2020年4月普通高等学校招生全国统一考试(江苏模拟卷)(二)数学试题

1、2020 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏模拟卷）（二）数学注意事项:1.本试卷共 160 分，考试时间 150 分钟.2.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位 置上.1._ 已知复数 z= a + bi(a, b R)，若(z+ z )(z z ) = 8i,贝 U ab 的值为_3.某人打同一款游戏通关的时间分别为x, 9, 10, 11, 9（单位：min）,已知这组数据的平均数为 10,则方差为 _ .4.某马戏团有大猩猩 2 只，猴子 3 只，现从中任选 3 只去外地参加表

2、演，则大猩猩和猴子都被选中的概率为_! STI klII l! l：n 1，贝yMnN=AW10. 已知 P(s , t)在函数 f(x) = , 1 x2的图象上运动，贝 U ,s2+( t 2)2+寸(s-1)2+12的最小值为_.n1411. 对任意的茨 0,，不等式 sn 令+ cos 窃i2x1|恒成立，则实数 x 的取值范围是_.12.用扇形铁皮卷成一个圆锥筒(假设扇形半径可变化),已知扇形面积为定值 S,要使卷成的圆锥筒体积最大，则该扇形的半径R 为_.2(x1)2,OWx 0 时，f(x)=1若函数 y= f(|x|) m 有 4 个不同的零点，1+-, x2,入则实数 m 的

3、取值范围是 _ .14. 在厶 ABC 中，D 为 BC 边上的一点，且 AD 平分 ABC 的面积，若 90 / BAD 90 C, ACAB，则/ BAC 的取值范围为 _ .二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分 14 分)已知向量 a= (sin x, cos x), x n, n.n(1)已知 b= (1, . 3 ),若 a, b 所成的角为-，求 x 的值；(2)已知 c= ( 3 , 1)，记 f(x)= (a+ c) ( 2c)，求 f(x)的值域.16.(本小题满分CE 的中

4、点.(1)求证：直线(2) 若/ AEB =b0）的长轴端点分别为 Ai, A2,椭圆 C 的离心率为 e= I，两条准线之间的距离为 9.（1）求椭圆 C 的标准方程；n n（2）设 P 是曲线 C 上的一点，/ FAiAi=a4，3 ，过A作AIR丄 AiP 于点 R,设AIR与曲线 C 交于点 Q,连接 PQ,求直线 FQ 的斜率的取值范围.2求证：owan an+1wn (n+ 1)(n N*).19.(本小题满分 16 分)设 f(x)= aex a, g(x) = ax x2(a 为与自变量 x 无关的正实数).(1)证明：函数 f(x)与 g(x)的图象存在一个公共的定点，且在公

5、共定点处有一条公切线；f ( x)+ ak1一亠、卄亠(2)是否存在实数 k,使得 二In x 1;对任意的 x 3，恒成立？右存axx2在，求出 k 的取值范围，否则请说明理由.20.(本小题满分 16 分)若对任意的 n N*，存在一个常数 M，使得 an5an23.(本小题满分 10 分)设 a，b R，0，a+ b 0,数列cr的通项公式为 cr =?(anSn+1rbr)(1wrwn + 1)，n N*.令 cr的各项之和为 Sn+1，fn(a，b) =.a + b(1)计算：fi(a, b), f2(a, b), f3(a, b),验证不等式fn(a, b)一n对 n= 1, 2,

6、 3成立;a 亠 b(2)证明不等式：fn(a, b) $厂n，并给出等号成立的充要条件.2020 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏模拟卷)(二)数学I参考答案及评分标准1.22. y|yi3. 0.85. 556. 367.8.39.10.511. 4, 54._91012怎弋313.m|Omw1 或 m214. 90 , 80 n15.【解答】因为向量 a= (sin x, cos x), b = (1，- .3 ), a, b 所成的角为 3 ,所以 a b= sin x- 3 cos x= : (sin x)2+( cos x)2 12+( 3)2cos 扌，(2 分)nn1所以

7、2sin x 3 = 1，所以 sin x 3 = 2 .(4 分)因为 x n, n,所以 xn 丰，2r,333n7nn n所以 x 3 =6或 x3 = 6 , (6 分)所以x=尹或 x=n.(7 分)(2) f(x)=(a+c) (a2c)=a2ac2c2=(sin x)2+(cos x)2( 3 sin xcos x)2( 3 )2+(1)2 = 7 ( ,3 sin x cos x) = 7 2sin x f , (9 分)n7n5n因为 x n, n,所以 xf 石,f,(11 分)n所以一 1 sin x f 1, (13 分)所以 f(x)的值域为9, 5.(14 分)16

