2020届广东省广州市天河区高三综合测试(二)数学(文)试题(解析版)

1、第1页共 19 页2020 届广东省广州市天河区高三综合测试（二）数学（文）试题一、单选题1 设集合Ay|y 2x,x R,B x|x210,则AB=A.( 1,1)B.(0,1)C.( 1,)D.(0,)【答案】C【解析】A= y|y = 2x, x R = y|y0.B = x|x2- 10 = x| 1x0Ux| 1x 1，故选 C.22 若复数z a i a R在复平面内对应的点在y轴上，则z（A . 1B. 3C. 2D. 4【答案】C【解析】由题意结合复数的运算法则有：2 2 2 2z a i a 2ai i a 1 2ai ,其对应的点在 y 轴上，贝U: a210, a 1,【

2、详解】由二倍角的余弦公式得222.2.2239则：z 2ai2i,z .0222 2.本题选择 C 选项.3 .已知cos3则cos2sin2的值为（）52318934A .B .C .D .25252525【答案】C【解析】利用二倍角公式以及同角三角函数将代数式化为cos2，代入即可得出结果第2页共 19 页cos2 sin cos sin sin cos525故选 C.【点睛】本题考查利用二倍角公式进行计算，解题的关键就是利用二倍角余弦公式化简，考查计算能力，属于基础题4.若等比数列an满足 anan+1= 4n,则其公比为()A . 2B.C. 4D .4【答案】A【解析】由已知条件可得

3、an ian 24n 1，与a.an 14n相除即可得结论.【详解】设等比数列an的公比为q，又等比数列an满足anan 14n0,n 1an ian 24，且q 0,an 1an 2anan 1q 2.故选：A.【点睛】本题主要考查的是等比数列的定义，考查学生对定义的理解和应用，考查的是基本量的运算，是基础题5.某学校调查了 200 名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5, 30，样本数据分组为 17.5, 20) , 20, 22.5),22.5,25), 25, 27.5), 27.5, 30) 根据直方图，这 200 名学生中每

4、周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是()第3页共 19 页A. 56B. 60C. 140D. 120【答案】C【解析】【详解】试题分析：由题意得，自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16 0.080.04) 2.50.7，故自习时间不少于22.5小时的频率为0.7 200 140,故选 C.【考点】频率分布直方图及其应用.1i16.设 0vaV，且x =a-2,y=log2a,z= log2，贝 Vx、y、z 的大小关系是（）2aaA.yvzvxB.zvyvxC.xVyvzD.yvxVz【答案】D【解析】 根据a的范围，将x, y, z化简得范围，即可比较大小 .【详解】Q 0 a

5、1,丄2,2a1x a20吃y log1a1 0，2 a1又函数y log2x为增函数，z log2log22 1,ay x z.故选：D.【点睛】本题主要考查的是函数值的大小比较，根据对数和指数的运算性质是解决本题的关键，利用指数函数对数函数及幕函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幕函数的增减性， 当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值0,1的应用，有时候要借助其”桥梁”作用，来比较大小，是基础题 .100804020o o o O第4页共 19 页7 祖暅原理：幕势既同，则积不

6、容异”意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等 .设A、B为两个同高的几何体，P：A、B的体积不相等，q:A、B在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p是q的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】B【解析】p: A, B的体积相等，q :代B在同高处的截面积相等，由于 A、B 体积相等,A、B 在同高处的截面积不恒相等，譬如一个为柱体另一个为椎体，所以条件不充分；反之成立，条件是必要的，因此q是p的必要不充分条件.选 B.uuuv 4 uuv8如图，在平行四边形ABCD中，M,N分别为AB, AD上的点，且AM

7、 -AB,5【答案】B第 4 页共 19 页Au 2AD，连接AC, MN交于P点，若APAc，贝U的值为（3点睛：（1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三 角形法则进行向量的加、减或数乘运算.（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底 将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.9.已知三棱柱ABCAB1C1的侧棱与底面边长都相等，A在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与 CC1所成的角的余弦值为（）A .-B.57【答案】Cuuu4UU/UUL/【解析】 AMAB, AN5uuvuuu/uuvuu/APACABAD5

