2020届湖南名师联盟高三上学期第一次模拟考试数学(理)试题(解析版)

1、页1第2020届湖南名师联盟高三第一次模拟考试卷理科数学注意事项:1 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴 在答题卡上的指定位置。2 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3 非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效。4 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 已知集合 A =y|y =2x,x

2、R ,B二x| y = lg(2 - x)，则 B 二()A.(0,2)B.(：,2C.(：,2)D.(0,22若复数z满足 z(i-1)=2i ( i 为虚数单位)，则Z为( )A1 iB.1 -iC.-1 iD -1 -i3.AQI即空气质量指数，AQI越小，表明空气质量越好，当AQI不大于100时称空气质量为“优良”，如图是某市 3 月 1 日到 12 日AQI的统计数据，则下列叙述正确的是()AQI_|_|_|_|_|_L_l_I_I_I吕1*鈕曲弟店住晉弄日亦A.这 12 天的AQI的中位数是 90B.12 天中超过 7 天空气质量为“优良”C从 3 月 4 日到 9 日，空气质量越

3、来越好D.这 12 天的AQI的平均值为 1004.已知平面向量 a = (2,3)，号证考准名姓级班页2第b= (x,4)，若 a (a - b)，则 x =()页3第中有女队员的概率为（）7.函数 f（x） = .3sin（2x）（| h 寸）的图象向左平移才个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则等于（）.nB .-丄C.n6638 .下图是某实心机械零件的三视图，则该机械零件的表面积为（）9.函数 f（x）=l n（xV）-x2的图象大致是（）A. 1C. 2D. 35.某围棋俱乐部有队员5 人，其中女队员 2 人，现随机选派 2 人参加围棋比赛,则选出的 2 人6 .已知 m, n

4、 表示两条不同的直线,A.若 m/： , n/ ：,贝 U m/ nC .若 m - - , m _ n ,贝 U n/:-表示平面， 下列说法正A.66 2nB.66 4nC. 66-2nD.66-4nB.3規亠F2页4第10正三角形 ABC 的边长为 2，将它沿高 AD 折叠，使点 B 与点 C 间的距离为 3 ,则四面体 ABCD 外接球的表面积为（）A.6nB.7nC. 8n11. 有如下命题：函数y二sinx与 y=x 的图象恰有三个交点；函数y=s in x与y = .x的图象恰有一个交点；函数y =sinx与 y = x2的图象恰有两个交点；函数 y =sinx与 y = x的

5、图象恰有三个交点，其中真命题的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 412. 若函数 f（x）二（x）（x2ax b）的图象关于点（-2,0）对称，为,X2分别是 f x 的极大值点与极小值点，则 X2-X1二f）A. -、3B. 2、3C. -2,3D. 一 3二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分.13._ 在 ABC 中，若AB=TT3， BC=3， C=120，贝 U AC =_ .T T14. 如图，圆 C （圆心为 C ）的一条弦 AB 的长为 2，则AB，AC =_15._在（1+X+A/7）4的展开式中，x2项的系数为_ （结果用数值表示）16. 定义在正实数上的函数

6、f （x） =x x，其中x表示不小于x的最小整数，如0.2 =1,D.9n页5第1.6 =2，当（0,n，n N*时，函数 f（x）的值域为代，记集合 A 中元素的个数为 a.，则三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （ 12 分）如图，在平面四边形 ABCD 中，AB=2.3，AC = 2，. ADC - CAB = 90，设DAC - v .(1) 若二=60，求BD的长度;(2) 若 ADB =30，求 tan,.18.（12 分）为了解全市统考情况，从所有参加考试的考生中抽取4000 名考生的成绩，频率分布直方图如下图所示.页6

7、第（1）求这 4000 名考生的平均成绩X（同一组中数据用该组区间中点值作代表）；(2 )由直方图可认为考生考试成绩 z 服从正态分布N(JF)，其中，二2分别取考生的平均 成绩X和考生成绩的方差s2，那么抽取的 4000 名考生成绩超过 84.81 分(含 84.81 分)的人数 估计有多少人？(3 )如果用抽取的考生成绩的情况来估计全市考生的成绩情况，现从全市考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过 84.81 分的考生人数为，求 P(、3).(精确到 0.001)附： s2=204.75，、204.75 14.31；2ZN(4,CT2)，贝 U P(Per vz +b) = 0.6826，

