2020届辽宁省大连市高三下学期第一次模拟考试数学(文)试题(解析版)

1、第1 1页共 2020 页2020 届辽宁省大连市高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题一、单选题1 1 设集合A x| 2 x 3,B 1,0,1,2,3，则集合Al B为（ ）A A .2,1,0,1,2B B. -1,0,1,2C C.1,0,1,2,D D.2, 1,0,1,2,3【答案】B B【解析】直接判断集合B有哪些兀素在集合A中即可 【详解】因为集合A x|2x3,B1,0,1,2,3,所以集合A B1,1 ,2故选：B B【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于容易题 2 2 .已知复数 z z 满足 1 1 i i z z 2 2，则复数 z z 的虚部为（）A A .1B

2、B.1C C.iD D.i【答案】B B【解析】设za bi,(a,b R),由1 i z2z(2 z)abii(2 a bi),a bi b(a2)ab,b1，故选 B Bba 23 3 下列函数中是偶函数，且在0,是增函数的是（）A A .y In XB B.yCOSXC C.y x2D D.y x3【答案】A A【解析】对于A选项： 函数y In X是偶函数且函数y In X为增函数； 对于B选项: 函数y cosx是偶函数但当x 0,时不是增函数；对于C选项：函数y x2是第2 2页共 2020 页偶函数，但当x 0,时为减函数；对于D选项：函数y X3是奇函数. .【详解】对于A选项

3、：因为函数y In x中自变量x含有绝对值，所以是偶函数，当x 0时，函数y In x In x为增函数，故正确；对于B选项：根据函数y cosx的图像可知它是一个偶函数，但当x 0,时有增有减，故错误；对于C选项：函数yx2是开口向下的二次函数是偶函数，但当x 0,时为减函数，故错误；对于D选项：函数y x3是奇函数，故错误；故选：A A【点睛】本题考查了对函数的奇偶性以及在区间的单调性进行判断，属于较易题4 4 .设Sn为等差数列aj的前n项和，若a4a512，则的值为（）A A . 1414B B. 2828C C. 3636D D . 4848【答案】D D【解析】利用等差数列的前n项

4、和公式以及等差数列的性质即可求出 【详解】因为Sn为等差数列an的前n项和，所以S88 a1 a84 a1a824 a4a548故选：D D【点睛】本题考查了等差数列的前n项和公式的计算以及等差数列性质的应用，属于较易题. .5 5. PM2PM2 . 5 5 是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即 PM2PM2. 5 5日均值在35 g/m3以下空气质量为一级，在3575 g/m3空气质量为二级，超过75 g/m3为超标，如图是某地 1 1 月 1 1 日至 1010 日的 PM2PM2. 5 5 （单位：g/m3）的日均第3 3页共 2020 页值，则下列说法正确的是

5、（A A . 1010 天中 PMPM 2 2 . 5 5 日均值最低的是 1 1 月 3 3 日B B 从 1 1 日到 6 6 日 PM2PM2. 5 5 日均值逐渐升高C C 这 1010 天中恰有 5 5 天空气质量不超标D D .这 1010 天中 PM2PM2. 5 5 日均值的中位数是 4343【答案】D D【解析】 根据给的图，列出对应的数据，即可得到 【详解】对于A选项：1010 天中 PM2PM2. 5 5 日均值最低的是 1 1 月 1 1 日，故A选项不正确；对于B选项：前两天的均值到前三天的均值是减少的，故B选项不正确；对于C选项：不超过75 g/m3有 8 8 天，

6、故C选项不正确；对于D选项：因为这十天的数据从小到大排列后为：3030, 3232, 3434, 4040, 4141, 4545, 4848, 6060, 7878, 8080,可得到它的中位数为 4343,故D选项正确故选：D【点睛】本题考查了根据折线图像得到数据，解决一些数据有关问题，属于较易题26 6.已知抛物线y 4x上点B（在第一象限）到焦点F距离为 5 5,则点B坐标为（）A A.1,1B B .2,3C C .4,4D D .4,.3【答案】C C【解析】先根据抛物线定义可得到B点的横坐标，再代入抛物线方程即可 【详解】设B Xo,y, y0,因为点B到焦点F距离为 5 5 即

