2020届江苏省苏锡常镇四市高三第二次模拟考试(5月)数学理

1、第页12020届江苏省苏锡常镇四市高三第二次模拟考试数学理科(满分 160 分，考试时间 120 分钟)2020. 5填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分.1.已知集合 A = 1 , 2 , B = 1, a.若 A U B= 1, a, 2，贝 U a=_2. 若复数 z 满足(1 i)z = 1+ i，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 _.3. 某校 100 名学生参加知识竞赛的成绩均在50, 100内，将学生成绩分成50, 60), 60, 70), 70,80), 80,90) ,90 ,xJ1While y1yj3x2xJyEnd While100五组，

2、得到如图所示的频率分布直方图， 则成绩在80,90)内的学生人数是Print y(第 3 题)(第 4 题)4. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出y 的值为_.5. 某班推选一名学生管理班级防疫用品，已知每个学生当选是等可能的，若“选到女生”的概率是1“选到男生”的概率的 2，则这个班级的男生人数与女生人数的比值为6.函数 f(x) =!2 x + ln x 的定义域为 _.7.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线2扌=1 的顶点，则 a=4a9.CMBD8.已知等比数列an的前 n 项和为 Sn,已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 6,点 M 是对角线 A1C 上靠近

3、点 A1的三等分点，则三棱锥 的体积为_ .2x+a,0wxw1,10.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)的周期为 2，且 x 0 , 1时，f(x)=bx 1x + 1 ,20）与圆 0 外离，线段 A01与圆 01交于点 M ,线段 BM 与圆 0 交于点 N，且 0M + 0 讯=0,则a 的取值范围是_.14. 已知 a, b R , a+ b = t（t 为常数），且直线 y = ax+ b 与曲线 y= xex（e 是自然对数的底数，e 2.71828）相切.若满足条件的有序实数对（a, b）唯一存在，则实数 t 的取值范围是 _.二、 解答题：本大题共 6 小题，共 90 分.

4、解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. （本小题满分 14 分）在厶 ABC 中，已知 a, b, c 分别为角 A, B , C 的对边，且 bsin 2A = asin B.（1）求 A;nn求 cos(B + 6)+ sin(C + )的最大值.16.（本小题满分 14 分）在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，已知底面 ABCD 是菱形，且平面 A1ADD1丄平面 ABCD , DA1= DD1,点 E, F 分别为线段 A1D1, BC 的中点求证:(1) EF /平面 CC1D1D;(2) AC 丄平面 EBD.ACD，贝 U BDAC =7t侧作正三角形12.如图

5、，在 ABC 中，/11.已知锐角a满足 sin 2a第页第页417.(本小题满分 14 分)X2y21xOy 中，椭圆 C:孑+b= 1(ab0)的离心率为，右焦点到右准线的距离为(1) 求椭圆 C 的标准方程；(2) 过点 P(0，1)的直线 I 与椭圆 C 交于两点 A，B.己知在椭圆 C 上存在点 Q,使得四边形 OAQB 是平 行四边形，求 Q 的坐标.在平面直角坐标系3.第页518.（本小题满分 16 分）某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C 为圆心，半径为 1 千米的圆周已有两条互相垂直的道路 OE, OF，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A , B.现规划修建一条新路（由

6、线段 MP , PQ,线段QN 三段组成），其中点 M, N 分别在 OE, OF 上，且使得 MP , QN 所在直线分别与荒地的边界有且仅有 一个接触点 P, Q, PQ 所对的圆心角为6.记/ PCA = 2B道路宽度均忽略不计）若吐辛，求 QN 的长度;（2）求新路总长度的最小值.第页619.(本小题满分 16 分)已知各项均为正数的数列 an的前 n 项和为 Sn, ai= 2，且对任意 n N*, anSn+1 an+iSn= 2an+1 2an恒成立.设 bn= an+ 4n 3,已知 b2, bi, bj(2vivj)成等差数列，求正整数i, j .(1)求证：数列Sn+2是等

7、差数列，并求数列an的通项公式;第页720.(本小题满分 16 分)已知函数 f(x) = (m 1)x + In x , g(x) = (m -2)x2+ (n + 3)x- 2, m, n R.当 m= 0 时，求函数 f(x)的极值；当 n= 0 时，函数 F(x) = g(x) -f(x)在(0,+ )上为单调函数，求 m 的取值范围；当 n0 时，判断是否存在正数m,使得函数 f(x)与 g(x)有相同的零点，并说明理由. !第页82020届高三模拟考试试卷数学附加题（满分 40 分，考试时间 30 分钟）21.【选做题】 在 A , B, C 三小题中只能选做两题，每小题 前两题计

