2020届河南省天一大联考高三上学期期末数学(文)试题(解析版)

1、第1 1页共 2121 页2020 届河南省天一大联考高三上学期期末数学（文）试题一、单选题1 1.已知集合A 1,1,3,5，B 0,1,3,4,6，则AUB()A A.1,3B B.1【答案】D D【解析】 根据并集的定义可求出集合AUB. .【详解】故选：D.D.【点睛】2 2.设复数z 1 iA A .22【答案】A A【解析】利用复数的四则运算法则将复数z z 表示为一般形式，然后利用复数的模长公式可计算出Z. .【详解】故选：A.A.【点睛】本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的四则运算，考查计算能力，属于基础题3 3.已知向量m 3,0,n 3,0,qv mv vq n，贝Uv

2、q为（)A A. 7 7B B .5C C .3D D .1【答案】 C CrITrLTrrrLrir【解析】 由题意可知nm，由q mqn得出qqm，可得出q m q m 0，由此可得出|q |m，进而得解. .C C.1,0,1,1,3,4,5,D D.1,0,1,3,4,5,6依题意,AUB1,1,3,5 U 0,1,3,4,61,0,1,3,4,5,6. .本题考考查计算能力，属于基础题B B .,5,5依题意z 1 i 22i 12 2i,1故z - 222222. .第2 2页共 2121 页【详解】rurrirr rrurrir由题意可知nm，由q mq n得出qmqm,r ur

3、 r ur刨r2i2“r ,ir口_2q m q m 0，即qm，因此，q m03. .故选：C.C.【点睛】本题考查向量模长的计算， 同时也考查了向量垂直的等价条件的应用，解题的关键就是得出nm，考查计算能力，属于基础题. .4 4 近年来，随着4G网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的app相继出世，其功能也是五花八门 某大学为了调查在校大学生使用aPP的主要用途，随机抽取了56290名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法:app主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数;2可以估计不足10%的大学生使用app主要玩游戏；13可以估计使

4、用app主要找人聊天的大学生超过总数的. .4其中正确的个数为（）一战人H天4眼）1看*山、UiM*族Hr-1玩囹咙r注矿r 5啪丄1听幵航L7_ m旳址的人匚授闱同兴尊的人A A 0 0B B.1C C 2D D 3【答案】C C【解析】根据利用app主要听音乐的人数和使用app主要看社区、新闻、资讯的人数作大小比较，可判断的正误；计算使用app主要玩游戏的大学生所占的比例，可判断的正误；计算使用app主要找人聊天的大学生所占的比例，可判断的正误 综合得出结论 【详解】可以估计使用第3 3页共 2121 页使用app主要听音乐的人数为5380，使用app主要看社区、新闻、资讯的人数为4450

5、,所以正确；8130使用app主要玩游戏的人数为8130，而调查的总人数为56290,0.14，故56290超过10%的大学生使用app主要玩游戏，所以 错误；165401使用app主要找人聊天的大学生人数为16540，因为，所以正确. .56290 4，故选：C.C.【点睛】本题考查统计中相关命题真假的判断，计算出相应的频数与频率是关键，考查数据处理能力，属于基础题5 5.记正项等比数列a满足2a25a33a4，则公比q( () )11亠1A .-B B. -或2C C. 2 2D D .339【答案】A A【解析】 根据等比数列通项公式以及条件列方程解得公比【详解】2 2依题意，2a25a

6、?q 3a2q，即3q 5q 20，故3q 1 q 21或q2，而an0，故q . .3故选：A A【点睛】本题考查等比数列通项公式，考查基本分析求解能力，属基础题A A .8.3B B. 8 8C C.4.3D D . 4 4【答案】B B【解析】 先根据同角三角函数关系得sinC上，再根据正弦定理求结果60，解得q -36 6 .已知ABC中,ABAB 2 2 ,si nA则BC因为tanC，所以sinC第4 4页共 2121 页【详解】第5 5页共 2121 页【答案】B B出正确选项 【详解】函数, 当X 2时,X 1,X 1,X 1,X 1XlgdlgdlgdlgdX 1X 1X 1

