2020届广西桂林市、崇左市、贺州市高三模拟数学(理)试题(解析版)

1、【详解】第 1 1 页共 1919 页2020 届广西桂林市、崇左市、贺州市高三模拟数学（理）试题一、单选题1 1.i是虚数单位，复数z 1i i 在复平面上对应的点位于（）A A 第一象限B B.第二象限C C 第三象限D D 第四象限【答案】D D【解析】求出复数 z z 在复平面内对应的点的坐标，即可得出结论 【详解】复数 z z 1 1 i i 在复平面上对应的点的坐标为1, 1，该点位于第四象限 故选：D.D.【点睛】本题考查复数对应的点的位置的判断，属于基础题2 2 已知随机变量X服从正态分布N 1,4,P X 20.3,P X 0（）A A 0.2B B.0.3C C 0.7D

2、D 0.8【答案】B B【解析】利用正态分布密度曲线的对称性可得出P X 0 P X 2，进而可得出结果. .【详解】Q X : N 1,4，所以，P X 0 P X 20.3. .故选：B.B.【点睛】本题考查利用正态分布密度曲线的对称性求概率，属于基础题3 3 已知集合Ax x 1,Bx ex1,则 ()A A A Bxx1B B ABxx eC C A Bxx1D D ABx0 x 1【答案】C C第2 2页共 1919 页【解析】 求出集合B，计算出AI B和AUB，即可得出结论第3 3页共 1919 页Q A Xx1,Bxex1 x x 0,AB x x 0,AB x x 1. .故

3、选：C.C.【点睛】本题考查交集和并集的计算，考查计算能力，属于基础题4 4 .已知满足sin1，贝U cos(-)cos()( )344725725A A .B B.C C.-D D .18181818【答案】A A【解析】cos()cos()-(cosi )近sin )(cos12 2sin )(cossin )442221(1 2sin2)1(1 2 1)-，选 A.A.229185 5.设平面与平面 相交于直线m，直线a在平面 内，直线b在平面 内，且b m则“ ”是“a b”的（）A A .充分不必要条件B B .必要不充分条件C C 充要条件D D 即不充分不必要条件【答案】A A

4、【解析】【详解】试题分析：a丄3,b b 丄占一 atat；又直线 a a 在平面a内，所以 a a 丄 b b,但直线址胡不一定相交，所以 “丄3是“丄 b b”的充分不必要条件，故选 A.A.【考点】充分条件、必要条件 6 6 .函数f xsin 2x 035x12的值域为（）11 11A A .,1B B.0-0-C.0,1D D .-,022 22【答案】A A【解析】由x50,计算出2x的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函123第4 4页共 1919 页数y f x的值域. .【详解】Q x5710,-2x sin 2x11233623因此，函数f xsin2x0 x5的值域为

5、1,1. .3122故选：A.A.【点睛】本题考查正弦型函数在区间上的值域的求解，解答的关键就是求出对象角的取值范围,考查计算能力，属于基础题 7 7.在区间1,1上随机取一个数k，使直线y k(x 3)与圆x2y2为(C C .辽4【答案】【详解】d-理1,解得辽k辽1 k4442所以相交的概率, ,故选 C.C.P24【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题 8 8很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如费马大定理”但大多猜想还未被证明，如哥德巴赫猜想”、角谷猜想”角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数， 如果它是奇

6、数，则将它乘以3再加 1 1;如果它是偶数，则将它除以2;如此循环，最终都能够得到1 下图为研究 角谷猜想”的一个程序框图 若输入n的值为10,则输出 i i 的值为()1相交的概率1B.-3【解根据直线与圆相交，可求出k k 的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率因为圆心(0,0)，半径r 1，直线与圆相交，所以第5 5页共 1919 页开始）1r0/输入I:欲数夬/A A .5B B.6C C.7 7D D.8【答案】B B【解析】根据程序框图列举出程序的每- 步，即可得出输出结果【详解】输入n 10,n 1不成立，n是偶数成立，则10n25,i0 1 1;n 1不成立，n是偶数不成立，