8、UULU/3uuuvAMAN425 uuuv3 UJUAMAN,42/三占-M，N，P 共线.531421解得：44114D.13C.332 UUVSAD，则:第6页共 19 页第7页共 19 页【解析】设BC的中点为D，连接AD、AD、AB，易知AAB即为异面直线AB与CG所成的角（或其补角）由余弦定理，计算得cos AAB即可.【详解】如图，设BC的中点为D，连接AD、AD、AB,易知AAB即为异面直线AB与CG所成的角（或其补角）平移不好作，可采用建系，利用空间向量的运算求解，属于基础题AAB即为异面直线AB与 CC1所成的角（或其补角），进而通过计算ABA1的各边长，利用余弦定理求解即

9、可.10 .已知f x sin xcosx . 3 cos2x3，将f x的图象向右平移了个单位，6再向上平移 1 个单位，得到y = g（x）的图象，若对任意实数x，都有g a x g a x成立，则g a()4A 彳恵A . 12【答案】B设三棱柱ABCAB!。!的侧棱与底面边长均为1,则AD3,2AD由余弦定理，得cos A,AB2 2AA ABAiB22A1A AB本题主要考查通过平移找到所成角是解这类问题的关键，若解答本题时，易知B. 1第8页共 19 页2 3 c，即3c2- 3a22ac，因此v3e22e 3 0,3【解析】化简f Xsin x cosxsin(2x )，将f x

10、的图象向3右平移了 -个单位，再向上平移61 个单位，得到所以gsin2( x成立，则1 sin 2x 1，所以T，又对任意实数x，都有y = g(x)关于x a对称，所以a4为平衡位置处,1.411.以双曲线221 a 0,b 0上一点bM为圆心作圆，该圆与x轴相切于C的一个焦点F，与y轴交于P,Q两点，若PQ，则双曲线C的离心率是3【答案】A【解析】根据圆与x轴相切于C的一个焦点F，且圆心在双曲线上，可确定圆心坐标和半径，再由弦长PQ矣3 c，即可求出结果.3【详因为以双曲线2每1(a0,b0)上一点M为圆心作圆，该圆与x轴相切于b2C的一个焦点F，所以MF x轴；不妨令M在第一象限，所以

11、易得M c,，半a取PQ中点N，连结MN，则MN垂直且平分PQ，所以MQMNPQ又MQb2r，所以a第9页共 19 页故答案为 A【点睛】小值为()【答案】D题，可以转化为圆心到曲线y Inx上的动点的距离减去半径的平方的最值问题，结合图形，可以断定那个点应该满足与圆心的连线与曲线在该点的切线垂直的问题来解决，从而求得切点坐标，即满足条件的点，代入求得结果【详解】由题意可得，其结果应为曲线y Inx上的点与以C 2,3为圆心，以1为半径的圆上的点的距离的平方的最小值，可以求曲线y Inx上的点与圆心C 2,3的距离的最小值，在曲线y Inx上取一点M m,lnm，曲线有y Inx在点 M 处的

12、切线的斜率为k 1，从而有kcMk1，即Inm_3丄1，整理得Inm m22m 3 0,mm 2 m解得m 1,所以点1,0满足条件，其到圆心C 2,3的距离为d；2 123 023,2，故其结果为3 2 119 6、2,故选 D.【点睛】本题考查函数在一点处切线斜率的应用，考查圆的程，两条直线垂直的斜率关系，属中档题二、填空题x 2x, x 113 .已知函数f(x)，则f(f( 1)Iog2(x 1),x1【答案】2本题主要考查双曲线的离心率,根据题意,结合双曲线的性质即可求解,属于常考题型12 若x,a,b均为任意实数，且2b 31，则Inx2b的最B.18C 32 1D 196j2【解

13、析】该题可以看做是圆上的动点到曲线y Inx上的动点的距离的平方的最小值问第10页共 19 页【解析】 先求f 1，进而求出答案.【详解】x 2x x 1因为f (x)，所以f( 1)( 1)22 ( 1)3则log2(x 1),x1f(f( 1) f (3) log2(3 1) 2.【点睛】本题考查分段函数求值问题，属于简单题.14 .已知 F 是抛物线 C: y2= 8x 的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N.若 M 为 FN 的中点，贝 U |FN|=_ .【答案】6【解析】 求出抛物线的焦点坐标，推出M 坐标，然后求解即可.【详解】抛物线 C： y2= 8x 的