8、P(42 貯 c z 4+2r) = 0.9544；30.841340.501.19. (12 分)如图，二棱柱 ABC AEG 中，也 B1AA = GAA = 60 ， AAj= AC = 4， AB = 2，P，Q 分别为棱 AA，AC 的中点.页7第(1 )在 BC 上确定点M，使 AM /平面 PQR，并说明理由;(2)若侧面 ACGA 丄侧面 ABB.A，求直线 AG 与平面 PQR 所成角的正弦值.20.(12 分)已知两直线方程与2： y = -x，点 A 在 li上运动，点 B 在上运动, 且线段 AB 的长为定值2、2.(1) 求线段 AB 的中点 C 的轨迹方程；(2)设

9、直线 l :kx m 与点 C 的轨迹相交于M, N 两点，O 为坐标原点，若koMko5，求原点 0 到直线 l 的距离的取值范围.41121.(12 分)已知函数f (x)二一e22)X2e f ()x.22(1 )求f(x)的单调区间；(2)若存在X1, X2(X1：X2)，使得 f (xjf 区)=1，求证:x1X2： 2 .页8第请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22. ( 10 分)【选修 4-4:坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为x八3 2co(:.为参数)，直线 C2的方| y = 2 2sin二程为y=，以坐标

10、原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.3(1) 求曲线G的极坐标方程；(2) 若直线 C2与曲线G交于 P，Q两点，求|OP| |OQ|的值.页9第23.(10 分)【选修 4-5:不等式选讲】已知函数f (x) =| x一m|一|2x 2m |(m . 0).(1 )当 mJ 时，求不等式f(x)_1的解集；(2)若-X- R，LR，使得f(x)|t -1|：|t 1|，求实数 m 的取值范围.2020届湖南名师联盟高三第一次模拟考试卷理科数学答案一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】A【解析】IA =y |

11、y =2x,x：二 R = y| y 0,B x| y =lg(2 -x)二x|2 -x 0 = x|x：2 = (-：,2), AB -x|0 : x i1ir 2 3、-2r-12. 【答案】C【解析】由题意可得f(-2) =3(4-2a b) =0，函数图象关于点(20)对称，且f 1，故f(-5)=0， 即f (-5) =6(25 -5a b) =0，故函数的解析式为 f(x) =(1 x)(x2 7x 10) = x36x23x 10,f (x) -3x212x 3 = -3(x24x 1),结合题意可知：xi,x2是方程x24x0的两个实数根，且xix2,故 x?_ Xi = |

12、Xi- x?(Xi X2) _ 4XiX2 _42一 4 i 二-2 3 .二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分.13. 【答案】i【解析】由余弦定理得i3=9AC23AC，解得 AC =i 或 AC =-4 (舍去).14. 【答案】2【解析】过点 C 作 CDAB 于 D，则 D 为 AB 的中点，TTTTT TTIT2二AB AC =AB (AD DC) =AB AD | AB |=2 .i5.【答案】i9据此结合排列组合的性质可得 x2项的系数为c4c；c；C4C3C1C!C4-6 i2 i9.i6.【答案】詈【解析】易知：当 n 胡时，因为（0,i，所以X =i，所以x X

13、=1,所以 A =1，ai.当 n =2 时，当 X，（1,2，则x=2，所以xx（2,4，所以 A 二1,3,4，a?=3 .当 n=3 时，当 x (2,3，则x =3，所以x X二3X(6,9，【解A =1,3,4,7,8,9,乱=6 ;当 n =4 时，当 x (3,4，则x =4，所以x x二4x (12,16, 所以 A 二1,3,4,7,8,9,13,14,15,16 ,a10 ;当 n =5 时，当 x (4,5，则x =5，所以x x二5x(20,25,所以 A -1,3,4,7,8,9,13,14,15,16,21,22,23,24,25，a -15 .由此类推：an=an

14、l- n .故an=印2-印)3七2)川(an-anj=1 2 3川n =n(；1三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、_ 217.【答案】（1） 19 ; （2） 込.3【解析】（1）由题意可知，AD =1，在厶 ABD 中， DAB =150，AB =2、, 3，AD = 1，由余弦定理可知，BD2=(2 .3)212一22 31(一-)=19， BD19 .(2)由题意可知， AD =2cos， - ABD =60 - v18. 【答案】（1）x =70.5分；（2）约 635 人；（3） 0.499 .【解析】（1）由题意知：中间直45556575S5950

15、0450,20.30.1- x=45 0.1 55 0.15 65 0.2 75 0.3 85 0.15 95 0.1 = 70.5， 4000 名考生的竞赛平均成绩x为 70.5 分.证明过程或演算步骤.在厶 ABD 中，由正弦定理可知,ADABsin ABD - sin ADB2cossin(60 -巧 tan& =43 .3（2）依题意 z 服从正态分布 N（；2），其中二又=70.5，二2二 D =204.75,二 14.31, z 服从正态分布 N（；2） = ”（70.5,14.3 冇,而P（-；：z：；）= P（56.19 : z：84.81） = 0.6826,1 0.