7、X 1f X，该函数为偶U 1,，关于原点对称,AB在ABC中，由正弦定理，可得丄ABsin C2/3BC-BC，故62. 2sin A6，解得BC 8. .故选：B B【点本题考查同角属基础题7 7 下列函数中，既是偶函数又在2,上单调递减的是lg2X2X4X,X04X,X0In【解析】 分析每个选项中函数的奇偶性及各函数在区间2,上的单调性，由此可得对于 A A 选项，函数XeXe1-的定义域为R,1对于Xe1Xe1eX1B B 选项，解不等式X1 eX1 ef X，该函数为奇函数,-，该函数在区间2,上单调递增;，该函数的定义域为1，则f内层函数U2,上为减外层函数lgu为增函数,所以，

8、函数fig2,上单调递减;第6 6页共 2121 页故选：B.B.【点睛】范围，解得结果 【详解】x24x x 0的图象如下图所对于 D D 选项,函数f x Inx2定义域为,1 U 1,x InIn该函数为偶函数 内层函数u1、x21上单调递增，外层函数y In u也为增函数,所以，函数f x In 1x212,上单调递增 本题考查函数单调性与奇偶性的判断,熟悉函数奇偶性的定义以及单调性的一些判断方法是解答的关键，考查推理能力，属于中等题2 28 8 .记双曲线C1:2 1(a 0,0）与双曲线2 2C2:16 T1无交点，则双曲线Ci的离心率的取值范围是（C C.3,【答案】D D【解C

9、2渐近线方程，再结合图象确定双曲线Ci确定渐近线渐近线斜率对于 C C 选项，作出函数f x第7 7页共 2121 页双曲线C2:2 2W；1的渐近线方程为2 2x，由题意可知-2、2，则e -.1baa Y a故选：D D【点睛】 本题考查双曲线渐近线与离心率，考查基本分析求解能力，属基础题9 9 .已知长方体ABCD AB1C1D1的表面积为208,AB BC AA118，则该长方体的外接球的表面积为【答案】A A【详解】所以,故选：A.A.【点睛】则 m m 的取值范围为A A 116B B.106C C 56D D 53【解析】由题意得出ABABBC AA 18，由这两个等式计算出BC

10、 BC AA AB AA 104AB2BC2AA2,可求出长方体外接球的半径，再利用球体表面积公式可计算出结依题意，ABBCAA,18,AB BC BC AA,AB AA,104,AB2BC2AA22AB BC AA2 AB BC BC AA AB AA116,故外接球半径AB2BC2AA12r、29，因此，所求长方体的外接球表面积r2116本题考查长方体外接球表面积的计算,解题的关键就是利用长方体的棱长来表示外接球的半径，考查计算能力, 属于中等题1010.已知函数f xx,x2x4x,xm，且p m,q m，使得f pB B.,0,0第8 8页共 2121 页【答案】C C【解析】先将条件

11、转化为对应函数值域包含关系, 后根据集合包含关系列不等式，解得结果 故选：C【点睛】【答案】D D由f x f x可知函数y f x的一条对称轴方程为x ,可得出 的表达36式，再结合条件ff0可求出的值 2【详解】依题意f x si n2 xcos cos2 xs insi n 2 x依题意，f qfp，即函数yf x在,m上的值域是函数m,上的值域的子集 因为yf x在m,上的值域为4,(2m 2)或m 4m,(m2),y fx在，m上的值域为m,m故2m或2,2，解得m 0. .【详解】mmm再根据分段函数求对应区间值域，最本题考查分段函数性质以及函数值域,考查等价转化思想方法以及分析求

12、解能力,属中档题 1111.已知函数f x 2sin xcos xcos22cos x 1 sin若f-x f x，f25A A .B.B.- -1230，则()C C. 一D .-46 6【解析】利用三角恒等变换思想化简函数y f x的解析式为f x sin 2 x第9 9页共 2121 页因为ff x，所以x为函数y6x图象的一条对称轴,第1010页共 2121 页不妨设 M M,N N 分别在第一、三象限，焦点F c,0bx联立x2ay2y_解得M-2a-2b,N、2a在MNF中，由余弦定理可得MNMFNF2 MF NF cos MFN,而tan MFN 2 . 2，则cosMF2N13

