2020届北京市通州区高三第一学期期末考试数学试题(解析版)

1、第1页共 18 页2020 届北京市通州区高三第一学期期末考试数学试题、单选题1.已知 集合A x2x1,B x1 x3，则AUB()A .x2x 3B.x1 x 1C.x1 x3D.x2 x1【答案】A【解析】根据并集运算法则求解即可【详解】由题：集合A x2x1,B x1x3,则AU B x 2 x 3.故选：A【点睛】此题考查根据描述法表示的集合，并求两个集合的并集1i2 .在复平面内，复数（其中i是虚数单位）对应的点位于（）iA .第一象限B.第二象限C .第三象限D .第四象限【答案】A【解析】化简复数，得出其在复平面内的点，即可判定位置【详解】由题：复数1i i丄1 i,i i1在

2、复平面内对应的点为1,1,位于第一象限故选：A【点睛】此题考查复数的基本运算和复数对应复平面内的点的辨析，关键在于准确计算，熟练掌握几何意义23.已知点 A（2,a）为抛物线y 4x图象上一点，点 F 为抛物线的焦点，则AF等于（）A . 4B. 3C.2 2D . 2第2页共 18 页【答案】B【解析】写出焦点坐标，根据抛物线上的点到焦点距离公式即可求解【详解】由题：点 A（2,a）为抛物线y 4x图象上一点，点 F 为抛物线的焦点，所以F 1,0，根据焦半径公式得：AF x0- 2 1 3.2故选：B【点睛】此题考查求抛物线上的点到焦点的距离，结合几何意义根据焦半径公式求解即可4 若x y

3、 0,则下列各式中一定正确的是（）111x1yD .In x In yA .B. tan xtan yC ()(-)xy22【答案】D【解析】若xc11y 0 ,-x y(1)x(1)y所以 AC 错；x3,y ,tan x tan y44所以 B 错；若x y 0,In X In y,所以D正确.【详解】由题：若x y 0，根据反比例函数性质 一一，所以 A 错误;x y3若x y 0，取 x A 7，tanx tany，所以B错;若x y 0，根据指数函数性质若x y 0，根据对数函数性质故选：D【点睛】此题考查不等式的基本性质，结合不等关系和函数单调性进行判断，也可考虑特值法推 翻命题.

4、1 1(-)x(1)y所以 C 错；In x In y,所以D正确.第3页共 18 页5 .某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的长度为（）第4页共 18 页A .2. 7B.4三C.2,11D.4 3【答案】C【解析】根据三视图还原几何体，即可求解 【详解】根据三视图还原几何体如图所示：其中AB AC,PC平面ABC,由图可得：CP AC 4,AB 23，所以BC 2.7, AP 4迈2 .7，BPPC2BC244 211 4 2，所以最长的棱长2.11故选：CtEtta侧视图第5页共 18 页【点睛】此题考查根据三视图还原几何体，计算几何体中的棱长，关键在于正确认识三视图，准第6页共

5、 18 页确还原6甲？乙?丙?丁四名同学和一名老师站成一排合影留念若老师站在正中间，甲同学不与老师相邻，乙同学与老师相邻，则不同站法种数为()A 24B. 12C 8D 6【答案】C【解析】 根据特殊元素优先考虑原则，先排乙，再排甲，结合左右对称原则求解【详解】由题：老师站中间，第一步：排乙，乙与老师相邻，2 种排法；第二步：排甲，此时甲有两个位置可以站，2 种排法；第三步：排剩下两位同学，2 种排法，所以共 8 种.故选：C【点睛】 此题考查计数原理，关键在于弄清计数方法，根据分步和分类计数原理解决实际问题A 充分不必要条件B.必要不充分条件C 充要条件 必要条件【答案】B【详解】当rb2a