16、6826 P（z _84.81）0.1587.2竞赛成绩超过 84.81 分（含 84.81 分）的人数估计为 0.1587 4000 = 634.8 人635 人.（3）全市竞赛考生成绩不超过 84.81 分的概率 1 -0.1587 = 0.8413.而 、B（4,0.8413），二P（乞3） =1 -P（ =4） =1-C：0.84134: 1 -0.50仁0.499.19. 【答案】（1）详见解析；（2）三9.13【解析】（1）取 BB1中点 E，连结 AE , BQ ,在厶 BRQ 中，取 H 为 BQ 中点，连接 EH,AH，则 EH / B.Q , 延长 AH 与 BC 交于点

17、M，则 M 即为所求点，ABB.A 为平行四边形，点 E , P 为中点，贝 U AE / PB,由线面平行的判定定理可得 AE/平面 PQB ,同理可得，EH/平面 PQB,又 AEEH=E,RPDEQ,据此可得平面 AME/平面 PQB1，故 AM /平面 PQB .（2）作 00 丄平面 ABBA，与 AA 延长线交于 O , 则AO = 1,QO = 3, 0= 25 4-2 5 2 19，二QR =22, BP=2 ,PQ=23，二 cosQPB =12十；222 沃 2 丁 3 汉 2作 PN /GA，则直线 AO 与平面 PQB1所成角即直线 PN 与平面 PQR 所成角, sn

18、QPR,4-SA PQB1A二2、3 2241 _ _ 1 _ _=4：丿3=2.3, VB1_PQ- 323.3 =2.231 V394.139设N到平面吨的距离为h，则3-2，-，-SAPQNx2220.【答案】【解析】(1)：点 A 在li：y = -x上运动,点 B 在12： -22x上运动,设A(xi，lFxi)，B(x2J)，线段 AB 的中点C(x,y)，则有宁，2 2yx12x2厂2， % X2=2x, x x2=22y ,T线段 AB 的长为定值2 2, (x1- x2)2( x1?X2)2=8,2 22即(2$y)2(J2x)2=8，化简得y1 ,42线段 AB 的中点 C

19、 的轨迹方程为yU(2)设 M 区小),N(&,y4)，联立 42x2.y= 1,得(4k21)x28kmx 4m2-4 =0 , 二(8km)2-4(4k21)(4m2-4) 0 ,令 h(x) =e2(x一 2x 1 , h(x) =2e2(x)-2=2(ex 1)(ex-1), X =1时，函数f (x)取得极小值即最小值，f (x)一f (1) = 0, 函数f (x)在 R 上单调递增.(2由可得：函数心弓严在R上单调递增. 要证明：x1x2：2=x-!：2x2二 f(xj： ：f(2x2),又 f(x) f(X2)=1，因此 f(G：f(2 -X2)= 1 f(X2)：f(

20、2 - X2),11即 f (X2) f (2 -X2) -1 0 ,f (1)1 1，则 &：1：X2,22令g(x) = f (2 -x) f (x)-1 =e2(1一(2 x)22 x亠2)-x2x _12 212(1 x)12(x1)_2-ee-2x4x -3,22化简得m，则禺X4-眾，g 甘，2 2y3y4=(kx3m)(kx4m) = k x3x4km(x3x4) m,若koM“4，则，即4y3y-5x3X4，X3X4所以4k2x3x44km(x3x4) 4m2二5x3x4,2即(4k2一 5)仆 4km(-瞬)4m=04k +14k +1化简得m2 k25,由得。川冷，却宀4，因为 O 到直线 I 的距离d二一竺，所以 d2+k2一1+92 2 2 ?1 k 1 k4(1 k )又因为丄：:k2乞5，所以0乞d2:8,2047所以 O 到直线 I 的距离的取值范围是0,守).21. 【答案】(1)函数f(x)在 R 上单调递增；(2)证明见解析.【解析】(1)f(x)=e2(z1-2x e f (),21一1，则(2)*e fC)，解得f(1)11， f (x) =e22 -2x 1,2 e2( x书x 1 ,g(1) =0, g(x)= 一严严4x 4 ,令(x)二-