2020届湖南省长沙市一中高三上学期第二次月考数学(理)试题(解析版)

1、C.充要条件D .既不充分也不必要条件第 1 页共 20 页2020 届湖南省长沙市一中高三上学期第二次月考数学（理）试题一、单选题1 设集合A ,y|y =log2X,0：x乞8?，集合B=x|2x.1，则A B等于（）A.0,3B.0,3丨C. -：,3 1D.R【答案】B【解析】 分别求出集合A，集合B，由此能求出AR B【详解】因为A =| y =log2x,0：x込8y |y込3,B-x|2X0,所以AI B = 0,3.【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.f兀）2.若，0，则复数z=cos“isinr（i为虚数单位）对应的点在

2、（）I 2丿A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】由已知角的范围可得COST0,sinv：0,则答案可求.【详解】Q,0Q2cos：0,sin v : 0-复数z =cos is in v对应的点在第四象限【点睛】本题考查三角函数的象限符号，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.3.已知偶函数 f（x）在0：）上单调递增，则对实数a、b,“a|b|”是“f（a） f（b） ”第2页共 20 页的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件第3页共 20 页【答案】A 【解析】 本道题结合偶函数满足f X二二f -X以及单调递增关系，前后推导，即可 【详解】结合偶

3、函数的性质可得f(x)=f(_x), ,而当a,_a f (1 ),但是-3f(b)无法得到a”b,故a b是f a f b的充分不必要条件，故选 A.【点睛】本道题考查了充分不必要条件的判定，关键结合偶函数的性质以及单调关系，判定，即可, ,属于较容易的题. .4 .若向量 a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则 c 等于( () )13A. - a+ b2231C. a- b2 2【答案】Bx y = -1居设C= =xa+yb,于是有x-y=2,解得13即 c= a- b.【解第4页共 20 页225.函数f xi=ex-2x-1的图象大致为(13B. a- b2231D

4、.- a+ b2 2【答案】C第5页共 20 页【解析】根据函数的奇偶性，排除选项B，通过函数的导数，判断函数的单调性，可排除选项A, D，从而可得结果【详解】函数f x =ex-2 x -1是偶函数，排除选项B；当x 0时，函数f x二ex-2x -1，可得f x = ex- 2，当XEO,In2时，f x：0,函数是减涵数，当x l n2时，函数是增函数，排除项选项A,D，故选 C.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势.从函数的奇偶性，判断图象的对称性.从函数的特征点，排除不合

5、要求的图象6 执行如图的程序框图，则输出x的值是()【答案】D【解析】易知当y =1024时，循环结束；再寻找x的规律求解【详解】 计算过程如下:A.1B.21C.-2D. -1第6页共 20 页x21122-1-1y012341024y c1024是是是是是是否当x =1024时，循环结束，所以输出x - -1.故选 D.【点睛】本题考查程序框图，选择表格计算更加简洁当循环次数较多时，要注意寻找规律7已知a b 0,x=a beb,y = b aea,z = b aeb，则（）AX Z yB.Z X yC.z：y xD.y z x【答案】A【解析】利用作差法，结合指数函数的图像与性质可得结果

6、【详解】bab-X =a be,y =b ae,z =b ae, y _ z = a ea_eb又a b 0, e1, eaebyzzx二ba亠a -b eb二a -beb1,又a b 0, eb1- zx综上：x：z”：y故选：A【点睛】本题考查三个数的大小的判断，考查作差法，考查指数函数、对数函数的单调性等基础 知识，考查运算求解能力，是基础题.第7页共 20 页【答案】A【解析】把函数f x;=cos 2x -二：0向右平移一个单位后得到g x，根47兀据g x在x取得最大值可求得12【详解】【解析】 设F、F分别是椭圆的左右焦点，作出以PF为直径的圆和以长轴为直径的圆x2ya2,设PF

7、的中点为M,连结PF,利用三角形中位线定理与椭圆的定义,1 1证出|OM IRPF |=a-?|PF |，得到两圆的圆心距等于它们半径之差，从而得到两圆 的位置关系是相内切.【详解】2 28 .已知函数f x = cos 2x七-扌”0向右平移寸个单位后得到g x，当7 -x时，函数g x取得最大值，则g的值为(6A.BW11C. 一一D.-22，即可求g的值。62x由2时，函数g x取得最大值,2冗且-二：0，得即=3，(nsi nl.3【点本题主要考查正、余弦函数的图象的特征，诱导公式，函数 换规律，属于基础题.9 已知P是椭圆上一点，F是椭圆的一个集点，则以线段 轴为直径的圆的位置关系是