8、.【解答】（1）如图，连接 AC,设 ACABD = G,连接 FG.由四边形 ABCD 为平行四边形，得 G 是 AC 的中点.又因为 F 是 CE 的中点，所以在厶 ACE 中，FG / AE.因为 AE 平面 BDF , FG 平面 BDF，所以 AE /平面 BDF.（7 分）(2) 因为/ AEB = 90 所以 AE 丄 BE.又因为直线 BC 丄平面 ABE, AE 平面 ABE，所以 AE 丄 BC.又 BCABE = B, BC, BE 平面 BCE,所以直线 AE 丄平面 BCE.由(1)知，FG / AE,所以直线 FG 丄平面 BCE.因为直线 FG 平面 BDF，所以

9、平面 BDF 丄平面 BCE.(14 分)17.【解答】如图 ，连接 PA, PD，则/ EFA=a,/ DiPD =0因为a= 0所以 tana=tan0(2 分)AE DD1t 22八所以 FA = 而，所以 FA = PD，所以 FD = t FA, (3 分)2令如图(2)，建立平面直角坐标系,(第 17 题(2)则 A(0, 0), D(0, 2)，设 P(x, y)，则 x2+( y 2)2=入.x2+ y2, (5 分)(第 17 题(1)所以 P 点的轨迹，即曲线 I 是在正方形 ABCD 内的一段圆弧.（7 分）由知当 E 为柱 AAi的中点时，t = 1，所以1=2,因为a

10、所以 tanatanB,所以AADD，所以 PA PD，所以 PD0），则 b= 5 k,2a2代入令=9,得 k= 1,所以 a= 3, b = . 5，所以椭圆 C 的标准方程为 9 + = 1.（4 分）95设直线 A1P 的斜率是 k,则 k 1 , . 3 , （6 分）设 P, Q 的坐标分别是（X1, y1）, （x2, y2）,则直线 A1P 的方程是 y = k（x+ 3）,x2必彳由95 消去 y,得y= k （x+ 3）,（9k2+ 5）x2+ 54k2x+ 9（9k2 5） = 0 , （8 分）化简得 x2+ y211（1）中圆的方程为 x2+ y+12,（8 分）2

11、外,（12 分）3 (5 9k1 2)X1=5 + 9k2，解得(10 分)30kyi=579?-3(95k2)X229+5 k230ky2=975k2，30k30k5 + 9k29+ 5k251=3 (5 9k2)3 (9 5k2)=14(kk)，(15分)5+ 9 k29+ 5k21因为 g(k) = k匚在1 , 3 上单调递增，所以 kpQ 0,畧3.(16 分)19.【解答】(1)因为 f(0) = ae a = 0, g(0) = 0，所以 f(x) = aex a, g(x)= axx2的图 象存在一个公共的定点 0(0, 0).(2 分)因为 fx) = aex, gx) =

12、a 2x,所以 f (0)a, g (0)a，所以在定点 O(0, 0)处有一条公 切线，为直线 y= ax.(4 分)f (x) + ak1L一亠、(2)假设存在实数 k，使得In x 1-对任意的 x - ,+m恒成立，axx21即存在实数 k,使得 k0 在 x (? , + )上恒成立，所以正项数列Cn为“凹数列”.（4 分）同理，得(12 分)所以 kpQ=力匕xi X2贝 U mx)= ex-=,x 2,+m, (8 分)x x21所以 y= xex 1 在 x 2，+m上单调递增.(10 分)ie2ii2因为eq1=-2 0,、 、， 1所以存在唯一实数xo q， 1 ，使得 X

13、oexo 1 = 0, 即卩 mx0） = 0,且 xo= e xo,1所以 hx(在 x处取得最小值 hx0) = ex。一 ln x 2 = ex。 In e x 2= ex+ x 2e2+=bn2W0,所以正项等比数列bn为“凹数列”.（2 分）设 Cn= dn+ en,其中 dn , en分别为两个正项等比数列， 公比分别为 q1,q2,且 q1Mq2,显然 Cn0（ n N*）,Cn+ Cn+2=(dn+1+ en+1)(dn+ en) + ( dn+2+ en+2)dn+ dn+2+ (en+1Cn+122=dn+12en+ en+2dn+ dnq2en+ enq2(q1 1)22

14、)=dnq12十enq22=dn2+2W0,所以所以因为1h（x）在 x 2，+ 上单调递增,h(x)h 2= e +l .(14 分)1-ex x ln x x 对任意的 x 2，+m恒成立，所以 - -对任意的x1x 2,+m恒成立.(16 分)bn+ bn+220.【解答】（1）设正项等比数列bn的公比为 q,则 bn+122bn+ bnq=bnq20, (12 分)1-2=乙-3=e-F面证明：正项数列Cn不是等比数列.若 Cn是等比数列，则(dn+1+ en+1)2= (dn+ en) (Tn+2+ en+2)( n N*), 所以 d2+i+ en+1+ 2dn+ien+1= dn