14、焦点 F (2, 0), M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N 若 M为 FN 的中点，可知 M 的横坐标为：1,则 M 的纵坐标为：22,|FN|= 2|FM|= 2.(1 2)2( 2 20)26.故答案为：6.【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力.15 .如图，在厶 ABC 中，点 P 在 BC 边上，/ PAC = 60 PC= 2, AP+AC = 4,若厶 ABC的面积是 玄3，贝 y sin / BAP =_.2【答案】314【解析】 根据余弦定理得到AP,从而得到VPAC为正三角形，可得APB，再利用面积得PB，然后结合余弦定理得AB，在ABP中

15、利用正弦定理即可得sin BAP.【详解】第11页共 19 页在厶 APC中，因为PAC 60 ,PC 2,AP AC 4，则AC 4 AP,第12页共 19 页2 2 2由余弦定理得PCAP AC 2 AP ACCOS60,整理得AP24AP 40，解得AP 2，所以AC 2.所以 APC是等边三角形，所以ACP 60,所以APB 120,又因为VABC的面积为3 .3- ?2所以SVABC/ABPSVAPC11-AP PB sin APB AP AC sin PAC223,32所以PB 1.在厶厶APB中，AB2AP2PB22 AP PBcos APB2 221221 cos120 7,所

16、以AB . 7.所以sinBAPsin 1207ABPBsin APB sin BAP21在厶厶APB中，由正弦定理得,【点第13页共 19 页本题主要考查的是正弦定理和余弦定理的应用，题的关键，考查的是学生的计算能力，是中档题熟练掌握正弦定理和余弦定理是解决本O的球16 已知四棱锥S ABCD的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球面上，则球O的表面积等于_交于 O,即为球心，利用正弦定理求得外接圆的半径，利用垂径定理求得球的半径，即 可求得表面积【详解】由该四棱锥的三视图知，该四棱锥直观图如图,因为平面SAB平面ABCD，连接 AC,BD 交于 E，过 E 作面 ABCD 的垂线与过三

17、角形 ABS 的外心作面 ABS 的垂线交于 O,即为球心，连接 AO 即为半径,2SAB 中，SA=SB=3,AB=4,则 cosSBA,33学，二ri斗，又 OF=Msin SBA .52、52可得R22riOF2,计算得，R28iioii2020所以Sioi4 R2故答案为ioi55【点睛】本题考查了三视图还原几何体的问题，考查了四棱锥的外接球的问题， 关键是找到球心, 属于较难题 三、解答题17 .已知数列an的前 n 项和 Sn= 3n2+8n , bn是等比数列，且 ai bi= 9, b32= S3.第 i0 页共 i9 页【答1015【解析】先还原几何体，再从底面外心与侧面三角

18、形SAB的外心分别作相应面的垂线二 sinSBA令ri为SAB外接圆半径，在三角形第15页共 19 页【详解】则bn【点睛】(1)求数列an、 bn的通项公式;(2)令an1Cn-，求数列Cn的前 n 项和 Tn.6bn【答(1)1an= 6n+5, n N； bn= 2n, n N； (2) Tn= 3-( n+3) ? ( )n2【解(1)2由Sn 3n 8n得a.，再根据等比数列的通项公式，即可求出bn；(2)由1)可得Cn,再根据错位相减进行求和即可(1)数列an的前 n 项和Sn3n28n，11，anSn2Sn 13n 8n3(n21)8(n1) 6n5,(n 2)，上式n 1也成立

19、，则an6n5, n Nbn是等比数列，设公比为可得11 b19, bq2$3bq，解得b12,(2)Cn詔詔6bn(n1)则前 n 项和Tn(n 1)2Tn(n1)(2)n 1，两式相减可得iTn(1)n(n1)1(n1)化简可得Tn(n 3)2本题主要考查的是数列通项与前n项和的关系、等比数列的通项公式的基本量求法以及第16页共 19 页错位相减法求和，考查的是计算能力，是基础题25,第17页共 19 页18在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，ABD 90,EB平面ABCD,EF / /AB, AB 2,EB .3, EF 1,BC .13，且M是BD的中点(1)求证:EM