8、()A.相离B.内切C.内含【答案】By = AsinX 的图象变PF为直径的圆和以椭圆长D.相交第8页共 20 页设椭圆的方程为 笃占=1(a b 0),F、F分别是椭圆的左右焦点,a b作出以线段PF为直径的圆和以长轴为直径的圆x2* y2二a2，如图所示.设PF中点为M，连结PF ,1 1.OM是.；PFF的中位线，可得|OM | PF，即两圆的圆心距为 -| PF|根据椭圆定义，可得| PF | | PF 2a ,111.圆心距 |OM| |PF | (2a_|PF|)=a| PF |，222即两圆的圆心距等于它们半径之差，因此，以PF为直径的圆与以长半轴为直径的圆x2ya2相内切.故

9、选：B.【点睛】本题给出椭圆以一条焦半径为直径的圆和以长轴为直径的圆，求两圆的位置关系. 着重考查了圆与圆的位置关系及其证明、椭圆的定义与简单几何性质等知识，属于中档题.10 .已知数列:an抑满足印二1，且an, an 1是函数f (x) =X2- bnX 2n的两个零点，则 Do 等于()A . 24B. 32C. 48D . 64【答案】D【解析】试题分析：依题意可知，an anbn,anan1=2n,an d-an 2= 2n 1，所a“-1 an -2an t2以-=2.即an .2=2an,故a3=2印,a2a4a1,anan 1ana?=2a7= 16a1.a 1，所以a9=16

10、，又可知910a9310= 2512,.aw= 32.a1o 011= 21024厂an = 32，故bio= a an= 64.第9页共 20 页【考点】函数的零点、数列的递推公式f兀）111.已知函数f x =sin 2x，若方程f x在区间0,二内的解为I 4丿3X1,X2为X2，则sin为X2=（）第10页共 20 页【答案】D【点睛】 本题考查正弦函数的性质以及三角恒等变换，属于中档题。12 已知球0是正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)A-BCD的外接球，底边BC =3,侧棱 AB =2 3，点E在线段BD上，且BD =3BE,过点E作球0的截面，则所得截面圆面积

11、的取值范围是(【答案】B【解析】设 BDC 的中心为Oi，球0的半径为R，连接01D，0D，OiE，0E，可得 R =3，(3 -R)，解得R = 2，过点E作圆0的截面，当截面与0E垂直时，截面的 面积最小，当截面过球心时，截面面积最大，即可求解.【详解】 如图，设.BDC 的中心为Oi，球0的半径为R,1A.-31B.2c._乜2【解析】由题意可得X3兀X2，得Xi- X24=2捲-土，通过计算4JI2 Xi的范围,4利用三角恒等变化可求cos2xi的值，即可得出sin x1-x2。【详3二k二3二2xkc. . x即函数f x的对称轴为x =428282八icQf x=-在区间0,二内的

12、解为/必x23xx23 :2 -3兀.x2x-i43:sin %x2=sin工捲cos 12 XiI4丿V -又因为 Xi :X2 ,TL3兀X2Xi，所以Xi：4883:31所以2xi -4二 二2 2%，所以cos2为蔦二一3， 所以sinx2竽A.57,47：B.2 ,4二C.9兀T，47：JID.丄,4二IL 4第11页共 20 页连接OiD, OD ,O1E,0E,贝V OD =3si n60空=：、；3,AQ = AD2_DOf=3,在Rt OOQ 中，R 3 (3 R)，解得R=2,；BD =3BE,DE=2在.DEOi中,OiE = .3 4 23 2 cos30=1OE=QE

13、2OO2$2过点E作圆O的截面， 当截面与OE垂直时， 截面的面积最小, 此时截面圆的半径为.22二(2)2=2，最小面积为2 当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4 二故答案为2 二，4 二【点睛】本题考查了球与三棱锥的组合体，考查了空间想象能力，转化思想，解题关键是要确定何时取最值，属于中档题.二、填空题13 某年级有 100 名学生，一次数学测试成绩N(105,102)，P(95剟105) = 0.34，则该年级学生数学成绩在 115 分以上的人数大约为 _ .【答案】16 人【解析】根据正态分布的对称性，求得115分以上的概率，由此求得115分以上的人数.【详解】第12页共 20