7、则n3 5 116,i 1 12;n 1不成立，n是偶数成立，则n16 8，i 2 13;n 1不成立，n是偶数成立，则n8 4，i3 14;n 1不成立，n是偶数成立，则n42.22，i4 15;n 1不成立，n是偶数成立，则n21,i25 16;n 1成立，跳出循环，输出 i i 的值为6. .故选：B.B.【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于基础题9 9 .设mln2,nlg 2，则（)A A .mnmnmnB B.mnmnmnC C .mnmnmnD D.mnmn mn【答案】D D【解析】由不等式的性质及换底公式即可得解第6 6页共 1919 页【详解】解：因

8、为m In 2,n lg2，则m n，且m,n 0,1,所以m n mn,m n m n,111 1 10又一 一 - -log210 log2e log2 log221, ,n m lg 2 ln 2em n .即1, ,则m n mn,mn即m n m n mn,故选：D.D.【点睛】本题考查了不等式的性质及换底公式，属基础题. .1010 .过抛物线 C C： y y2= 4x4x 的焦点 F F ,且斜率为,3,3 的直线交 C C 于点 M(MM(M 在 x x 轴的上方) ), l l 为 C C 的准线，点 N N 在 I I 上且 MNMN 丄 I I，则 M M 到直线 NF

9、NF 的距离为()A A .5B B.2.2C C.2.3D D.3 3【答案】C C【解析】 联立方程解得 M(3M(3,2 3) ),根据 MNMN 丄 I I 得|MN|MN| = |MF|MF|= 4 4，得到 MNFMNF 是边 长为 4 4 的等边三角形，计算距离得到答案 【详解】_y * 3X 11依题意得 F(1,0)F(1,0)，则直线 FMFM 的方程是 y y=、3(x(x- 1)1).由鸟2得 x x=或 x x= 3.3.y24x3由 M M 在 x x 轴的上方得 M(3M(3,23) ),由 MNMN 丄 I I 得|MN|MN|=|MF|MF|= 3 3 + 1

10、 1 = 4 4又/ NMFNMF 等于直线 FMFM 的倾斜角，即/ NMFNMF = 6060因此 MNFMNF 是边长为 4 4 的等边三角 形点 M M 到直线 NFNF 的距离为4232故选：C.C.【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力1111.在一个数列中，如果n N*，都有a“an & 2k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积 已知数列an是等积数列，且a11, a a22 2，公第7 7页共 1919 页Q2020 3 673 1，因此,故选：B.B.【点睛】 本题考查数列求和，考查了数列的新定义，推导出数列的周期性

11、是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题 1212 .已知函数fxIn x , g x2m 3 xn,若x 0,总有f x g x恒成立. .记2m3 n的最小值为Fm, n，则F m,n的最大值为( )111A A . 1 1B B.C C .7.7D D 飞eee【答案】 C C【解析】 根据x0,总有fxg x恒成立可构造函数h xln x2m3 xn, ,求导后分情况讨论h x的最大值可得最大值最大值h-In 2m31 n2m3即ln2m 31n0 根据题意化简可得2m : 3 n 2m3In 2m 31， 求得F m,n2m 3In 2m 31再换元求导分析最大值即可积为8，

12、则aia2a2020( )A A.4711【答案】B BB B.4712C C.4713D D.4715【解析】计算出as的值，推导出an 3a*n N，再由2020 3 673 1，结合数列的周期性可求得数列an的前2020项和. .【详由题意可知a*an28，则对任意的nN，a*a38aa2由anan 1an 28，得an 1an 2an 38，anan 1an 2an 1an 2an 3，an 3an，a1a2a2020673 a a2a3d 673 7 1 4712. .第8 8页共 1919 页t Int故F m,n的最大值为g.e故选：C【点睛】、填空题【详x 0,总有In x 2

13、m 3 x n即In x 2m 3 x n 0恒成立. .h x2m2m故在In x2m 3, ,0则h x0, ,则当x的最大值小于等于0.0.0, ,h x在0,1时, ,h x2m 31时, ,h x 0, ,h x在2m 32m1-处h x取得最大值32m 31Inm 3In 2m0， 化简得F m, n2m 3In 2m上单调递增，h x无最大值. .0, ,h x在1一,上单调递减，m 32mIn 2m 32m2m2m上单调递增 In 2m 33,0, ,可令故ktInt2, ,当t12时，ke0, ,k递减;故在tkt0, ,k t在递增. .t取得极大值，为k丄2e丄2. .本