15、dn+2+ enen+2+ dnen+2+ dn+2&( n N*), 因为数列dn , en分别为两个正项等比数列， 所以d2+1= dndn+2, eUl= enen+2, 所以 2dn+ien+1= dnen+2+ dn+2en, 所以 2dnenq1q2= dnenq2+ dnenq2, 因为 dnenM0,所以 2qg2= q2+ q1,所以(q2 q1)2= 0,所以 q2= q1,与 q1工 q2矛盾，所以数列Cn不是等比数列.(6 分)(2)若存在一个常数 k N*，使得 a1a2a3ak,但 akak+1, (7 分)由不等式的传递性得，ak+1ak+2, (8 分)

16、同理可得， ak+2ak+3ak+4 an ，所以 akak+1ak+2ak+3ak+4 annak.(10 分)因为正常数 k 是固定的，且 ak0,所以当 n 足够大时，必有 a1+ a2+-+ an1(nk),与题设 a1+ a2+-+ an0(n N*).(12 分)令 bk= ak ak+1(k N ), ak= bk+ ak+1(k N ),由 ak+1 akWak+2 ak+1,得 bk bk+1, bk 0(k N ),an+1Wan+ an+2(n N*)中的 n 换成 k，得 ak+1 ai+ a2+ a3+ an= (bi+ a2)+ a2+ a3+ an= bi+ 2a

17、2+ a3+ an=bi+ 2(b2+ a3)+ a3+ an=bi+ 2b2+ 3a3+ an=bi+ 2b2+ (n i)bnT+nan=bi+ 2b2+ (n i)bni+ n(bn+ an+i)(n i)bni+ n bn+ nan+1Abi+ 2b2+ (n i)bni+ nbnAbn+2bn+(ni)bn+nbn=bi+ 2b2+ +2020 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏模拟卷）（二）数学n（附加题）参考答案及评分标准nnI将圆 O:p=8sinB化为普通方程得 x3+ y2 8y= 0,即 x2+ （y 4）2= 16.（6 分） 因为圆心 O（0, 4）到直线 x+ y

18、 2= 0 的距离为 d=|0+；2= . 2 , 所以 AB= 2 r2 d2= 2 ,16（ .2）2= 2 . 14 , （9 分）1 1 _所以 OAB 的面积为 2 AB = 2X2 屈XV2 =2曲.（10 分）n化为普通方程得pcos 0cos 4 + psin Osin - = 2 ,” 421. A.【解答】x2因为 T 变换将曲线 C1：4+y=1变换为单位圆 X2+ y2= 1,所以x= I，所以 T 变换对应的矩阵为 M =y = y,. （3 分）因为S 变换将曲线 C2： 9 = 1 变换为等轴双曲线所以X = xX = 3， 所以 T 变换对应的矩阵为,yy= 2

19、， （6 分）1所以变换 ST 对应的矩阵为 NM =3001. （10 分）2B.【解答】 以极点为坐标原点，极轴为x 轴, 建立平面直角坐标系,即 x+ y 2 = 0,（3分）将直线p=cos因为中的等号不同时成立,(10 分)C.【解答】因为实数 X, y,为正实数,i 2 zo3i 2 z 所以 x +彳+ 33上=3，3xy,(3 分) 3y 6I-I5 zx4+,(9 分)6z所以22.【解答】设 P 4,Q 4,t(SMt),因为 P 与 Q 的纵坐标之和为4, 所以 s+ t= 4._ n又直线 PQ 的倾斜角不等于 2，所以直线 PQ 的斜率为ts 4cs?=trs=i,4

20、4(3 分)所以直线 PQ 的倾斜角为n.（4 分）设 M(xi, yi)(yiz0, 4)，则 A(xi, xi),因为 MB = 2MA，所以点 A 是 BM 的中点，即 B（xi,2xi yi），所以直线 OB: y= 卑二ix.2因为xi=号，所以直线 OB：2yi 4 八 y=yix.(6 分)设 N(X2, y2),由2yi 4y=yix, y2= 4x,可得y=yS，所所以 kMN=y2yjX2 xiV2yi442 2= = y2yiy2+ yi2yi+yi44yi 24 (yi 2)2yi24 (yi 2)4 (yi 2)yi4 (yi 2)所以直线 MN : y=2(x xi)+ yi=2x= + yi=2x+yiyi4yi2,所以直线 MN 恒过定点(0, 2).(i0 分)2, (2 分)因为才+ia+b+abn+i=n+cn+ii = 0a+bn+i-i2a b 2ibn+i=-a+ b abn+i_ n +2 2i =i1 i)icn+i0a+bn+i- 2ia 一 b2i