7、BF 5, ,根据抛物线定义：BF x0- X）1 5,2第4 4页共 2020 页解得：x04,代入抛物线方程y24x,【答案】D D第 4 4 页共 2020 页得yo4即B 4,4故选：C C【点睛】 本题考查了利用抛物线定义求抛物线上点的坐标，属于较易题irrLTrITr urr7 7.设非零向量m,n,则“mn”是“|m2n| |m 2门|”的（）件的定义进行判断即可【详解】故选：C.C.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，同时考查向量的数量积，属于基础题为（ ）A A .充分而不必要条件B B 必要而不充分条件C C .充分必要条件D D .既不充分也不必要条件【答案】C

8、 C【解析】将| m 2n |urI m2n|两边平方化简可得m n0，再结合充分条件和必要条irr ur若| m 2n| |m2n|，|m 2n|2ur r2| m2n|2LT2所以mir r4m nr24nLT2LTr m4m nr2LTr4n，即，则m，即m24mrr1T2LTrrn4所以ir(m2n)2LTr_IT(m 2n),即| m2n |2| m 22,所以IT|mr u2n| |m2n |，故充分性成立，所以“ urmn”是“為2r| |m 2n|的充分必要条件. .8 8.如图是函数f x 2sin( x )(0,-）的部分图象，贝U,的值分别【答案】D D第 4 4 页共

9、2020 页B B. 1 1,A A . 1 1,第7 7页共 2020 页【解析】根据图像由一到是半个周期即T 26 63232T，从而可求出的值，再由最高点，2代入计算即可. .6【详解】T 2由题意可得一23622即T解得：2，因为函数f x 2sin x (0,-)图象的最高点为 一，226所以有：sin 21，6即2k , k Z，32解得：2k , k Z，6因为 一，2n所以-6故选：D D【点睛】本题考查了利用函数的部分图像求函数的解析式，属于较易题【详解】因为an 12Sn1Sn 1Sn,62，可得到周期9 9.设数列an的前n项和为Sn.若a!1,an 12Sn1,nN*，

10、则5值为(A A . 363363【答案】B BB B. 121121C C. 8080D D. 4040【解析】根据an与Sn的关系可得an 12Sn1 Sn 1Sn,禾 U 用构造法可判断出数列Sn1是等比数列，从而可求出数列2Sn1的通项公式，即可求出Ss的值 2第8 8页共 2020 页所以有：Sn即得到数列Sn是以公比为3 3 的等比数列,所以有：Sn即Sn2 3n3n25时有S5351243故选:【点睛】本题考查了1010 .已知a1A A .4【答案】【解析】式即可. .【详解】因为所以当且仅当故选：D D【点睛】an与Sn的关系求通项公式，利用构造法求通项公式，属于较难题B B

11、.根据已知条件，用b即a b 2ab 1，则a b的最小值为（bb乘以 1 1，可得a4,时等号成立本题考查了利用基本不等式求和的最小值，巧用了1111.已知a,b是两条直线,1，再展开利用基本不等b“1 1 的乘积，属于一般题. .,是三个平面，则下列命题正确的是（第9 9页共 2020 页C C .若, ,1a,则aD D.若II,aII，贝UaII【答案】 C C【解析】 对于A选项：当all,bll ,allb，则ll或;对于B选项：当I a，则a;对于D选项：当/ , all，则all或a. .【详解】对于A选项: 当all , bll , allb，则/或，故A选项不止确;对于B选

12、项: 当，a，则all或a，故B选项不正确；对于C选项：根据线面垂直的判定定理及面面垂直的性质可知C选项正确；对于D选项：当 ，a ，则all或a，故D选项不正确；故选：C C【点睛】本题考查了线面之间的平行与垂直关系，考查了学生的逻辑推理能力，属于一般题. .1212 .某人 5 5 次上班途中所花的时间（单位 ：分钟）分别为 x x,y y，1010，1111，9 9 已知这组数据的平均数为 1010,方差为 2 2,则|x y|的值为（）A A . 1 1B B. 2 2C C. 3 3D D. 4 4【答案】D D【解析】 根据这组数据的平均数为 10,10,方差为 2 2 可求得x,

13、y, ,再求I X y I即可 【详解】由题, ,x y 1011 95 10 50, ,即x y 20. .E 122 222又x 10y 1010 1011 109 102, ,52即x 10y1028. .代入x y20有202 2y 10y 108, ,解得y8或yx 12x12 故y 8或y812 故Ix yi4故选 :D DA A .若aii,bII, a iib则IIB.若，则aII,a，则all或a；对于C选项：由线面垂直的判定定理及面面垂直的性质可知若第1010页共 2020 页2 2【解析】双曲线令告a b1 a 0,b0的渐近线方bx,a【点睛】本题主要考查了平均数与方程

