1 1 百米，则观察点M至到点A、B距离之和的最小值为 _百米 【答案】5.5第1414页共 1818 页【解析】 建系，将直线AB用方程表示出来，再用参数表示出线段AB的长度，最后利用导数来求函数最小值【详解】以C为原点，CA,CB所在直线分别作为X,y轴，建立平面直角坐标系，则M(

16、8,1). .1 8k设直线AB: y 1 k(x 8)，即y kx 1 8k，则A,0 , B(0,18k)，k所以1 8kk0，所以k 0,1 8k 021 8kAB2(1 8k)2f (k)(k 0),k则f(k)(1 8k)211-(k0)，则f (k)2(1 8k)(8)1右(18k)2(2)?2(138k) 8k 12(18k) 2k 1 4k22k 1k3k311当x，时，f (x)0，则 f(x)f(x)单调递减，当x - ,0时，f (x)0，22则 f f (x)(x)单调递增，1所以当k一时，AB最短，此时 ABAB 5 5 5.5.2故答案为：5.5【点睛】本题考查导数

17、的实际应用，属于中档题 三、解答题2x11717.已知集合A x|y .-1，集合B x| 1 剟 x a 2. .V x 1(1) 求集合A;(2)若B A，求实数a的取值范围. .【答案】(1 1)A x|x1 或 x-2；(2 2)(, 3U(3,). .第1515页共 1818 页【解析】(1 1)求出函数y.2x 11的定义域，即可求出结论；V x 1(2)化简集合B，根据B A确定集合B的端点位置，建立a的不等量关系，即可求解 【详解】2x 1x 2(1)由10,即得x 1或x 2,x 1x 1所以集合 A A x|xx|x 1 1 或x-2. .(2) 集合B x| 1剟收a 2

18、x| 1 a剟收2 a,由B A得2 a 1或1 a2，解得a 3或a, 3,所以实数a的取值范围为(，3U(3,). .【点睛】本题考查集合的运算，集合间的关系求参数，考查函数的定义域，属于基础题21818.已知p : x R,m 4x 1 x；q : x 2,8, mlog2x 1-0. .(1) 若P为真命题，求实数m的取值范围；(2) 若P q为真命题且P q为假命题，求实数m的取值范围. .11【答案】(1 1)-,-,(2 2)mv-1或 m m 44【解析】(1 1)根据P为真命题列出不等式，进而求得实数m的取值范围；(2 2)应用复合命题真假判定的口诀：真非”假，假 非”真，一

19、真 或”为真，两真 且”才真 【详解】2(1 1)Q x R m 4x 1 x,m 0且116m20，解得m -4所以当p为真命题时，实数m的取值范围是丄,4(2 2) 由x 2,8, m log2x 10,可得x 2,8, m1log2x第1616页共 1818 页又当x1ro pi n-+1,1,2,8时，log2x31. .第1717页共 1818 页T当p q为真命题，且P q为假命题时,二P与q的真假性相同，1m 当P假q假时，有4，解得m 1；14，解得m1故当P q为真命题且P q为假命题时，可得m 1或m4【点睛】本题主要考查结合不等式的含有量词的命题的恒成立问题，存在性问题，

20、考查复合命题的真假判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力1919已知f(x) x33ax2bx a2(a 1)的图象在x1处的切线方程为y 0. .(1)求常数a,b的值;a 2【答案】(1 1);(2 2)c = 0或c4. .b 9【解析】(1 1)求出f (x)，由f ( 1)0, f ( 1)0，建立a,b方程求解，即可求出结论;(2)根据函数的单调区间，极值，做出函数在4,1的图象，即可求解【详解】(1 1)f (x)23x 6ax b，由题意知f ( 1) 013 6a b 0f( 1) 01 3a b a20，a 1a 2解得(舍去)或b 3b 9(2 2) 当a2

21、,b9时，f (x) 3x212x 93(x 3)(x 1)故方程f (x)0有根，根为x 3或x 1,当p真q真时，有(2)若方程f (x)c在区间4,1上有两个不同的实根，求实数第1818页共 1818 页x(,3)3(3, 1)1(1,)f (x)+ +0 0- -0 0+ +f(x)f(x)Z极大值极小值Z由表可见，当x 1时，f(x)f(x)有极小值 0.0.由上表可知 f(x)f(x)的减函数区间为(3, 1),递增区间为(，3),( 1,). .因为f( 4)0, f( 3) 4,f( 1)0, f (0)4，f (1) 20 由数形结合可得c = 0或c 4. .本题考查导数的