6、 0时，满足r ar a，不能推出小r r rrr r若0，则a b a，所以aa b5所以“a a b”是“b0”的必要不充分条件故选：B【点睛】此题考查充分条件与必要条件的关系判断，关键在于弄清向量间的关系，正确辨析即可2x 18.关于函数f(x) x ax 1 e有以下三个判断函数恒有两个零点且两个零点之积为-1 ；r rrr rr7.对于向量a,b，aa b”是b0”的(D .既不充分也不【解析】根据向量的运算法a a b”不能推出b0”0”能够推出函数恒有两个极值点且两个极值点之积为-1；答案】 7第 5 页共 18 页讨论导函数的零点问题即可得极值关系【详解】=a240，所以关于x

7、的方程x2ax 1 0零点之积为 -1，即 正确；2x1 x12x a 2 x a 1 e，ex 10，对于x根，且导函数在这两个实根附近左右异号，两根之积为两个极值点之积为a 1，所以 错误；若x2是函数的一个极值点 ,f242a4 a 1 0，则a1，fx2xx1x 1 e，fx2xx 2 ex 1x2x1x1ex 1，x,2U 1, f x0，x2,1,fx 0，故选：C【点睛】此题考查函数零点问题，利用导函数导论单调性和极值问题，综合性比较强若x2是函数的一个极值点,则函数极小值为 -1.其中正确判断的个数有 ( )A . 0 个B. 1 个【答案】 CC2个解析】 函数的零点个数即x

8、2ax 10的根的个数，利用判别式求解；对函数求导定有两个实根，且两根之积为-1，所以f (x)(x2ax 1)ex 1恒有两个零点且两个因为ex 10，方程x2ax 1 0，2a 224 a 1a28 0，所以x2a 2 x a 1 0恒有两个不等实a 1，函数恒有两个极值点且所以函数的增区间为2 , 1,，减区间为2,1，所以函数的极小值为11函数恒有两个极值点且两个极值点之积为-1；答案】 8第 5 页共 18 页二、填空题9已知向量am则|/ba/(.a,若m1rb23求解.第 6 页共 i8 页【解析】根据向量垂直，数量积为 0 列方程求解即可【详解】、2由题：a (a b)，所以a

9、 (a b) 0，a ab 0所以9 43 2m 0，解得：m 5.故答案为：5【点睛】此题考查向量数量积的坐标运算，根据两个向量垂直，数量积为0 建立方程计算求解10._ 在公差不为零的等差数列 an中,ai=2,且 ai,a3,a7依次成等比数列，那么数列an的前 n 项和Sn等于.【答案】门23n22【解析】根据 ai,a3,a7依次成等比数列，求出公差，即可求解.【详解】在公差不为零的等差数列an中,ai=2,设公差为d,d 02且 ai,a3,a7依次成等比数列，即2 2d 2 2 6d,d2d 0,d 0,所以d i,n n ii3所以数列an的前 n 项和Sn2nin2n.222

10、13故答案为：n2n22【点睛】此题考查等差数列基本量的计算，根据等比中项的关系列出方程解出公差，根据公式进行数列求和.11.已知中心在原点的双曲线的右焦点坐标为 (、2, 0)，且两条渐近线互相垂直，则此双曲线的标准方程为_ .求解.第 6 页共 i8 页【答案】x2y2iK【解析】根据两条渐近线互相垂直得出渐近线方程，即求出-的值，结合焦点坐标即可a第11页共 18 页【详解】两条渐近线互相垂直，即1，得a b,a a又因为右焦点坐标为（、,2,0）,所以a2b22，解得a b 1,所以双曲线的标准方程为：x2y21.故答案为：x2y21【点睛】此题考查根据渐近线的关系结合焦点坐标求双曲线