14、的综合运算，属于基础题二、填空题x y 0,1313 .已知x,y满足约束条件x 0,则z x y的最大值为 _ .y 2【答案】4 4；【解析】根据已知条件画出约束条件的可行域，再平移目标函数直线即可求出目标函数的最大值 【详解】x y 0,因为x,y满足约束条件x 0,y 2当目标直线过B 2,2时目标函数z x y有最大值 4 4故答案为：4 4【点睛】本题考查了线性规划，利用数形结合求目标函数的最值，属于较易题2 21414 .若双曲线 务每1 a 0,b0的渐近线方程为y x，则双曲线的离心率为a b【答案】2所以得到可行域（如图）第1111页共 2020 页K根据题意知一a双曲线的

15、离心率e故答案为：2. .2 2点睛：在双曲线厶a bc(1)离心率为一,a(2)焦点为c,0，其中a2b2c2；(3)渐近线为：y x. .a【答案】23【解析】根据已知条件把f 6化成4f，再根据当x 1,2时，f x2入即可. .【详解】因为对任意的x 1,恒有f 2x 2f x成立,3所以有：f6 f 2 3 2f 3 2f 2 -4f卫22又因为当x1,2时，f x 2 x,所以f3223 1,2 2所以f 634f一22故答案为：2【点睛】1515 .定义在 1,1,上的函数f x满足下列两个条件1 1)对任意的x 1,恒有f 2x2f x成立；(2 2)当x1,2时，f x2 x

16、则f 6的值是2. .1a 0,b0中,K1，所以一1. .第1212页共 2020 页本题考查了求抽象函数的函数值，属于较易题1616 已知矩形ABCD中，点AB 8 ,AD 6，沿对角线BD折叠成空间四边形则空间四边形ABCD的外接球的表面积为 _. .【答案】100【解析】先根据已知条件可确定球心为矩形对角线的交点，然后求出球的半径，利用球 的表面积公式即可得到答案 【详解】在RtAABD中，BDAD2AB2. 628210，由题意知，球心到四个顶点的距离相等，1所以球心为对角线AC，BD的交点，且半径R - BD 5，2所以空间四边形ABCD的外接球的表面积S4伙24 冗102100n

17、故答案为：100【点睛】本题主要考查空间四边形的外接球，球的表面积计算，同时考查空间想象能力，属于中 档题 三、解答题21717 .设函数f(x) 2sin xcosx 2cos (x ).4(I)求f X的单调递增区间；B(n)在锐角VABC中，角A,B,C，的对边分别为a,b,c,若f0,2a、3,c 1，求b.【答案】(I) k ,k kZ . (n)1 144【解析】(I)(I)利用正弦，余弦的二倍角公式对函数f(x)f(x)进行化简得到:f (x) 2sin2x 1，再利用整体代入法即可求出函数的单调递增区间;(II)(II)由(I)(I)得到的f (x) 2sin 2x1可计算出仁

18、三)0中角B的值，结合条件中a,c的值，利用余弦定理即可求出b. .【详解】ABCD,第1313页共 2020 页解：(I)由题意可知2f x 2sinxcosx 2cos x2sinxcosxcos2x 144第1414页共 2020 页1 sin 2x sin2x 1 2sin2 x 1,由2k 2x 2k k z,2 2Bi(n)由f2sinB 10，可得sinB -,22由题意知 B B 为锐角，B B - -,6 6由余弦定理b2a2c22accosB a2c2. 3ac 1，b 1【点睛】本题考查了利用二倍角公式对三角函数进行化简，利用余弦定理求三角形边长的大小，属于较易题 181

19、8 .某中学高三(3)(3)班有学生 5050 人，现调查该班学生每周平均体育锻炼时间的情况，得到如下频率分布直方图，其中数据的分组区间为：0,20,2 ,(2,4,(4,6,(6,8,(8,10,(10,12(1)(1)从每周平均体育锻炼时间在0,4的学生中，随机抽取 2 2 人进行调查，求这 2 2 人的每周平均体育锻炼时间都超过 2 2 小时的概率；(2)(2)已知全班学生中有 40%40%是女姓，其中恰有 3 3 个女生的每周平均体育锻炼时间不超过4 4 小时，若每周平均体育锻炼时间超过4 4 小时称为经常锻炼， 问：有没有 90%90%的把握说明，经常锻炼与否与性别有关？附：2n (