14、题主要考查了根据导数求解函数的最值问题，需要根据题意分析导数中参数的范分析函数的最值，进而求导构造函数求解2m3 n的最大值. .属于难题. .第9 9页共 1919 页1313已知向量a2, 6，b 3,m，若a b a b，则 m m _ . .【答案】1 1r r【解析】根据向量加法和减法的坐标运算，先分别求得ab与 a a b,b,再结合向量的模长 公式即可求得m的值. .则r ar a rb26 mUm212m61J1226 mJm212m 37rrrr因为aba b即.m212m 61 . m212m 37, ,化简可得12m 61 12m 37解得m 1故答案为：1【点睛】本题考

15、查了向量坐标加法和减法的运算，向量模长的求法，属于基础题. .1414某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2400人、高二2000人、高三n人中，抽取90人进行问卷调查 已知高一被抽取的人数为36，那么高三被抽取的人数为_ 【答案】24恰好过点F2，则该双曲线的渐近线的斜率为 _4【答案】-rbr a贝r br am 65【解由分层抽样的知识可得24002400 2000 n90 36，即n1600，所以高三被抽取的人数为1600240020009024，应填答案 24 2 2x y1515 点P在双曲线21a 0,ba b0的右支上，其左、右焦点分别为直线PF1与以坐标原点O为

16、圆心、a为半径的圆相切于点A，线段PF1的垂直平分线第1010页共 1919 页3【解析】如图，A是切点，B是PF1的中点，因为OA a，所以BF22a，又FiF22c,所以BFi2b,| PF?4b,又PF2F” 2C,根据双曲线的定义，有PF1PF22a，即4b 2C2aa，两边平方并化简得 3C22ac 5a20,所1616 某校13名学生参加军事冬令营活动，活动期间各自扮演一名角色进行分组游戏，角色按级别从小到大共9种，分别为士兵、排长、连长、营长、团长、旅长、师长、军长和司令 游戏分组有两种方式，可以2人一组或者3人一组 如果2人一组，则必须角 色相同；如果3人一组，则3人角色相同或

17、者3人为级别连续的3个不同角色 已知这13名学生扮演的角色有3名士兵和3名司令，其余角色各1人，现在新加入1名学生，将 这14名学生分成5组进行游戏，则新加入的学生可以扮演的角色的种数为 _ . .【答案】9【解析】对新加入的学生所扮演的角色进行分类讨论，分析各种情况下14个学生所扮演的角色的分组，综合可得出结论 【详解】依题意，14名学生分成5组，则一定是4个3人组和1个2人组 1若新加入的学生是士兵，则可以将这14个人分组如下；3名士兵；士兵、排长、连长各1名；营长、团长、旅长各1名；师长、军长、司令各1名；2名司令 所以新加入 的学生可以是士兵，由对称性可知也可以是司令；2若新加入的学生

18、是排长，则可以将这14个人分组如下：3名士兵；连长、营长、团长各1名；旅长、师长、军长各1名；3名司令；2名排长 所以新加入的学生可以是排长，由对称性可知也可以是军长；3若新加入的学生是连长，则可以将这14个人分组如下：2名士兵；士兵、排长、连长各1名；连长、营长、团长各1名；旅长、师长、军长各1名；3名司令 所以新加入的 学生可以是连长，由对称性可知也可以是师长；第1111页共 1919 页4若新加入的学生是营长，则可以将这14个人分组如下：3名士兵；排长、连长、营长各1名；营长、团长、旅长各1名；师长、军长、司令各1名；2名司令 所以新加入第1212页共 1919 页的学生可以是营长，由对

19、称性可知也可以是旅长；5若新加入的学生是团长，则可以将这14个人分组如下：3名士兵；排长、连长、营1名；3名司令；2名团长 所以新加入的学生可以是团综上所述，新加入学生可以扮演9种角色. .故答案为：9. .【点睛】讨论，属于中等题 三、解答题1717 .某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数 x x 与烧开一壶水所用时间 y y 的一组数据，且作了一定的数据处理(如7yWi.i立 5i-f-L弘-弘J)Ji1.47 20.60+78O.S1-19316Jd(1)(1) 根据散点图判断，y a bx与y c 2哪一个更适宜作烧水时间 y y