11、的基本量,程，考查通式通法和基本计算 12在ABC中，a 3,b 2J6,B 2 A则cosB _.1【答案】丄3【解析】根据正弦定理建立等量关系求解即可【详解】在ABC中，由正弦定理得：-SinB,a sin A2.6 sin 2A3sin A2 .6 2sin A cos A2cos A3sin A6所以cos A32 1 cosB cos2A 2cos A 1 21.931故答案为：丄3【点睛】此题考查正弦定理的应用，结合三角恒等变换二倍角公式，求三角函数值，关键在于准确掌握基本计算方法正确求解由题双曲线焦点在2x轴，设双曲线方程笃ab21, a 0,b0,进而得第12页共 18 页13

12、.已知a,b,a m均为大于 0 的实数，给出下列五个论断:a b,a b,m 0,m 0,-m b以其中的两个论断为条件，余下的a m a论断中选择一个为结论，请你写出一个正确的命题 _ .【答案】 推出（答案不唯一还可以 推出等）【解析】选择两个条件根据不等式性质推出第三个条件即可，答案不唯一【详解】已知a, b,a m均为大于 0 的实数，选择推出a b，m 0,公路 I,花园中间有一条公路 AB（AB 是圆 0 的直径），规划在公路 I 上选两个点 P,Q,并修建 两段直线型道路 PB,QA.规划要求：道路 PB,QA 不穿过花园已知OC I,BD I（C?D 为垂足），测得 OC=0

13、.9,BD=1.2（单位:千米）.已知修建道路费用为 m 元/千米.在规划要求下 修建道路总费用的最小值为 _ 元【答案】2.1m【解析】 根据几何关系考虑道路不穿过花园，求解最小距离，即可得到最小费用【详解】“ b m b ab am ab bm则a m a a a m所以丄b.a m a故答案为：推出【点睛】此题考查根据不等式的性质比较大小， 于开放性试题，对思维能力要求比较高 14 .如图，某城市中心花园的边界是圆心为ambm在已知条件中选择两个条件推出第三个条件，属0,直径为 1 千米的圆，花园一侧有一条直线型卩D C I.1IJ Iw第13页共 18 页如图：过点B作直线BP AB交

14、I于P，取BD与圆的交点M,连接MA,MB，贝y MA MB, 过点A作直线AQ AB交|于Q,过点A作直线AC I交I于C，修建道路总费用的最小值为2.1m元.故答案为：2.1m【点睛】此题考查与圆相关的几何性质，根据几何性质解决实际问题, 题抽象成纯几何问题求解三、解答题15 .已知函数f(x) 2cos(x )sin x.3(1)求 f(x)的最小正周期；n求 f(x)在区间0,上的最大值和最小值.所以cosPBD cos BAMcos QAC5所以BP1.5,BDAC2OC，所以AC0.6,最小距离为2.1 千米.根据图象关系可得，直线上，点P左侧的点与B连成线段不经过圆内部,点Q右侧

15、的点与A连成的线段不经过圆的内部,最短距离之和即PB AC，根据几何关系:PBD BAMQAC，sin BAM需要注意合理地将实际问第14页共 18 页/3【答案】(1); (2)最小值 0；最大值12【解析】(1)对函数进行三角恒等变换得fxsin(2x )3，即可得最小正周32期；2n(2)整体考虑2x ,的取值范围，求出最大值和最小值33 3【详解】第15页共 18 页解:f (x) 2cos(x )sin x 2(1 cosx fsinx)sinx13si n2x(1 cos2x) sin (2x)223(1) f(x)的最小正周期 T =2-=；-，即x 0时,f(x)取得最小值f(

16、0)33，即x时,f(x)取得最大值f212 12所以 f(x)在区间0,n上的最小值 0；最大值上31.22【点睛】此题考查利用三角恒等变换对函数进行化简，求最小正周期和闭区间上的值域，关键在于利用公式准确化简，正确求值.16 为了解某地区初中学生的体质健康情况，统计了该地区 8 所学校学生的体质健康数据，按总分评定等级为优秀，良好，及格，不及格.良好及其以上的比例之和超过 40%的学校为先进校各等级学生人数占该校学生总人数的比例如下表：比例学校等级学校 A学校 B学校 C学校 D学校 E学校 F学校 G学校 H优秀8%3%2%9%1%22%2%3%良好37%50%23%30%45%46%3