8、分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.A.（选修 42 :矩阵与变换）1a已知点 M（2 , 1）在矩阵 A =对应的变换作用下得到点b 2B.（选修 44:坐标系与参数方程）X=2COSa,在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（a为参数）.以原点 O 为极点，x 轴非y=sinan负半轴为极轴建立极坐标系，直线I 的极坐标方程为 psin（叶”二-,10.（1）求曲线 C 和直线 l 的普通方程；（2）点 P 是曲线 C 上的动点，求 P 到直线 I 的距离的最小值.C.（选修 45:不等式选讲）已知 a, b, c 是正数，求证：对任意 x R，不等式|x 2|

9、x+ 1|Wb+C+旦恒成立.a b c【必做题】 第 22, 23 题，每小题 10 分，共 20 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤.22.如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA 丄平面 ABCD , AB = 2, AD = AP = 3，点 M 是棱PD 的中点.（1）求二面角 MACD 的余弦值；10 分，共 20 分.若多做，则按作答的N（5, 6），求矩阵 A 的特征值.第页9点 N 是棱 PC 上的点，已知直线 MN 与平面 ABCD 所成角的正弦值为3222求爰的值.1*23.已知数列an中，ai= 6, an+i= 3a2 an+ 3

10、(n N ).分别比较下列每组中两数的大小：33a 和 6x2；a3和 6X3;a. 23当 n3 时，求证：(才2x(pn 3.第页102020届高三模拟考试试卷（苏锡常镇）数学参考答案及评分标准1. 12. 03. 30 4. - 15. 26. (0, 27. 18. 2 或 89. 2410. 011.212.413. (2 2, 4)14. t = e 或 t 5e215.解：(1)因为 bsin 2A = asin B，所以 2bsin Acos A = asin B,所以由正弦定理 一 = -，得 2bacos A= ab.(3 分)sin A sin Bab 1因为 abz0,

11、所以 cos A =T= z.2ab 2n因为三角形内角 A (0,n)，所以 A = .(6 分)3n2n2n(2)由(1)知 A = -3，又 A + B + C=n,得 C=n A B =可一 B, B (0 ,三),nn所以 cos(B+ )+ sin(C + )=2sin B + #cos B= sin(B + 才).(11 分)2nnn因为 0可，所以 y0I X2=咼习所以y1+ y2= 34p.（1 分）化简得 k2= 4 所以 k =g，符合题意,（13分）18.解：因为处所对的圆心角为亍，所以/nPCQ =石，n5n因为/ BCA = 2，所以/ BCQ = 2n兀n626

12、 = 7，所以四边形7tBCQN 中,2n从而 PM + NQ = tan0+tanCw30 =tan02ntan亍tan0 + =tan2n1+tan 3 tan0V3tan00+1.3tan0，即 PM+NQ=tan0+爭+tan0=tan 3tan0 11+-ta n0-巫，（9分）tan0其中n nxi30（石，?），tan0（所以2 3,第页13(14 分)2nn答：当/ PCA =飞时，新路总长度的最小值为（2.3+石）千米.（16 分）因为anSn+1 an+1Sn= 2an+1 2an，所以 anSn+1+ 2an= an+1Sn+ 2an+1.Sn+1+ 2 Sn+ 2 十,

13、、，Sn+1+ 2 Sn+ 2*因为 an0,两边除以 anan+1得=-，所以-=0, n N ,an+1anan+1an则 Sn+ 2= 2an, Sn+1+ 2= 2an+1,两式作差得 an+1= Sn+1 Sn= 2an+1 2an, 所以 an+1= 2an.因为 an0，所以 =2, n N*,an所以数列an是首项为 2,公比为 2 的等比数列，所以an= 2n.(7 分)解：bn= 2n+ 4n 3，由 b2, bi, bj成等差数列得 2bi= b2+ bj,即 2(21+ 4i 3) = 9 + 2j+ 4j 3，整理得 2i1+ 2i = 2 厂2+ j + 3(2i

14、i+ 2，则(2j2+ j + 3) (2i1+ 2i) 2i+ i + 5 2 厂1 2i = 2i1 i + 5.(12 分) 设 Cn= 2n1 n +5(n2), cn+1 cn= (2n n + 4) (2n1 n+ 5) = 2n1 10 ,则 Cn+1cn(n2)，所以 n2 时，数列cn单调递增，其中 C3= 60 ,所以 cn0 , 即 2 厂2+ j + 32i1+ 2i，所以(*)式不成立.(15 分)综上可得 i= 4, j = 5.(16 分)120.解：(1)当 m= 0 时，f(x) = x+ ln x，令 f (=) 1 +_= 0,得 x= 1,列表如下: X