20、关于开关旋x钮旋转的弧度数 X X 的回归方程类型？(不必说明理由)长各1名；旅长、师长、军长各本题考解答的关键就是对新加入的学生所扮演的角色进行分类表中Wi丄2,X11 110 W W|1010i 1第1313页共 1919 页(2)(2)根据判断结果和表中数据，建立 y y 关于 x x 的回归方程；(3)(3) 若旋转的弧度数 x x 与单位时间内煤气输出量 t t 成正比，那么 x x 为多少时，烧开第1414页共 1919 页壶水最省煤气?附：对于一组U3N3, -UnM，其回归直线V的斜率和截距的最小二乘估计分别为(1n_ViVi 1nUii 1UiU_2_2 , , 口v切.Up

21、l【答案】（1 1）y c -2更适宜（2 2）x【解析】（1 1）根据散点图是否按直线型分布作答;5驾（3 3）x x 为 2 2 时，烧开一壶水最省煤气x（2 2）根据回归系数公式得出 y y 关于 的线性回归方程，再得出y y 关于 x x 的回归方程;（3 3）利用基本【详(1)(1)yc c 2 2 更适宜作烧水时间 y y 关于开关旋钮旋转的弧度数xx x 的回归方程类型 （2 2） 由公式可得:10_Wiw yiyi 110Z2Wiwi 1162 20，0.81y dW 20.620 0.78 5，所以所202. .（3 3）设t kx，则煤气用量S ytkx20220k2j5k

22、x =20k，20k当且仅当5kx时取“x故 x x 为 2 2 时，烧开一壶水最省煤气”，即x2时，煤气用量最小. .【点本题考查拟合模型的选择，回归方程的求解，涉及均值不等式的使用，属综合中档题. .1818.VABC中的内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若；5b 4c,B 2C. .(1(1)求cos B；（2）若c 5，点D为边BC上一点，且BD 6，求VADC的面积. .3【答案】（1 1）（2 2） 10105【解析】（1 1）由二倍角的正弦公式以及正弦定理，可得2、5cosC，再根据二倍角的5第1515页共 1919 页余弦公式计算cosB即可;三角形的面积公式求出结果即可【

23、详解】(0QB 2C，sin B sin2C 2sin CcosC，又,5b 4c，cosCsin Bb2.52sin C2c5cosBcos2C2cos2C 135，（2）Qc 5,、,5b 4c，b 4.5，由余弦定理得，b2a2c22accosB，则80 a225 2 a 53，5化简得，a26a 550，解得a 11或a 5(负值舍去)，QBD 6，CD 5，Q cosC 25，C 0,，51VADC的面积S -DC AC sinC2【点睛】考查了运算能力，属于基础题1919底面ABCD为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如图所示的几何体 若(2(2)由已知可得 b b 5 5，利用余

24、弦定理解出a,由已知计算出CD与sinC，再根据在VABC中，由正弦定理得,sin B bsinC csin C 1 cos2CJ5本题考查了三角形面积公式以及正弦定理、余弦定理的应用，考查了二倍角公式的应用,0第1616页共 1919 页DA DH DB 4,AE CG 3. .(1) 求证：EG DF；(2) 求二面角A HF C的正弦值 【答案】(1 1)见解析；(2 2)sin-154【解析】(1 1 )先由线面垂直的判定定理证明EG平面BDHF，再证明线线垂直即可；(2 2)建立空间直角坐标系，求平面AFH的一个法向量与平面CFH的一个法向量， 再利用向量数量积运算即可 【详解】(1

25、) 证明：连接AC，由AE,CG平行且相等，可知四边形AEGC为平行四边形，所以EG/AC. .由题意易知AC BD，AC BF，所以EG BD，EG BF，因为BDI BF B，所以EG平面BDHF，又DF平面BDHF，所以EG DF. .(2) 设ACI BD O，EGI HF P，由已知可得：平面ADHE/平面BCGF，所以EH /FG，同理可得：EF /HG，所以四边形EFGH为平行四边形，所以P为EG的中点，O为AC的中点，所以OP,AE平行且相等，从而OP平面ABCD，又OA OB，所以OA，OB，OP两两垂直，如图，建立空间直角坐标系O xyz，OP 3，DH 4，由平面几何知识

