2020届江苏省南通市四校联盟高三下学期模拟测试数学文试题

1、页1第3江苏省南通市2020届四校联盟高三数学文模拟测试卷一、填空题(共 14 题，每题 5 分，计 70 分.不写解答过程，把答案写在答题纸指定位置上)1.已知集合 Ax|x 3| 1 , B xx25x 4 0，则A I B. 42.复数z ,(其中i是虚数单位)，则复数z的共轭复数为.1 i1i3设向量a= (I, k),b= (-2, k-3),若a/b，则实数 k 的值为 . 15.函数 f(x) =log(4x 3)的定义域为 .(-3/4,1V26.已知命题 p: - 1x a0，若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是. 5, 77.在正四棱锥S-ABCD 中

2、，点 0 是底面中心，SO= 2,侧棱 SA= 2,则该棱锥的体积为. 32/34如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为1011For I用阳 1Io10I& 若函数f(x) cos(2x)(0)的图象关于直线X对称，则122x9.已知椭圆a2詁1(a b0)的离心率e1, A、B 分别是椭圆的左、右顶点,P 是椭圆上不同于 A、B 的一点，直线 PA、PB 的倾斜角分别为，则cos(cos(-的值为)1_ -7uur nu mu10.在ABC所在的平面上有一点P，满足PA PB PCuiu uurUUPA PBAB，贝 Uuiuuuu=PB PC页2第11.如图，将数列中的所有项按每

3、一行比上一行多两项的规则排成数表页3第14.已知 f (x) m(x 2m)(x m 3) , g (x) x R, f (x)0 或 g (x)0 : x (, 4) , f (x)g(x)0 .则m的取值范围是_. ( 4, 2)二、解答题(共 6 小题，共 90 分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16.(本题满分 14 分)如图，在直四棱柱 ABCD A1BQ1D1中，已知底面 ABCD 是菱形，点 P 是侧棱 CQ 的中点.(1)求证：AC1/ 平面 PBD ;(2)求证：BD 丄 A1P.又因为P CC1,CC1面ACC1A,所以P面ACC1A1，因为A1面ACC1A1,

4、 所以AP面AC1,所以BD A,P. .1 4 分 16.(本小题满分 14 分)已知表中的第一列,构成一个公比为2 的等比数列，从第ai,a2,a5丄2 行起，每一行都是一个公差为d的等差数列,a35,a86524，则 d=12.己知(0,3)，则y2x 8x 3的最小值为2x13若函数 f(x) = x3-ax2, x0 存在零点, 则实数 a 的取值范围为 .2,+g2x2，若同时满足条件:(1)证明：连结AC交BD于0点，连结0P,因为四边形ABCD是正方形，对角线AC交BD于点0,所以O点是AC的中点，所以AOOC.又因为点 P 是侧棱C1C的中点，所以CPPC1.在ACC1中,A

5、OOCGP1PC所以AC1/OP. . 4 分又因为OP 面 PBD,AC1面PBD,所以AC1/平面PBD. . 7分(2)证明：连结 AG .因为ABCD A1B1C1D1为直四棱柱，10 分:*r页4第4在厶 ABC 中，内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, cosB=4.5(1)若 c= 2a,求SinB 的值；si nC4 分页5第n(2)若 C B= 4，求 si nA 的值.解：(1)解法 1：4a2+ c2 b24在厶 ABC 中，因为 cosB= 5 所以 莎=5. . 2 分因为 c= 2a,所以2+ c2 b22=右即驚 20，所以 r 讦又由正弦定理得

6、sinB b孟=c 所以si nB = 3f5sinC 10解法因为COSB=4,5B(0, n._ 3所以 sinB =1 COHB=3.因为 c= 2a,由正弦定理得sinC= 2sinA,所以68sinC= 2sin(B+ C) = cosC+ sinC,即一 sinC= 2cosC.55又因为 sin2c + cos2C= 1, sinC 0,解得 sinC=今 25畔=窖si nC 1047(2)因为COSB=,所以COS2B=2COS2B 1 =525_ Q又 0 v B| =營. . 10 分因为 C B= n,即C=B+ n,所以A=n (B + C)=3n_2B,444所以

7、sinA = sin（宁2B） = sin 严 cos2B cos 严 sin2B = 嘛.14 分5017 . （ 14 分）在平面直角坐标系XOy中，已知椭圆2 2x yC: 21 ab0F 10a b的右焦点为F 1,0，且过点A,B两点，点P在椭圆上，且满足uur uuu uuuOA OB tOPt03（1,3）.过点F且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于2设直线1的方程为X my 1求解亦可18. (16 分)某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示,2nn杆，CD AB,DCE,在E处安装路灯，且路灯的照明张角MEN.已知33CD 4m, CE 2m.(1)当M , D重