13、，代入化简得310c413a2c24a40，其中k,k Z，所以23 6k 6. .? Jn或一（舍去）62故选：D.D.【点睛】 本题考查利用正弦型函数的对称性求参数，考查计算能力，属于中等题2 21212 已知椭圆 C C:二占1（a b 0）的焦点 F F，直线 I I: bxbx ayay 0 0 与椭圆 C Ca2b2交于 M M、 N N 两点，若tanMFN2迁，则椭圆C C 的离心率为（) )A A 迈B B.C C.1或乜D D 辽或空5 55 525 525 5【答案】B B【解析】先解得 M,NM,N坐标，利用两点间距离公式得MNF三边长，再根据余弦定理列方程，解得离心率

14、【详解】因为f一20，所以sin sin 2sinsin 5，又02,得,，结合可得5或52，解得第1111页共 2121 页3c22a2，解得5c24a2或2c2a2(舍去)，故e -.a 5故选：B B【点睛】本题考查余弦定理、椭圆离心率以及直线与椭圆交点，考查综合分析求解能力，属中档题 、填空题1313 .已知tan,tan4-，贝U tan _4【答1613【解析】根据 ()以及两角差正切公式求解第1212页共 2121 页【点睛】 本题考查两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题最大时对应的最优解，代入目标函数计算可得出结果【详解】作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所

15、示y2x 11414 .设实数x、y满足3x2 3y，则zx 3y4 02x y的最大值为【答案】【详tan tan(tan( ) tan1 tan( ) tan-3N 216111316故答案为:1613173【解析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线z 2x y，观察直线在y轴上截距第1313页共 2121 页z z 取得最大值,解，考查数形结合思想的应用，属于中等题 1515. .已知长方体ABCD AiB1C1D1的棱长为 2 2,点 E E 是线段AiBi的中点，贝UCDiE在平面BDD1B1上的正投影的面积为 _【答案】土22【解析】 根据条件作出CD1E在平面BDD13上的正投

16、影，确定正投影位置与形状, 最后根据三角形面积公式求解 【详解】作出图形如图所示，可知CD1E在平面BDD1B1上的正投影仍然为一个三角形，点C C在平面BDD1B1上的正投影为线段BD的中点C，点 E E 在平面BDD1B1上的正投影为线段B1D1的靠近B1的四等分点E，正投影的面积SC ED1观察可知，当直线z 2xy过点C时，直线z 2x y在y轴上的截距最大，此时,联立y2x 1，53，故 Z Z 的最大值为Zmax3故答案为:【点睛】173本题考查线性规划问题,考查线性目标函数的最值问题,般利用平移直线法找出最优第1414页共 2121 页故答案为：2【点睛】本题考查正投影及其相关计

17、算，考查空间想象与分析求解能力，属基础题1616 已知函数f x的定义域为 R R,导函数为f x，若f x cosxsinx小T0，则满足f xx 0的 x x 的取值范围为【答案】【详解】cosx02依题意,cosx2cos xcosx，则g xx，故函数为奇函数cosx2sin x20，故函数在R上单调递减，x，即xx，故x -,则 x x 的取值范围为x，且【解构造函数g x f xcosx，再根据条件确定g x为奇函数且在R上单调递最后利用单调性以及奇偶性化简不等式，解得结果cos x第1515页共 2121 页故答案为：，2【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性以及利用函数性质解不等式

18、，考查综合分析求解能力，属中档题 三、解答题(1)(1)求数列an的通项公式;(2)(2)直接利用裂项相消法求和【详解】(1)(1)当n 1时，a a14 4因为 a ai4 4 也适合上式,4所以迷3【点睛】1717 已知数列an满足ai4a27a3L 3n 2 an4n求数列an 1an 2的前n项和为Sn. .4I 答案】(1)an齐；53n4n4【解析】(1)(1)利用作差相减法求数列an的通项公式，注意验证n 1的情况是否满足;当n 2时，a14a27a33n2 an4n,a-i4a27a3L3n 5an 1两式相减，可得3n2an4,故an43n依题意，an163n 1 3n3n