26、，得BF 2. .则A 2、3,0,0，C 2.3,0,0，F 0,2,2，H 0, 2,4，0第1717页共 1919 页uuur厂uuuLuir所以AF 2 3,2,2，CF 2、3,2,2，HF 0,4, 2令y 1,则z 2，x 3，所以n 3,1,2 同理，平面CFH的一个法向量为设平面AFH的法向量为nx,y,z，由uuvvAF nuuuvvHF n0，可得2 3x 2y4y 2z 02z第1818页共 1919 页.3,1,2设平面AFH与平面CFH所成角为本题考查了线面垂直的判定定理及二面角的平面角的求法，重点考查了空间向量的应用，属中档题(1(1)求椭圆 C C 的方程;kx

27、kx m m 与椭圆C交于M X1,y1,N X2, y2两点，连接AM，AN、 、1111并延长交直线x 4于E x3, y3,F x4, y4两点，已知，求证:y1y2y3纸直线MN恒过定点，并求出定点坐标2 2【答案】(1 1) y1(2 2)证明见解析；定点坐标为(1,0)43【解析】(1 1)由条件直接算出即可6y16 y2kAE可得y3J，同理y4己，然后由丄丄丄丄推出m k即可y1y2y3w【详解】y kx m,(2)由x2y2得31.432 2 24k x 8kmx 4m 12x28km3 4k2则|cos Imn14， 所以sin2 22020 .已知椭圆C:笃y2a b1(

28、 ab 0)，与x轴负半轴交于A( 2,0)，离心率e(2(2)设直线I: y y4 m212,%X2厂，由kAM3 4k【点x第1919页共 1919 页(1(1)由题有a2,ec12 2c 1, -b a2c3a222椭圆方程为xy1. .43ykxm,(2(2)由 x x2y2得34k22 2x 8kmx 4m1201.4364k2m24 3 4k24m2120m24k23心y3空x124 2为21111又yy2y3纸 4(% y2)x2X2%m)(x-ix2) 2 kx-!x28m 0m k，此时满足m24k23y kx m k(x 1)直线MN恒过定点(1,0)X28km3 4k24

29、m21223 4k2同理y46y2x22% y2y”2x-i26y1x226y2x2X212( y1y2)6y2二4(kx1m kx2m) x1(kx2m) x2(kx1m)(4 k- (4km)8 km3 4k22k2(4m12)3 4k28m24(k m)3 4k2 又kAM第2020页共 1919 页【点睛】涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用求”整体带入”等解法 设而不2121 设函数1 In x 1xx 0 x第2121页共 1919 页x 1 x 1 I n x 1，利用导数研究函数y h值，从而得到正整数k的最大值;不等式的基本性质可证得结论【详解】

30、上单调递增;调递减 所以,k 3，因此，整数k的最大值为3；（2 2）根据（1 1）的结论得到In31n1，利用h Xminh X0 x0Xx。13,4(1)若f xk恒成立，求整数k的最大值;x 1（2 2） 求证:e2n 3【答(1)整数k的最大值为3;（2 2）见解析. .【解(1)k将不等式f X X 1x变形为k一1 x 1 In x 1，构造函数的单调性并确定其最(1(1)由 f f1 In x 11 x 1 Inx 1 In x 1x2x 1 In x 1，0对x 0恒成立,所以，函数0,上单调递增,故存在x02,3使得Xo即x0In从而当xX。时，有gX00，所以，函数在x0,

31、当x x0时，有X。所以，函数y0,x）上单第2222页共 1919 页(2 2)1由（1 1）知ln x13恒成立，lnx 13x31 2 23xx 1x 1x 1x令xn n 1n N则In 1 n n 1231 12 3n n 1n n 1ln 1 1 22 3 11-,ln 12 32311,L,223 ln 1n n 12 31 1n n 1上述等式全部相加得因此，1121 2 3 L 1 nn1 e【点睛】本题考查导数在函数单调性、最值中的应用，以及放缩法证明不等式的技巧，属于难题.2222.x J 2 cos已知曲线C1的参数方程为（为参数） 以直角坐标系的原点0为极y sin点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin24cos. .（）求C1的普通方程和C2的直角坐标方程;（2 2）若过点 F F（1 1, 0 0）的直线l与G交于A,B两点，与C2交于M,N两点，求【答案】（1 1）见解析; ;（2 2）0,丄8【解析】试题分析：（1 1）利用平方法消去参数， 即可得到 G G 的普通方程，两边同乘以y即可得C2的直角坐标方程；（2 2）设直线|的参数方程为ln 1 1 2 ln 123