15、x(0, 1)1(1 , )f (x)+0一f(x)极大值、所以，当 x= 1 时，函数 f(x)有极大值为 f(1) = 1,函数 f(x)无极小值.(3 分)(2)当 n= 0 时，F(x) = (m 2)x2+ (4 m)x ln x 2, x (0,+ ),12 (m 2) x2+( 4 m) x 1(2x 1) ( m 2) x + 1则 F (x= 2(m 2)x + (4 m) =xxx1 1当 m 20，即 m2 时，令 F (x)0 则 x2，所以 F(x)在(0,刁上单调递减，1在(2,)上单调递增，不符合题意；(5 分)1 1 1 1 1若 一0 则 x；，所以 F(x)

16、在(0,)上单调递减，2 m 22 m 22 m当且仅当 tan0扌=，0 (_6，tan0可ny）,即当且仅当nA时取等号.3(15 分)19.证明:S + 2a1=2.所以数列是首项为 2，公差为 0 的等差数列，所以= 2.(3 分)an第页14当 m1，令 F (x)0 则 1x0,构造 h(x) = x + In x + x (3 + n)(x0),1 2x2+ x -2(x+2)( x -1)则 h (x= 1 +-=2 =2.x x xx令 h (x=0,贝 y x= 1,当 0 x1 时，h (x)1 时，h (x)0 ,所以 h(x)在(0, 1)上单调递减，在(1,+s)上

17、单调递增，所以当 x= 1 时，h(x)取得极小值 h(1),2 因为 h(1)= *0, h(n + 3)= ln(n + 3)+0,n+ 3且 h(x)在1 , n+ 3上的图象是一条连续不间断的曲线，2 所以存在 x (1, n + 3)，使得 h(x0)= 0,即卩 X0+ In X0+ (3 + n) =0, x0两边同乘以 X。，有 x2+ X0ln X0+ 2 (3 + n)X0= 0 .(12 分) In X0”皿，、 InxnIn x 1取 m= 1 0,构造 k(x) = 1 , x0, k (x) =2.X0 xx令 k (x= 0 有 x = e,则有 k(x)在(0,

18、 e)上单调递增，在(e,+ )上单调递减,1所以当 x= e 时，k(x)取最小值 1 -0,eIn X0所以 m= 100，两边同时乘以X0化简得(m 1)X0+ In X0= 0，即 X0也是 f(x)的零点；两边同时乘以 X0可得(m 1)x2+ X0ln X0= 0.(14 分)用一可得(m 2)x6+(n+ 3)x0 2 = 0,所以 X0也为 g(x)的一个零点， 所以当 n0 时，存在正数 m,使得函数 f(x)与 g(x)有相同的零点.(16 分)X0, 有 mx0= X0 In X0,第页152020 届高三模拟考试试卷（十八）（苏锡常镇）数学附加题参考答案及评分标准入一

19、1 3=(1)(入一 2) 6,令 f(入=0,得 用一 3 入一 4 = 0,2 入一 2即（4）（甘 1）= 0，解得X1= 4,入2= 1 ,所以矩阵 A 的特征值为 4 或1.（10 分）x22B.解： 由题意，曲线 C 的普通方程为-+ y2= 1,直线 I 的普通方程为 x + y 2,：5 = 0.（4 分）设 P（2cosa,sina），贝 U P 到直线 I 的距离所以P到直线I的距离的最小值为亠 2（10 分）b+唇 33 bxa=3,a b c .a b c0, 0), B(2 , 0, 0), C(2, 3 , 0) , D(0 , 3 , 0) , P(0 , 0 ,

20、 3), M(0 , | , |) , AP = (0 , 0 , 3) , AC = (2 , 3 , 0),3 3AM = (0 , 2 , 2).21. A.解：因为点 M（2，1）在矩阵 A =对应的变换作用下得到点N(5 , 6),所以5，则2+ a= 5, 2b+ 2 = 6,a= 3,解得所以 A =b = 2,.(5 分)f(入)E-A| =|2cosa+sina 2 5|V5sin( a+ 0) 2 苗|2 5. 5sin (a+ 0),(8 分)所以当 Sin（汁0=1 时，dmin=10C.证明:对于正数 a, b, c,由均值不等式得当且仅当 a= b = c 时取等号

21、.（4 分）对任意 x R，由绝对值不等式得|x 2| |x + 1|W|x 2| |x + 1| 6X(|)3.(3 分)c n (n - 1)32证明：先用数学归纳法证明：当n3 时，an6X(刁.(4 分)31当 n= 3 时，a36X3;3k(k-1)2假设当 n= k(k 3, k N*)时，结论成立，即ak6X(；)4 5,k ( k- 1)41 3 3 13当 n = k + 1 时，ak+1=ak ak+ 3込X6X(?)22- 6X(刁2+ 3X6X(-)22-因为 PA 丄平面 ABCD，所以平面 ACD 的一个法向量为 AP = (0, 0, 3). (1 分)设平面 MAC 的法向量为 n = (x , y, z).所以n AC = 0, nAM = 0,2x + 3y = 0,即 33 取 n