19、1 3n 4 故Sna2a3a3a4L an 1an 21丄L1010133n 113n+413n 44n3n 4第1616页共 2121 页本题考查求数列通项以及裂项相消法求和, 考查综合分析求解能力，属中档题第1717页共 2121 页1818 .某品牌奶茶公司计划在 A A 地开设若干个连锁加盟店，经调查研究，加盟店的个数 x x与平均每个店的月营业额 y y( (万元) )具有如下表所示的数据关系：X X2 24 46 68 81010y y20.920.920.220.2191917.817.817.117.1(1)(1)求 y y 关于 x x 的线性回归方程；根据中的结果分析，为

20、了保证平均每个加盟店的月营业额不少于地开设加盟店的个数不能超过几个？$ bxa中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为X Xix xy yiy yy29 2219 178门1 219. .55_xix yiy 41.921.2 21.241.97.6 2.4 2.4 7.6i 15 2Xix 16 4 4 16 40，i 15_XiX% y所以$20.5，X xi 1X Xi2 1【答案】(1)(1)$0.5x22；(2)14(2)14 个. .【解析】(1)(1)先求均值，再代入公式求，即得结果;(2)(2)根据线性回归方程列不等式，解得结果 【详解】(1)(1)依题意，x2 4 6 8 10

21、514.614.6 万元，则 A A参考公式：线性回归方程20n第1818页共 2121 页所以$ y $X 19 0.5 622，第1919页共 2121 页故所求的线性回归方程为$ o.5x 22- -依题意，令0.5x2214.6，解得x 14.8. .因为x N，所以 A A 地开设加盟店的个数不能超过1414 个. .【点睛】 本题考查线性回归方程及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题11919 如图，在四棱锥 S S ABCDABCD 中，AB AD SD SB SC 2,2DSC BSC DAB 90. .SF 1(1)(1)若点 F F 在棱SC上且，证明：SA/平面BDF;

22、FC 3(2)(2)求三棱锥A SBC的体积. .1616【答案】(1)(1)证明见解析；(2)(2)16. .9 9SA/OF,再根据线面平行判定定理得结果;(2)(2)先利用线面垂直判定定理证明SC平面SBD，再证明BD平面 SACSAC，最后根据 锥体体积公式求结果. .【详解】(1)(1)如图，连接AC,记AC与BD的交点为 0 0,连接 OFOF . .由题易知BD 2.2，BC CD 2、5. .所以可得ADC也ABC，所以ADO如ABO，所以AO BO .2. .而CO 2 5彳23、2，易知AOOC1，故丛3 OC匪1，故SA/OF. .FC 3因为SA平面BDF, OFOF平

23、面BDF，所以SA/平面BDF第2020页共 2121 页(2)(2)因为SC SB,SC SD，又SBI SD S，故SC平面SBD. .所以SC BD如图，连接SO,则SC SO,可知OSC为直角三角形，os OC2SC2, 2，4易知点 S S 到直线AC的距离为一，3由(1)(1)易知AC BD，又因为SC1故VASBCVBSAC3SSACOB【点睛】本题考查线面平行判定定理、线面垂直判定定理以及锥体体积公式，考查综合分析论证与求解能力，属中档题 2020 .已知抛物线 C C:y22px(p 0)的焦点 F F 到准线 I I 的距离为 2 2,直线li过点 F F 且与抛物线交于

24、M M、N N 两点，直线I2过坐标原点 O O 及点 M M 且与 I I 交于点 P P,点 Q Q 在线 段MN上. .(1)(1) 求直线NP的斜率；1 1 1(2)(2) 若“2,2,T成等差数列，求点 Q Q 的轨迹方程. .FM FQ FN2o【答案】(1)0(1)0 ； (2)(2)2 x 1y24(y 0). .【解析】(1)(1)先求抛物线方程，再设直线 h h 方程以及 M,NM,N 坐标，解得 P P 点坐标，根据斜 率公式化简直线NP的斜率，最后联立直线方程与抛物线方程， 利用韦达定理代入化简 即得结果；小211(2)(2)设Q X0,y0，根据等差中项性质以及弦长公