20、ad bc)2(a b)(c d)(a c)(b d)sin2x cos 2x所以f x的单调递增区间是k ,kk Z44第1515页共 2020 页P(20)0.1000.1000.0500.0500.0100.0100.0010.00102.7062.7063.8413.8416.6356.63510.82810.8283【答案】（1 1）2 2 ； （2 2）没有 90%90%的把握说明，经常锻炼与否与性别有关 10【解析】（1 1）用列举法求出所有可能的基本事件数，再根据古典概型计算公式求解即可;又恰有 3 3 个女生的每周平均体育锻炼时间不超过4 4 小时，所以男生有 2 2 人每周

21、平均体育锻炼时间不超过4 4 小时，因此经常锻炼的女生有50 40% 3 17人，男生有30 228人. .所以2 2列联表为：男生女生小计经常锻炼282817174545（2 2）根据已知条件，求出经常锻炼和不经常锻炼男生、女生的人数，写出2 2列联表，计算2，查对临界值，作出判断即可 【详解】（1 1）由已知，锻炼时间在0,20,2，（2,4中的人数分别是50 0.02 2 2（人）；50 0.03 2 3（人）分别记0,20,2中 2 2 人为a1,a2，（2,4中 3 3 人为b1.b2.b3，则随机抽取 2 2 人调查的所有基本 事件有如下情况：a1.a2.a1.b1.a1.b2.a

22、1.b3.a2.b1共 1010 种，所以，这 2 2 人的每周平均体育锻炼时间都超过（2 2）由已知可知，不超过 4 4 小时的人数为：a2, b2, a2,b3, db ,2 2 小时的概率P10500.02 2500.03 2第1616页共 2020 页不经常锻炼2 23 35 5第1717页共 2020 页小计303020205050250 (28 3 2 17)225所以20.9262.706,30 20 45 527所以没有 90%90%的把握说明，经常锻炼与否与性别有关 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的面积即为相应的频数，古典概型概率的计算和独立性检验的应用，属于基础题. .

23、1919.如图所示，三棱柱ABC A1B1C1中，侧面BBiCiC为菱形，CBBi60,A在侧面BB1C1C上的投影恰为B1C的中点O,E为AB的中点. .若AC与平面BB1C1C所成角为45，且BC 2，求E到平面ACCd的距离. .【答案】(1 1)证明见解析(2)42)47【解析】(1)(1)连结BC1, ACAC1，由O,E分别为BC1,AB中点，可得OE/AG，再由线面平行的判定定理即可证出；因为OE / /平面ACC1A1，所以要求ACC1A1的距离即可，利用等体积法由【详解】E到平面ACC1A1的距离，只要求出O到平面V三棱锥O ACC1V三棱锥A OCC1，即可求出答案. .第

24、1818页共 2020 页(1)(1)证明：连结BC1, ACAC1,第1919页共 2020 页所以OE / /AG，因为OE平面ACC1Ai,ACi平面ACCiAi,所以OE/ /平面ACCJA. .因为AO平面BBiCiC，所以ACO 45因为侧面BB1C1C为菱形，BC 2，CBB160，所以BBiC是等边三角形，所以BiC 2，又O为BiC的中点,因为O,E分别为BC1,AB中点，第2020页共 2020 页所以OC 1，所以在RtVAOC中，AO 1,AC .2,在RtAAOC1中，AC1, AO2OC；. 12(.3)在ACC1中，AC, 2，CC1AC1【点睛】本题主要考查线面

25、平行的判定定理，等体积法求点到面的距离，同时考查转化与化归的所以Sues2亍获（22）2又SAOCC1-OC1OC -2 2设O到平面ACC1的距离为d，因为V三棱锥O ACC1V三棱锥A OCC1，所以1 13dACC13AOSOCC1，即所以d 3，又OE/平面ACC1A，7所以E到平面ACC1A1的距离为. .7第2121页共 2020 页思想，属于中档题3_ _2020 .己知过点P 1,2的曲线C的方程为.(x 1)2y2. 1)2y22a(1)(1)求曲线C的标准方程；己知点F 1,0，A为直线x 4上任意一点，过1 1- -的最小值即可.t t【详解】2 2所以C的标准方程为1.