17、7%35%及格22%30%33%26%22%17%23%38%不及格33%17%42%35%32%15%38%24%因为x0,2，所以2x-亍爭所以当2x当2x -3J2第16页共 18 页(1)从 8 所学校中随机选出一所学校，求该校为先进校的概率;第17页共 18 页(2)从 8 所学校中随机选出两所学校，记这两所学校中不及格比例低于30%的学校个数为X,求 X 的分布列；设 8 所学校优秀比例的方差为Si2，良好及其以下比例之和的方差为S22，比较 Si2与 S22的大小(只写出结果)1【答案】(1)-; (2)见解析；(3)Si2=S222【解析】(1)统计出健康测试成绩达到良好及其以

18、上的学校个数，即可得到先进校的概率；(2)根据表格可得：学生不及格率低于30%的学校有学校 B?F?H 三所，所以 X 的取值 为 0,1,2，分别计算出概率即可得到分布列；(3)考虑优秀的比例为随机变量 Y,则良好及以下的比例之和为Z=1-Y,根据方差关系 可得两个方差相等【详解】解:(1)8 所学校中有 ABEF 四所学校学生的体质健康测试成绩达到良好及其以上的比例 超过 40% ,1所以从 8 所学校中随机取出一所学校，该校为先进校的概率为 一；2(2)8 所学校中，学生不及格率低于30%的学校有学校 B?F?H 三所，所以 X 的取值为 0,1,2.所以随机变量 X 的分布列为:X01

19、2P5141528328P(X 0)P(X 1)P(X 2)C52514c；c315C|28c；3c；28第18页共 18 页设优秀的比例为随机变量Y,则良好及以下的比例之和为Z=1-Y，所以：Si2=s2【点睛】此题考查简单的几何概率模型求概率，求分布列，以及方差关系的辨析，关键在于熟练 掌握分布列的求法和方差关系 17 .如图，在四棱锥 S-ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，AD/BC,/ SAD=/ DAB =90,SA=3,SB=5,AB 4,BC 2,AD 1.(1) 求证:AB 平面 SAD ;(2) 求平面 SCD 与平面 SAB 所成的锐二面角的余弦值；点 E,F 分别

20、为线段 BC,SB 上的一点，若平面 AEF /平面 SCD,求三棱锥 B-AEF 的体积.12【答案】见解析；;(3)113【解析】(1)通过证明AB SA,AB AD得线面垂直；(2) 结合第一问结论，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，即可得二面角的余弦值；(3)根据面面平行关系得出点F 的位置，即可得到体积.【详解】(1)证明:在VSAB中，因为SA 3,AB 4,SB 5,所以ABSA.又因为/ DAB=9 10所以ABAD,因为SAI ADA所以AB平面 SAD.解:因为SAAD,AB SA,AB AD,建立如图直角坐标系:第19页共 18 页第20页共 18 页则 A(0,

21、0,0)B(0,4,0), C(2,4,0),D(1,0,0),S(0,0,3).uur平面 SAB 的法向量为AD (1,0,0).3z 0r1 1所以平面 SDC 的法向量为m (1,丄,丄)4 3因为平面 AEF/平面 SCD,AEFI平面 ABCD=AE，平面 SCDI平面 ABCD=CD ,AEFI平面 SBC=EF，平面 SCDI平面 SBC=SC,由AE P CD,AD/BC得四边形 AEDC 为平行四边形 所以 E 为 BC 中点.又FEIISC,所以 F 为 SB 中点.3所以 F 到平面 ABE 的距离为一,2又ABE的面积为 2,所以VBAEFVF ABE1【点睛】此题考

