2020年中学生标准学术能力诊断性测试1月试题数学(理)

1、-1 -中学生标准学术能力诊断性测试2020 年 1 月测试理科数学试卷(一卷)本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟。一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若集合 A = x| 1x2 , B = 2, 0, 1, 2，贝 U A AB =A.B.0 , 1C.0 , 1 , 2D. 2, 0, 1 , 22若(2 + i)z = 5,贝 U z 的虚部为A. 1B.1 C. iD.i2 23.已知双曲线与1(b0)的两条渐近线互相垂直，则b =2bA.1 B.2C.、3D.24.由两个圆柱组合而成的几何体的

2、三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B.326.已知关于 x 的不等式 ax2 2x + 3a0 在(0, 2上有解，则实数 a 的取值范围是A.B.D.7.已知 a, b 为实数，则0balogba 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件C.nD.2n-2 -8.已知随机变量E, n的分布列如下表所示。则-3 -BC3.6C.D.-22中，已知 AB = 3, AD = 4, E 是边 BC 上的点，EC = 1, EF/CD，将平面 EFDC 绕 EF 旋a,直线 AB 绕 AE 旋转一周，则旋转过程中直线AB 与平面a相交形成的点的轨迹是BCA.圆

3、 B.双曲线 C椭圆 D.抛物线11. 已知函数 f(x) = (Inx 1)(x 2)i- m(i = 1, 2), e 是自然对数的底数，存在m RA.当 i = 1 时，f(x)零点个数可能有 3 个 B.当 i = 1 时，f(x)零点个数可能有 4 个C.当 i = 2 时，f(x)零点个数可能有 3 个 D.当 i = 2 时，f(x)零点个数可能有 4 个12. 已知数列an的前 n 项和为 Sn,且满足 an(2Sn an) = 1，则下列结论中数列Sn2是等差数列；an2 n； anan+1 m,则实数 m的最大值为_。三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或

4、演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：60 分。17. (12 分)已知角a的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点P( 1,. 3)o(1)求COS()的值；2求函数 f(x) = sin2(x +a) cos2(x a(x R)的最小正周期与单调递增区间。18. (12 分)如图，多面体 ABCDEF 中，四边形 ABEF 和四边形 CDFE 是两个全等的菱形，AB = 2，/ BAF=ZECD=60(1)求证：BD 丄 DC ;如果二面角 B EF D 的平面角为 60求直线 BD 与

5、平面 BCE 所成角的正弦值。19. (12 分)已知等比数列an的公比 q1，且 a1+ a3+ a5= 42, a3+ 9 是 a1, a5的等差中项。数列bn的通项2n*公式bn -, n No,3n13n 11(1)求数列an的通项公式；证明：b| b2bn2n 11, nN*。20. (12 分)已知抛物线 C： x2= 2py(p0)，焦点为 F，准线与 y 轴交于点 E。若点 P 在 C 上，横坐标为 2,且满足：PE血|PF。-5 -(1)求抛物线 C 的方程；若直线 PE 交 x 轴于点 Q,过点 Q 做直线 I，与抛物线 C 有两个交点 M, N(其中，点 M 在第一象限)

6、。UULU UUUUS_若QM MN，当入 (1, 2)时，求SOMP的取值范围。SONP21.(12 分)已知函数 f(x) = (x + 1)(ex- 1)。(1)求 f(x)在点(一 1, f( 1)处的切线方程;(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22, 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清题号。22.选修 44:极坐标与参数方程(10 分)23.选修 45:不等式选讲(10 分)已知正数 x, y, z 满足 x + y+ z= 1。若方程 f(x) = b 有两个实数根 X1, X2，且 X10。若曲线 C 上所有点均在直线l 的右上方，求 a