8、合时，求路灯在路面的照明宽度MN;(2) 求此路灯在路面上的照明宽度MN的最小值.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若t-，求直线AB的方程.2解:(1)由题意可知，c 1，且a笛1，又因为a24bb2解得a 2,b,3,22所以椭圆C的标准方程为乞1434分;(2)若直线AB的斜率不存在，则易得33A(1尹(1, J，uuuOAOB(2,0),2 uuu- OP，得P(2；2,0),2显然点P不在椭圆上，舍去5分;因此设直线I的方程为y k x 1，设A(Xi, yi), B(X2, y2)将直线I的方程与椭圆C的方程联立y2X4k x 12y_3，整理得1(3 4k2)X28k2x4k212

9、 07 分，因为X1,2，所以X13 4k8k23 4k2分，uuu则由OAuuuOBx-ix2,k x-i.2 uuuOP,2得PC-2(X1X2),云(为X22)10 分将P点坐标代入椭圆C的方程,得3(XiX2)2224k (X1X22)6 (11分；将X1X2拎带入等式()得k212分,因此所求直线AB的方程为y上3 X214 分AB为地面，CD,CE为路灯灯4分页7第解：(1)当M , D重合时，ADM(第 18 题)4分页8第由余弦定理知，ME DE、CD2CE22CD CE cos DCE2 7 ,所以小CD2DE2CE25万.2分，cosCDE2CD DE14因为CDEEMNn

10、,所以sinEMNcos CDE5 J214因为cosEMN0,所以cos EMN12sin EMN、2114由三角形面积公式可知，S1SEMNMN51EMEN sin-,22310所以石MN EM EN,12 分又由余弦定理可知，MN2 22EM2EN22EM ENncos-EM EN,-13 分3答：(1)路灯在路面的照明宽度为d3m；2(2)照明宽度MN的最小值为旦 3m.16 分313219.(本小题满分 16 分)已知函数f(x) x 2x 3x(x R)的图象为曲线C.3(1) 求曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围；(2)若曲线C上存在两点处的切线因为MENn,所以sin E

11、NM sin32n3EMN.2nsin cos3EMN cos2sin3EMN7在EMN中，由正弦定理可知,MNsin MENEMsin ENM，解得MN士8 分;2(2)易知E到地面的距离 h2sin2n5m,10 分当且仅当EMEN时，等号成立，所以MN10MN,解得MN10门314 分;4分页9第互相垂直，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围;(3)试问：是否存在一条直线与曲线C 同时切于两个不同点？如果存在， 求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由.【解】(1)f (x) x24x 3，则 k f (x) (x 2)211 ,-4 分页10第k 1(2)由(1)可知，

12、丄 1-6分k得：X,2、-2(1,3)2.2,; - 9 分(3)设存在过点 A(Xi，yi)的切线曲线 C 同时切于两点，另一切点为B(X2,y2),XiX2,2232过 A(xi,yj的切线方程是：y (%4x13)x (x12x1) , -11 分3同理：过 B(x2, y2)的切线方程是y (x224x23)x (2x232x22)，322则有：Xi4xi3 X24X23，得X24，-13 分.2_22_2又由x12x1x22x2，3322 2即(x1X2)(X-IX1X2X2)2(x-|x2)(x1x2)0312 2 2(x1x1x2x2) 4 0，即X1(X1X2) X212 0

13、32 2即(4 x2) 4 x212 0，x24x24 0得X22，由X1X24得X12，这与X1X2矛盾，所以不存在 - 16 分20.(本小题满分 16 分)设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,已知 a11，且 anSn 1an 1Sn1an对一切 n N*都成立.(1)当1时；，1求数列 On的通项公式；2若bn(n 1)an,求数列bn的前n项的和Tn;(2)是否存在实数 人使数列 an是等差数列如果存在，求出的值；若不存在，说明理由【详解】(1)若1,因为anSn1an1Snan 1an则S.11 anSn1an 1,a1S1.又On0Sn0,-Sn 11an 1页11第Sn1an5 1S31Sn11a2a3an 1 S11S21Sn1a1a2an 化简，得Sn 11 2an 1.an= 24 分页12第当n2时,Sn12an.一, 得anan 112an，亠2 n 2an/当n1时,a22n 1时上式也成立,数列an是首项为 1,公比为 2 的等比数列,n1因为bnn1an ,bnn 12n1所以Tn2 203 214 22n 2n 2(n 1)2* 1所以2Tn2 2122423(n 1)2n将两式相减得:1 2Tn2 2 22n1(n1)2nn 1、22(1 2 )(nn1) 22n所以Tnn