22、查立体几何中的线面垂直的证明和求二面角的大小,的位置求锥体体积.1 (a b 0)的长轴长为 4,离心率为 丄2,点 P 在椭圆 C 上.ruuvmCD0ruuvm SD04y 0所以有设平面SDC 的法向量为m (x, y, z)所以cosr, -utuml SD1213平面所以AEPCD,平面所以FE II SC根据面面平行的性质确定点2 218 已知椭圆 C:务占a bruurrmgSD第21页共 18 页2(1)求椭圆 C 的标准方程;第22页共 18 页已知点 M (4,0),点 N(0,n),若以 PM 为直径的圆恰好经过线段PN 的中点,求 n 的取值范2 2【答案】勻与1；n

23、2。【解析】(1)根据长轴长和离心率求出标准方程;(2)取 PN 的中点为 Q,以 PM 为直径的圆恰好经过线段 PN 的中点，所以根据垂直关系建立等量关系，结合点P 的坐标取值范围，即可得解【详解】解：(1)由椭圆的长轴长 2a=4,得 a=2又离心率c .2 e,所以c2a 2所以b22 2a c 22 2所以椭圆 C 的方程为：0 L 1422 2法一:设点P(Xo，yo),则型也142所以 PN 的中点Q(生，凶n)2 2因为以 PM 为直径的圆恰好经过线段 PN 的中点UJUV UUV所以 MQ 丄 NP,则MQ NP即(Xo4)xo(专)(yon) o,2又因为Xo-2yo21，所

24、以 d28x02 n 0,422所以22Xon28xo2,Xo2,2,2函数f (Xo)X028xo2,Xo2,2的值域为12,20所以0 n220所以2一5 n 2一5.2 2法二:设点P(x),y。),则乞旦1.MQ 丄NP,uuuvMQ(Xo(24,yo2-),NP(Xo，yon)，第23页共 18 页42设 PN 的中点为 Q因为以 PM 为直径的圆恰好经过线段PN 的中点所以 MQ 是线段 PN 的垂直平分线，所以MP MN即.(xo4)2yo2一16一n22所以n2生8x02，22函数f(x0)江8x02 ,x0 2,2的值域为12 ,202所以0 n220，所以2、一5 n 2、

25、一5.【点睛】此题考查求椭圆的标准方程，根据垂直关系建立等量关系，结合椭圆上的点的坐标特征求出取值范围.19 .已知函数f (x) xsinx cosx.(1)求曲线y f(x)在点(0,f(0)处的切线方程；12求函数g(x) f (x) x零点的个数.4【答案】(1)y 1； (2)零点的个数为 2.【解析】(1)求出导函数，得出f (0)0,f(0)1即可得到切线方程；1(2)根据g(x) f(x)x2为偶函数，只需讨论在x (0,)的零点个数，结合导函4数分析单调性即可讨论.【详解】解:(1)因为 f (x) xcosx ,所以f (0)0,又因为f (0)1,所以曲线y f (x)在

26、点(0,f (0)处的切线方程为y 1；第24页共 18 页12因为g(x) f(x)为偶函数，g(0)14所以要求g(x)在x R上零点个数,只需求g(x)在x (0,)上零点个数即可11g (x) xcosx x x(cosx ), x 0225令g (x)0,得x 2k -,x 2k一 ,k N33所以g(x)在(0,3)单调递增，在(,5)单调递减，在(-,7-)单调递增亠5在(2k,2k)单调递减，在(2k,2k-)单调递增 k N3333列表得：x0(0弓3(3, 3)53(53，牛)337371133113g(x)0+0-0+0-0g(x)1/极大值极小值/极大值极小值处取得极小值，g(匚)3120；36 23655.31252g()036236当kN*且k3 1时12函数g(x) f(x)4x(x R)零点的个数为2.【点睛】 此题考查求函数在某点处的切线方程，求函数零点的个数，根据奇偶性分类讨论，结合由上表可以看出g(x)在x 2k(k3N)处取得极大值，在x 2kN)1 121g(2k3)(2