25、式化简条件得222，再根据y。y1y2(1(1)中韦达定理化简右边式子，最后根据mX0_1代入化简得点 Q Q 的轨迹方程y。【详解】00 3BD,AC I SC C，故BD平面 SACSAC . .339第2121页共 2121 页2依题意，可得p3，所以抛物线 C C：y 4x. .x my 1,2my 1，联立2，得y 4my 40. .y 4x,设M Xi,%,N X2,y2,易知人0,x39故点 Q Q 的轨迹方程为2x1 y 4(y【点睛】本题考查抛物线方程、直线与抛物线位置关系以及动点轨迹方程，考查综合分析求解能力，属中档题 2121 .已知函数 (1)(1)讨论函数f x的单调

26、性;设直线li:x1，则yiy24m,y24,直线12:yyixxi第2222页共 2121 页因为准线 I I :x 1，故P 1,上Xi设Q xo,yo（yo0）211得222YoYiY2Q12Yi1YIY2222yiy216m821 m -22Y22Yi2Y21612因为mXo所以2Xo11Yo2Yo朮22o化简可得2 xo1yo4（yoo）若yf x的图象与直线ymx交于M XMVM,NXN, YN两点，且丄Y2_Yi故直线NP的斜率为xiY2X1YiX21x1x21m% y? %y?x1x21ox1x21由(1)(1)可得FQm22FMm2yi，2FN1 m2y|. .由题可知22F

27、Q11FM2FN2,In x. .2yo，第2323页共 2121 页XMXN1，求实数 m m 的取值范围【答案】当m 0时,x在0,上单调递减；当m 0时，x在0,2m上单调递减，在2m上单调递增；当m 0时,x在0,2m上单调递减,在2m上单调递增；(2)(2). .2e4【解析】(1)(1)先求导数, 根据m0,m 0以及m0三种情况讨论导函数符号，进而确定对应单调性;(2)(2)先构造函数F x2 2m x In x mx，再求导数,根据m0以及m 0两种情况讨论函数单调性，结合单调性确定满足条件的不等式, 解得的取值范围，最后利用零点存在定理证明所求范围恰好保证函数有两个零点【详解

28、】(1)(1)依题意，x 0,c2x 2m x2 22m x 1一2mx 1一2mx 1若m0，则f10，故f xx0,上单调递减若m0,令f0，解得x2或x2mJ2m(i(i)若0，则22m二0，则当x2m调递减,22m,时,单调递增;(ii(ii )若m2m0，2m则当x0,于时，f调递减，当J2m,时，f0，f x单调递增. .综上所述,0时，fx在0,上单调递减；当m 0时，fx在0汶2m第2424页共 2121 页0,第2525页共 2121 页显然m 0. .上单调递减，在2m上单调递增；当m 0时,x在0,22m上单调递减,2m上单调递增令m2x2In x mx，则由题意可知m2

29、x2Inxmx0有两个大于 1 1 的实数根,2 2 .令F x m x In x mx，贝 y yFx x1若m 0,则当x 0,时，F xm212mx 1 mx 12m x mxx0,当x -,时，F x 0,m11要满足已知条件， 必有F Inmm11,m若m 0，则当x 0,时，F x2m0,0,此时无解；10，当x,时，F x 0,2m13要满足已知条件，必有F2m411,2m1c当3m 0时，Fx在1,12e42mF x在1,1上有 -个零点 2m卄111 11勿知2且F22m2mmmm令g x xIn x，则gx 11一，当x当x 1时，g x0，故g xg 10,In 2m 0

30、,解得13m0. .2e4上单调递减，F 1F12m0，故函数11In2 2m mIn2，下证：mx In x 0. .0 x 1时，g x 0,1 In1 0，即x Inx 0,F 1 m2mF 1 m2m0,第2626页共 2121 页丄F丄22m m0,故F第2727页共 2121 页11又F x在，上单调递增，故F x在，2m2m上有一个零点 1综上所述，实数 m m 的取值范围为3,0. .2e刁【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及利用导数研究函数零点，考查分类讨论思想方法以及综合分析求解能力，属难题 xa 3t2222 已知平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数） 以原点y1 4tO为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（1 1）求实数a的取值范围；1 1（2 2）若a 2，点A 2,1，求乔的值. .【答案】（1 1）；（2 2）佰.4435【解析】（1 1）将曲线C的极坐标方程化为普通方程， 将直线I的参数方程化为普通方程，可知曲线C为圆，利用圆心到直线I的距离小于半径，列出关于实数a的不等式，解出即可；-t1 1方程联立，列出韦达定理