14、页“1 2x Pf95 W 兰105 1_2x034Pj：115讦 所以人数大约为100 0.16 =16人故填：16 人【点睛】本小题主要考查根据正态分布的对称性求概率，属于基础题r r r14.已知平面向量a,b满足b fa +b )=3，且|a |=1, |b|=2，则|a + b|=_【答案】,3【解析】利用b a b =3化简求得a b一1,然后利用a.b卜7122a b b2计_ .4呻算出|a b|.【详解】-b (a b3, -b a b2=3，又ia1,卫“,2 2 | a b 1= a 2a b b .1-24故填：.3 【点睛】本小题主要考查平面向量数量积运算，考查平面向

15、量模的求解策略，属于基础题15在ABC中，角A,B , C所对的边分别为a, b,c,若3a2-b2 3abcosC =0,【答案】2i cosA cosB 【解析】利用余弦定理将3a2_b2 3abcosC = 0及c化为三角形边的la b丿2 212关系，可得c =3a -b,再利用基本不等式可得最小值 .3【详解】根据题意，由余弦定理得2 2 23a2-b23abcosC =3ab23aba b c9a2- b22ab 22由于满足正态分布，故= 0.16,cos AcosBa b第13页共 20 页故答案为 2.【点睛】16 定义在-2三上的奇函数f x的导函数为f x，且f 1 =0

16、.当x 0时,f x tan x - f x0，则不等式f x：0的解集为【点睛】 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及解不等式问题，是一道中档题.三、解答题17 .已知正项等比数列n匚为递增数列，Sn为其前n项和，且S3=7,得心3-2，依据正弦定理：詈A3、._ cosAsinB+cosBsinA sinCsin(A+B)=si nCsin AsinBsin AsinBsin2Csin Asi nBc 3a b2，当且仅当ab b 3a3a-时取等号，综上所述，答案为 2.b 3a本题主要考查了正余弦定理和基本不等式的交汇,解答本题的关键是将角化成边，禾U用基本不等式求最值要验证

17、条件一正”“定”“相JI兀【答-夕-1- 0,1【解令g(x)空，根据函数的单调性求出不等式的解集即可.sin x【详当 0： ： ：x时, 由f xtan x -sinx /所以g x =在i0,上递增，sin x I 2丿/ g x为偶函数,g x在-,0上递减，且g -1 =g 1 = = 0,I2丿sin1f xg xsinx：0二g x 0弋 一1亠g x1Oin x c 0或-sin x 0兀可得-或Ox,所以，f x 0的解集为 -0,1.第14页共 20 页若b3log2an2,数列 丄的前n项和为Tn,若Tn一对任意nN*恒bnbnJ【详解】(1)设等比数列 玄的公比为q q

18、 j,(2) Tbn=3log2an2=3 n -1,3n -1 3n 23 3n -1 3n 2 aia?a34(1)求数列的通项公式;(2)成立，求的最小值.【答(1)n- 1an= 2.(2)【解析】(1)已知 Sn，为正项等比数列，根据1117S3 =7,二-=4构造方程组,a2a3解得印与q,即可求出数列 an/ 的通项公式。(2)由(1)的通项公式计算出bn的通项公式,利用裂项相消法求出数量1的bnbn 1前n项和Tn，可求的最小值。则丄.丄丄丄/a2a3S3a2a32a22a22a274，得a2S3= a1a2a3解得2，或1飞(舍)，所以an=a2q=22n= 2n J3n 1

19、3n 23 2 3n 26n 4第15页共 20 页_ 1二，即，的最小值为6【点睛】第16页共 20 页(1)利用基本量法构造方程组求数列a,的通项公式。(2)裂项相消法求和法:适用情形： 分式型数列；分母中有两个或两个以上的因式，且因式结构相似裂项的基本原理：将分子视为分母两因式之差的倍数11 1 nn1 n n1，nn 21 1 1-=-2n -1 2n 12 2n -118.如图所示，在梯形ABCD中，AB/CD,BCD =120；，四边形ACFE为矩形,且CF_ 平面ABCD,AD=CD=BC=CF.(1) 求证：EF_平面BCF;(2) 点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FC