7、的取值范围。-6 -(1)求证:2X2y 3z2 2yz2z 3x 2x 3y12;(2)求16x16y16z的最小值。5-6 -中学生标准学术能力测试诊断性测试2020年1月测试理科数学（一卷）答案一.选彈题：本大題共12小卧 毎NSd分.井盹分”柱毎小題给出的四牛选项中.只 有一项是符合JS目要求的.11士34567g9101112BABCBAACCDCD二.填空题：本大題共4小题.毎小題分.共再分.13.7014.n15,V-i21(52三、解鲁鳳 共兀分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考題. 每个试翱考生體必须作4T第22、茁颍为选考题、考生根祸軽求作斡+（-

8、）必考题：60分.17.解：UJ由卷意得OP = 2,则cos =-2cos(or + ) = sinor = 忑1忑eosY+- suix12T = =?r.1Fh-TT2X2T.知单调请审恆间为才罕一牛.片卩（k 7.I212分-7 -LS.解：(1)如匿.収EF的中点G,连接EG、DG 任菱中，TZBAF -60 ,/.是正三角形.代EF丄BG.1分同理，在菱形CDFE中，可证丄DG.-DGQBGG.2分RDGf BG 均在面BDG内人尸一平面RDG *BDl,所以.予分所以=2=.6分(2法1,由(1可.-t i2竝-1 +強询1 （2 -1 +占小-1）（丁2”-2（府1 丿2冋-1

9、）2ff-_2:+1 玄 + 区+耳（yf1 Vz11）+（21_ i）+十_i _Jr_iJ严-1-1丈由可盼而活J Z我I訂用数学U纳袪证明*1)当幷=1时勺二亠厂=近 u 原*不零式成立;Vi + v3段设M=)t ( hM ) III办等式咸即-r12#-9 -即当Ff = Jl 4-l时不等式也成並相据1)和2)不等式轟+毎+亠恥J2”J-1时枉蕙可巨M.嚴立*：|尸=问尸/拋物线C的方捏为x2= 4y.2) fe 易求得(人0)*.巧分由题意舞.直线/的制率存在且不为0可1VWJS/的方理为 =my+11整理得rn2y2+ 2rvd)yl =0. A = 16-16w 0,/w 1

10、.十1_ 却遁何匚7)_(竝可二后氓匸二仃芍nib12分联訂方現绢x = my十x2=Xy如+妨十8， +b*+瓦尉0 乜十十悅 2L承(1) f(x) = (x + 2)b-l.1分厂(-1)丄1，.e所以切线方程为y-(X + 1).3分e 由(1) *l/(x)在点(-lx/(-l)ft的切线方程jbjr = (X+1).设 (x + 1)rhMyi)4+丄屈乃丿升-2_ |(4 _ 2科快_彳|(4-2m必-2|10分丁/lw门*2),二邑乃-12 -i_efi i构 造F(x) = /()- 1JC+1) = fx+1)e1； , F (JT) = (X+ 2) *ee)e尸(刃(耳

11、+3)e所以尸(兀)在(F,-3)上单调递减.机(一3,仙)上单调透增. .5分又/(_3)-_1.1F(-l) = O/(x)(x) = (x + 1),当e且仅当=-1时取打方程+i)=/的根-1.又卜/(xjfg).由占(工)在虑上e1 丿单调谱减所以昇和.7 5)另一方面，町在点(Ue-2)处的切线方程为j = (3e-l)x-e-l.i号心)=化1 )x e1Gr(x)=(x+ 2)Z-3e G*(r) = (x + 3)pJ.所以Gx)在在(y,-耳上单调递减，在(-3.+0C)上单谀递増， .评分XG (-3)= I3e/(x)f(x)=(3ff-l)x-l ,当且仅当X=-1PJ取-=*.10分/ 方程f(x) = (3e-l),v-r-l=A的根A21/IxJ = /(x3)r(x3),由左一1-13 -tx）.R上单调递断 所以兰迟.所以乐一习冬吃一珂=1十匕上4型，得3e1el证*.12# 0 *.7分住”）十心5）3+初牡”長 X-14-由均值不等式4+4叮+4“巴3“4皿小.当且仅当尹时成立16+ 16 +16“的毘小值为6.即十4血（0十0） -3 其中tan= .a0,所耳松+ic玄 .9分a解得Qa O.y