20、/平面ADF;(2)求多面体ABCDEF的体积V5运【答案】(1)见解析；(2)2【解析】【详解】试题分析：(1)取 AD 的中点 N，连接 MN、NF.由三角形中位线定 理，结合已知条件，证出四边形 MNFE 为平行四边形，从而得到 EM / FN，结合线面 平行的判定定理，证出 EM /平面 ADF ; (2)利用VVF ABDVF BEDVE BDC，可得 多面体ABCDEF的体积V(1) 证明：取 AD 的中点 N,连接 MN , NF.在厶 DAB 中，/ M 是 BD 的中点，N 是 AD 的中点，1 MN / AB, MNAB2，1又/ EF / AB, EFAB2， MN /

21、EF，且 MN = EF .四边形 MNEF 为平行四边形，则 EM / FN ,又 FN?平面 ADF , EM?平面 ADF ,故 EM /平面 ADF ;(2) 解：/ ABD = 90 EB 丄平面 ABCD , EF / AB,AB= 2 ,EB 3 , EF = 1, BC.13,多面体 ABCDEF 的体积 V= VF-ABD+VF-BED+VE-BDC1(12 3 -313 - 3 1 1 2 3 .3).2333219.某医学院欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,该院派出研究小组分第18页共 19 页别到气象局与某医院，抄录了1 到 6 月份每月 10 号的昼夜温差

22、情况与因患感冒而就诊的人数，得到数据资料见表：月份123456昼夜温差(C)1011131286就诊人数(个)232630271713该研究小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取 2 组，用剩下的 4 组数据求线性回归方程，再用被选取的 2 组数据进行检验.(1 )求选取的 2 组数据恰好是相邻的两个月的概率；(2)已知选取的是 1 月与 6 月的两组数据.(i)请根据 2 到 5 月份的数据，求就诊人数 y 关于昼夜温差 x 的线性回归方程：(ii )若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2 人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该研究小组所得的线性回归方程是

23、否理想？2(ii)该小组所得线性回归方程是理想的.【解析】(1)运用列举法与古典概型公式求解； (2) (i)求出x, y，代入公式求得$,a，即可得线性回归方程；(ii)借助与回归方程分析探究即可【详解】(1 )设选取的 2 组数据恰好是相邻两个月为事件A,因为从 6 组数据中选取 2 组数据共有 15 种情况，1,2 , 1,3 , 1,4 , 1,5 , 1,6 , 2,3 , 2,4 , 2,5 , 2,6 , 3,4 , 3,5 , 3,6 , 4,5 , 4,6 , 5,6，每种情况都是等可能出现的,其中选取的 2 组数据恰好是相邻两个月的情况有5 种,$(参考公式bnXix yi

24、yi 1n(Xix)2i 1nXiyinxy$ i 1n，a2 2人nxi 1$bx)18(2) (i) yx7所以p(A)_515(2)x丄(11413，13 12 8)11,y - 26 30 27 174【答案】(1)25,第19页共 19 页该小组所得线性回归方程是理想的.【点睛】本题主要考查的是古典概型和古典概型的概率公式以及统计案例,求法，考查学生的分析问题和解决问题的能力以及计算能力,2 220 已知椭圆C1:笃爲1(a b 0)的离心率为a b2px(p 0)的焦点，点2,4在抛物线C2上.1求椭圆G的方程；2已知斜率为 k 的直线 I 交椭圆 G 于 A, B 两点，M 0,

25、2，直线 AM 与 BM 的斜率1乘积为 一，若在椭圆上存在点 N，使AN BN，求VABN的面积的最小值.2【答案】(1) 乂匸1； (2)16.843【解析】1先求出P的值，即可求出c的值，根据离心率求出a的值，即可得到椭圆方程y kx m2设直线I的方程为y kx m，设A 为，y1,B X2, y?,，由22o，x 2y 8A根据直线AM与BM的斜率乘积为 一，求出m 0，再根据弦长公式求出AB和2ON，表示出三角形的面积，再利用二次函数的性质即可求出最小值.x x yiyi 1n(x x)2i 1Xiy nxyi 1 n2xi 12nx187$18ybx 25-711231得到 y