26、 .43设B花，,D X2,y2,由题意知，直线BD的斜率不为 0 0,可设BD的方程为x my 1,D，求器!最大直. .2【答案】(1)(1) L L42y31；(2)(2) 1 1【解析】(1)(1)将点P的坐标代入曲线C的方程可求出a的值，再由曲线C方程的几何意义即可求出曲线C的方程;设B X1,y1，D X2, y2，设直线BD的方程为x my 1，令x 4即可求出点A坐标，再由两点间距离公式即可求出|AF将直线BD的方程为x my 1与椭圆C的方程联立消去x，利用根与系数关系求出如y2,yy，由弦长公式即可求出|BD|,进而可求出空4于，令t|AF| 3m24|BD | 4t11，

27、则| AF | 3t214厂，只需tF作AF的垂线交曲线C于点B，求出 3t3t(1)(1)将P1,3代入曲线C的方程得由椭圆定义可知曲线C的轨迹为以1,0,1,0为焦点的椭圆,第2222页共 2020 页则AF的方程为y m(x 1)，所以A(4, 3m),所以| AF |.(41)2( 3m 0)3 . m21，第2323页共 2020 页1，得(3m24)y26my 901|BD|(1)(1)求k,b的值；(2)(2)当k0时，若有kx1b f(X2)成立，求证：X2花0.k 22【答案】 (1)(1)2； (2)(2)证明见解析b 442【解析】 (1)(1)求f (x),判断其单调性

28、并结合零点存在性定理可求出函数f f (x)(x)的零点,kxkx b.b.y y根据导数的几何意义求出在零点切线的斜率,根据点斜式方程即可求出切线方程，再与x将直线BD与椭圆C的方程联立x2my2yT所以6m3m249y1兀=，y1 y2K所以|BD|m21yiy212 m213m24，所以|BD|AF|3m2，令t1,所以|BD|AF|4t3t21f(t) 3t因为f (t)2t2所以f(t)3t1在1,)上单调递增,所以f(t)3tf(1)4，所以|AF |3t1 t所以竺的最大值为 1.1.|AF|【点本题主直线与椭圆的位置关系及弦长公式，同时考查函数最值的求法，属于中档题 2121

29、已知函数f (X)2sinx22 x，曲线 f(x)f(x)在函数零点处的切线方程为y y kxkx b b比较对b的值;构造函数F(x) (22 )x 2sinx2 x，由F(x)单调性可知2F(x) F(0) 0，从而可得(2 2 )x 2sin x x22 x，进而可得(22 )x22sin x2x222 x2,再结合(22 u)x12sin2x2x22n2,即可证出x2x10. .【详解】(1)(1) 由题意得：因为f (x)22sin x x 2 x,定义域为xR. .f (x) 2cosx 2x 2因为f (x)2sin x 20,所以f (x)在x R上为减函数 . .因为f (

30、0)220，f( )20所以由零点存在定理可知，f (x)在x (0, )上必存在一点x0使fx00所以当x,x0时，f (x)0, 即 f f (x)(x) 在x,x0上为增函数,当xx0,时，f (x)0,即 f f(x)(x)在x X0,上为减函数，所以 f f (x)(x)极大值f x0,故 f(x)f(x) 至多有两个零点,又因为f (0)0，f(2 )0,故x0，x 2是 f(x)f(x)的两个零点，所以由f (0)22,f(2 ) 22,所以两切线方程为：y (2 2 )x或y (2 2 )x 4 42k 2 2 k 2 2所以 或2b 0 b 4 422由已知得(2 2 u)x

31、12sin x2x22n2,设F(x) (2 2 )x 2sin x x22 xF (x)2 2cos x 2x，因为F (x) 2sin x 20,所以F (x)2 2cosx 2x在x R上为增函数，因为F (0)0，所以当x (,0)时，F(x)F(x) 0 0,即F(x)在(，0)上为减函数,当x 0,)时，F F (x)(x)A0 0 ,F(x)在0,)上为增函数，所以F(x) F(0) 0,即(2 2 )x 2sinx x22 x,第 1717 页 共 2020 页11|3第2525页共 2020 页所以C上的点P到I的距离为丨2cos2.3sin一74cos 14cos11所以(2 2 )x22sin x2x；2 x2(2 2 )x1,所以X2Xi，所以X2Xi0. .【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，零点存在性定理，在一点处的切线方程，构造函数证明不等式，属于难题 2222 .在直角坐标系xOy中，已知点A( 1,0)，B(1,0)B(1,0)，动点M (x, y)满足直线AM与BM的斜率之积为4 记M的轨迹为曲线C. .以坐标原点0为极点，x轴的正半轴为极轴建 立极坐标系，直线I的极坐标方程为2 cos ,3 sin 110. .(1)(1)求C和I的直角坐标方程；求C上的点到I距离的最小值 2【答案】(1)(1)x2y1(