20、B所成锐二面角为二，试求cos的取值范围.【答案】(1)证明见解析；(2)co!| ,1 12一【解析】(1)通过证明BC _ AC.AC _ CF，转化证明AC_平面BCF，然后推出EF_平面BCF;(2)建立空间直角坐标系，设AD二CD二BC二CF = 1，求出相关点的坐标，求出平面MAB的一个法向量，令FM二0一 一 3，由题意可得平面FCB的一个法向 量，求出两法向量所成角的余弦值，即可求COST的取值范围.【详解】(1)证明：设AD =CD =BC=1 , AB/CD,BCD =120；,二AB = 2,常见的裂项公式:1anan 1(其中d为等差数列Ca/的公差，且d=0)，第17

21、页共 20 页二AC2=AB2BC2- 2AB BC cos60=3，二AB2= AC2BC2，贝V BC _ AC.四边形ACFE为矩形， AC _ CF,而CF, BC平面BCF，且CF门BC =C, AC_ 平面BCF. EFJ AC, EF_ 平面BCF.(2)以C为坐标原点，分别以直线CA,CB,CF为x轴、y轴、的空间直角坐标系, 令FM0 _、3，则C 0,0,0，A .3,0,0，B 0,1,0,urn _ uuu所以AB - - . 3,1,0,BM =, -1,1,口=x, y, z为平面MAB的一个法向量,I愛0，得“3x “0,r1BM 0 x - y z = 0=1，

22、所以m = 1, 3, 3 - / i力以及计算能力z 轴建立如图所示M ,0,1,因为urrb1,0,0是平面FCB的一个法向量所以.U1U2COS日=LT Ilin =因为0：. 3，所以当彊=0时，cosr有最小值,7直线与平面垂直的判断定理的应用,考查空间想象能1 3J3 -$ 1本题考查二面角的平面角的求法,当，=3时，COST有最大值第18页共 20 页19 长沙某超市计划按月订购一种冰激凌，每天进货量相同，进货成本为每桶5 元，售价为每桶 7 元，未售出的冰激凌以每桶3 元的价格当天全部处理完毕 .根据往年销售经验，每天的需求量与当天最高气温（单位：C）有关，如果最高气温不低于2

23、5oC，需求量为 600 桶； 如果最高气温 （单位： ：C） 位于区间120,25， 需求量为 400 桶；如果最高气温低于20C，需求量为 200 桶.为了确定今年九月份的订购计划，统计了前三年九月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温（叱）110,15)15,20 )120,25 )125,30)30,35)35,40天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率（1） 求九月份这种冰激凌一天的需求量X（单位：桶）的分布列；（2） 设九月份一天销售这种冰激凌的利润为丫（单位：元），当九月份这种冰激凌一天的进货量n（单位：桶）为多少时，丫的均值取得

24、最大值？【答案】（1）见解析；（2）当n =400时，丫的数学期望E（Y）取得最大值 640。【解析】（1）由已知得，X的可能取值为 200，400, 600，记六月份最高气温低于20为事件 A，最高气温位于区间20，25）为事件A，最高气温不低于 25 为事件 A3，结 合频数分布表，用频率估计概率，能求出六月份这种冰激凌一天的需求量X（单位：桶）的分布列.（2）结合题意得当n, 200时，E（Y） =2n, 400，分别求出当200：n, 400,400：n, 600,n 600时的数学期望，由此能求出当n =400时，丫的数学期望E（Y）取得最大值 640.【详解】（1）由已知得，X的可

25、能取值为 200, 400, 600,记六月份最高气温低于 20 为事件A， 最高气温位于区间20 , 25）为事件A，最高气温不低于 25 为事件A,根据题意，结合频数分布表，用频率估计概率，第19页共 20 页可知18i362362P(X =200) =P(A),P(X =400) =P(Aa),P(X =600) =P(A3)=905905905故六月份这种冰激凌一天的需求量X(单位：桶)的分布列为:X200400600D122P555(2)结合题意得当n, 200时，E(Y) =2n, 400，当200：n, 400时，146E(Y) 200 2 (n-200) (-2)n 2 n 1