26、关于 x 的回归直线方程为 y18x7237(2)当 x= 10 时，y同样，当 x= 6 时，y16378512.1,12.1721.3,21.3 231.3 2,130.9 2,估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2 人,以及线性回归方程的是基础题丄2，右焦点 F 是抛物线C2:2第20页共 19 页【详解】21 Q点2,4在抛物线y 2px上,第21页共 19 页16 4p,解得p 4,椭圆的右焦点为F 2,0,Q椭圆Ci:冷爲1(a b 0)的离心率为2 ,a b2c 2a 2 a2.2，b2a2c28 44,2 2椭圆Ci的方程为xy1,84kx m,设A xi,yi,B X2,

27、y2,y kx m2 2 2 2由x 2y 8，消 y 可得1 2k x2m222 2m 8ky1y2k x-iX22m2，y1y2k x1x2km x-ix2m1 2k1 2k2Q M 0,2，直线 AM 与 BM 的斜率乘积为12，y12七2y22 % y24m 21k1k2xXx1x22 m 22解得m 0,Q AN BNON垂直平分线段 AB，2设直线 i 的方程为y4kmx 2m2X1X24km1 2k2xx22m281 2k2直线 l 的方程为ykx，线段 AB 的中点为坐标原点,由弦长公式可得AB14x1x2第22页共 19 页本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系,考查椭

28、圆与二次函数函数的应用,考查计算能力，属于难题，注意在解答过程中弦长公式的运用与求解，在解答最值时采用二次函数的方法求得结果.121 .已知函数 f (x)a (x- 1)2+ (x - 2) ex( a 0).2(1)讨论函数 f(x)的单调性；1(2)若关于 x 的方程 f (x) -a = 0 存在 3 个不相等的实数根， 求实数 a 的取值范围.2【答案】(1)见解析(2) 2evave2或 a e2.【解析】(1)对函数f x进行求导并因式分解，令f (x)0，求出根，对两根大小进行讨论，即可得到函数 f (x)的单调性;1(2)将f(x) 1a 0因式分解(X2) e1ax20,可

29、知x 2是方程的一个解,x1因此eax0有2个实数根且x0,x2构造函数，求导利用单调性和极值即【详(1)f (x) a(x 1) (x1)ex(x 1)Qa 0,由f (x)0可得x1或x In a,1当k 0时，设直线 ON 的方程为y -x,k当k 0时，VABN的面积也适合上式,令t k21,t 1,01t同理可得ON32k2112：1232 k21k22，S/ABNON AB 8(k21)2k22 2k21t2则BABN8t 1 2t 11当一2时，即k 1时,t【点睛】SvABN的最小值为163第23页共 19 页(i)当0 a e时，1 ln a,在(1,),(,lna)上，f

30、(x) 0, f(x)单调递增,在(lna, 1)上，f (x)0, f(x)单调递减；(ii)当a e时，Ina 1,f (x)0在R上恒成立，即 f(x)在 R 上单调递增;(iii)当a e时，Ina 1,(,1)上，f (x)0, f (x)单调递增,2ex(x 2,x0),在(In a,在(1,ln a)上,f (x)0, f (x)单调递减;(2)Q f(x)112a ax22ax(x 2)ex(x 2) ex1ax20有 3 个实数根,2显然是方程的一个解，故1ax0 有 2 个实数根且20,x 2，第24页共 19 页xx旦，则g x x,0),(0,1)时，g (x)0,g(x)单调递减,(1,2),(2,)，g (x)0,g(x)单调递增,本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程的解转化为函数的交点个数，考查了数形结合思想方法、推理能力与计算能力，属于难题x 2t22 .已知曲线 C 的参数方程为2( t 为参数)，以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴y t2exx0时，g(x) 0,x 1时，g(x)取得极小值，g(1) 2e，当e2或a e2.第25页共 19 页为极轴建立极坐标系，过极点的两射线h、L 相互垂直，与曲线 C 分别相交于 A、B