22、几何意义，应用函数的图象是解题的关键，意在考查直观想象、逻辑推理和数学计算能力，属于中档题 x22020.已知函数f(x)2 ,g(x) x 2ax. .(1) 当a 1时，求函数y f (g(x)( 2剟收3)的值域. .(2) 设函数h(x)f(x),x b，若ab 0,且h(x)的最小值为2，求实数a的取g(x),x b2第1919页共 1818 页(1)令x22x,y 2，求出u的范围，再由指数函数的单调性，即可求 出结论;(2(2)对a分类讨论，分别求出 f(x)f(x)以及g(x)的最小值或范围，与h(x)的最小值 二2建2【详解】函数的值域是丄,2562(2 2)当a 0时，则b

23、 0,g(x)在(，a)上单调递减，在(a,b)上单调递增，所以g(x)的最小值为g( a) a20, f f (x)(x)在b,)上单调递增，最小值为2b201,而h(x)的最小值为2，所以这种情况不可能. .2当 a a 0 0 时，则b 0,g(x)在(，b)上单调递减且没有最小值，f(x)f(x)在b,)上单调递增最小值为2b,所以h(x)的最小值为2b2解得b1(满足题意)221 1所以g(b) g -aT1丄2，解得a,2 224224所以实数a的取值范围是-2 24【答(1(1)-,256; (2 2)21 224【解立方程关系,求出b的值，进而求出a的取值关系. .(1)1时,

24、2f(g(x)2x 2x( 2 剟 x 3)，/ xx22x,y2,3 1,8,2是增函数,1 剟”256，第2020页共 1818 页【点睛】第2121页共 1818 页【解析】(1 1)求出 f(x)f(x)的导数，根据导函数的性质判断函数f(x)f(x)的单调性，再利用函数单调性解函数型不等式；(2 2)构造函数(x) f (x) x，利用导数判断(x)在区间(0,2)上单调递减，结合0 s t 2可得结果. .【详解】(x) 1 -，x x(x)在(0,2)上单调递减,又Q0本题考查复合函数的值域与分段函数的最值,键，属于中档题 熟练掌握二次函数图像和性质是解题的关22121 .已知函

25、数f(x) (x a)(1) 若a 0，求不等式f(x)(2) 证明：对任意的0 s t【答案】(1 1)x|x 12xln x，其导函数为f (x),1的解集；2，恒有 3 山1. .s t(2(2)证明见解析(1)若a 0,则f (x) x22xln x, f (x) 2x 2(1 In x). .设h(x) 2x 2(1 In x)，则h(x)所以h(x)在(0,1)上)上单调递增 又当x 0时，h(x);当x1时,h(x)0;当x时，h(x)所以h(x) 0所以f(x)f(x)在(0,)上又f(1)1，所以不等式f (x)1的解集为(2)设g(x) f (x)，再令(x) g(x)2

26、2ln x 2a第2222页共 1818 页g(s) g(t) s t,(s)(t),g(s)s g(t) t,第2323页共 1818 页st 0,g(s) g(t)1s t即f(s) f(t)1s t【点睛】本题考查利用函数的导数来判断函数的单调性，再利用函数的单调性来解决不等式问题，属于较难题 2222已知函数g(x) ex(a 1)x2bx 1(a,b R)，其中e为自然对数的底数 (1) 若函数f (x) g (x)在区间0,1上是单调函数，试求a的取值范围；(2) 若函数g(x)在区间0,1上恰有 3 3 个零点，且g(1)0，求a的取值范围. .3e【答案】(1 1)，-1,; (2 2)(e 1,2). .22【解析】(1 1)求出g (x) f (x)，再求f (x)0,x0,1恒成立，以及f (x)0,x0,1恒成立时，a的取值范围；(2 2)由已知g(1)g(0)0,g(x)在区间(0,1)内恰有一个零点，转化为f(x) g (x)在区间(0,1)内恰有两个零点，由(1 1)的结论对a分类讨论，根据 f f (x)(x)单调性，结合 零点存在性定理，即可求出结论 【详解】(1 1)由题意得f(x) ex2(a 1)x