26、60 (400,640，555当400：n, 600时，122E(Y) 200 2 (n 200) (2)400 2 (n 400) (2)n 25552n 800 560,640)5当n 600时，122E(Y) 200 2 (n 200) (2) 400 2 (n 400) (2) 600 2 (n 600) (2) 555=1760 -2n : 560，所以当n =400时，Y的数学期望E(Y)取得最大值 640.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查频率分布列的应用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.20 .已知点M到点F 3,0的距离比它到直

27、线l :x 5=0距离小2(I)求点M的轨迹E的方程；(n)过点P m,0 m 0作互相垂直的两条直线m，它们与(I)中轨迹E分别交于点 代B及点C,D，且G,H分别是线段AB, CD的中点，求=PGH面积的最小值.【答案】(I) y2=12x ； (n) 36【解析】(I)可知点M到点F 3,0的距离与到直线：x 3 = 0距离相等，根据抛物线定义可得方程；(n)设直线h : x ntm，与抛物线方程联立后利用韦达定理和第20页共 20 页中点坐标公式可求得G点坐标，同理可求得H点坐标；从而用右，上2表示出PG , PH根据两条直线互相垂直得到tt二-1,代入三角形面积公式，利用基本不等式可

28、求得面 积的最小值.【详解】(I)由题意知，点M到点F 3,0的距离与到直线：x= 0距离相等由抛物线的定义知，轨迹E是以F 3,0为焦点，以直线：x3 = 0为准线的物线2.M 的轨迹E的方程为：y =12x(n)设直线l1: -t1y m联立!x2二t+m得：y2_12t12m=0y2“2x设A为$ ,B X2, y22 2则y1y =12右,为x2=t| % y2厂2m = 12t|2m . G6tm,6h设直线l2: x =t2y m.同理可得：H 6t2 - m,6t2二PG =6订/+,|PH =6t2|J1，易知直线h、2的斜率存在且均不为 01 1d1，即：t|t2二-1t1t

29、212二SM=1PG|PH sinNPGH =18坤2| J(1+t；X1+ ) = 18j2+t；+ Z18石=36当且仅当t=血=1时取等号 = PGH面积的最小值为36【点睛】本题考查根据抛物线的定义求解抛物线的方程、直线与抛物线综合应用中的三角形面积的最值求解问题.求解三角形面积最值的关键是能够结合韦达定理求得所需点的坐标和线段长，从而利用变量表示出三角形面积，利用基本不等式求得最值x21.已知函数f x二 - ，其中a 0,b R,e为自然对数的底数.ax2+bx+1(1)若b=1，且当x-0时，f x -1总成立，求实数a的取值范围；2 第21页共 20 页3(2)若b=0，且fx

30、存在两个极值点Xi,x，求证：1fXi r- fX2 : e.2a【答案】(1)a；- iO,1; (2)详见解析I 2【解析】(1)若b=1，且当x-0时，f(x)i总成立，分类讨论，确定函数的最小值，即可求实数a的取值范围;(2 )求出函数的导数，构造新的函数，根据函数的单调性证明即可.【详解】1当O：a,时，f(x)_O,f x在0,上单调递增，f(x)_f(0)=1；12a_1当a时，f(x)在0 , -上单调递减，2a2a _1在丝二1，:)上单调递增，a2a _1f(X)min=f() -f (0) =1，不成立，a.02 k行行X；+ X2+1卜卜X2 昇昇 + +X12-12丿

31、丿12第23页共 20 页4 昇昇2为为4 X21A，222a-3 i2a卷xi又又xie 亠 X2e 1r2吕吕乂 f (Xi) f(X2)Xie r2 2 -令令 h x = xe2乂乂 2 x ex0：x：1则h x1 -x ex e2-0所以h x在0,i上递增，h x:：h i=2e，从而 f（xi） f（X2） .e3综上可得：if x-if x2: e2a【点睛】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性、最值问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题X = -2 + cos22.在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（二为参数），以坐y = si nl标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线I的极坐标方程为P COS心-少1=血I 4丿丿 . .（1）求圆C的普通方程和直线I的直角坐标方程；（2）设M是直线I上任意一点，过M作圆C切线，切点为A,B,求四边形AMBC（点C为圆C的圆心）面积的最小值.2 2【答案】（1 ）圆C的普通