2020届江苏省盐城市高三下学期第四次模拟数学试题(解析版)

1、第1页共 23 页2020 届江苏省盐城市高三下学期第四次模拟数学试题一、填空题1.若集合A xx m，B xx 1，且AI B m，则实数m的值为【答案】1【解析】直接根据交集运算的定义求解即可.【详解】解：A x x m,B x x 1，且AI B m, m 1,故答案为：1.【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题.i 为虚数单位，复数z 满足 z(3+ i)= 10,则z的值为【答案】【详解】10z3i故答案为: 【点睛】 本题考查复数的除法运算，还考查了求复数的模，属于基础题3从数字 0, 1, 2 中任取两个不同的数字构成一个两位数，则所得的两位数大于的概率为_.3【答案】-

2、4【解析】本题是一个等可能事件的概率，列出基本事件总数，求出满足条件的事件,根据古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：从数字 0, 1, 2 中任取两个不同的数字构成一个两位数，有10,12,21,2032 .已知【解由复数的除法运算与求模长的计算公式求解即可10共 4 个,帀.第2页共 23 页满足大于 10 的有 3 个，故概率 P -43故答案为：-4【点睛】本题考查等可能事件的概率，解题的关键是理解事件两位数大于10 确定此事件的计数方法，本题概率基本公式考查题，考查分析判断的能力，本题是一个基础题.4 如图所示， 一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录， 绘制了日销售量的频率 分

3、布直方图，图中小矩形从左向右所对应的区间依次为0 , 50), 50, 100), 100, 150),150, 200), 200 , 250.若一个月以 30 天计算，估计这家面包店一个月内这种面包的日 销售量少于 100 个的天数为 _天.【解析】根据频率分布直方图，求出对应的频率与频数即可.【详解】解：根据频率分布直方图，得：日销售量少于 100 个的频率为(0.003 0.005) 500.4 ,则估计这家面包店一个月内日销售量少于100 个的天数为：30 0.4 12 .故答案为：12.【点睛】频数本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率的应用问题，属于样本谷量基础题.5

4、.执行如图所示的流程图，输出k 的值为_ .开姑VJ4+-耳-1S-SiAk第3页共 23 页k* k+11【答案】4【解析】 模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S,k的值，当S 18时满足条件S 16，退出循环，输出k的值为 4.【详解】解：由题意，执行程序框图，可得k1,S0,S3,k2,不满足条件S 16,S9,k3,不满足条件S 16,S18,k4,满足条件S 16，退出循环，输出k的值为 4故答案为：4.【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的功能是解答此类问题的关键，属于基础题.2 26 .若双曲线Xy -y1 a 0, b 0的渐近线为y 2x,则其离

5、心率的值为a b【答案】、5【解析】利用渐近线斜率为-和双曲线a,b,c的关系可构造关于a,c的齐次方程，进而a求得结果 【详解】第4页共 23 页由渐近线方程可知：一2,即b24a2,b2c2a24a2,a2e2与5,e .5(负值舍掉)a故答案为：.5 【点睛】本题考查根据双曲线渐近线方程求解离心率的问题，关键是利用渐进线的斜率构造关于a,c的齐次方程7 .若三棱柱 ABC AiBiCi的体积为 12,点 P 为棱 AAi上一点，则四棱锥 P BCCiBi的体积为_.【答案】8【解析】利用等体积法和切割法即可求解【详解】答案：8【点睛】本题考查棱柱和棱锥的体积问题，属于基础题58. “ =

6、 2”是 函数f(x) sin( x -)的图象关于点(,0)对称”的_ 条件612(选填 充分不必要”、必要不充分”、充要” 既不充分也不必要”之一)【答案】充分不必要【解析】根据充分条件与必要条件的定义求解即可.【详解】解：当 =2 时，x25,sin( x)0,故此时 f(x)的图象关6 12 665于点(Y , 0)对称；12而当 f (x)的图象关于点5(,0)对称，则5k12k2,k Z；1212 6，55故“ =2”是函数f (x) sin( x )的图象关于点(，0)对称”的充分不必要条件;解析：Vp BCC1B1VABCC1B1VABCAIB1C1VAAIB1CVABCAIB

7、1C11VVABC AiBiCi311qO第5页共 23 页612第6页共 23 页故答案为：充分不必要.【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判断，考查三角函数的对称性，属于基础题.【答案】2【解析】由 C = B+, AB= 112AC,44然后化简即可求解【详解】解析：由 AB =AC,得si nC3-2si nBsin(B -) si nB,4444所以 tanB 的值为 2.答案：2【点睛】本题考查正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数关系式，属于简单题10 .若数列an的前 n 项和为Sn,an2(1)(2 n 1)，则2al00S100的值为【答案】299aioo，利用分组并

8、项求和法求出Sioo，由此可求出答案.【详解】解：an2n 1( 1)n(2 n 1),999 .在 ABC 中，C= B +, AB =4匕 2 AC ,则 tanB 的值为4得sin C3 .2 .- sin4sin(B -)43-2sin B,辽cosBZinB23sin B，化简得2cos B4sinB,【解析】根据题意，利用通项公式求出第7页共 23 页 2aioo2 (2199),Sioo1 2 4 L 21001(13) (5 7) L ( 197 199)21001 100第8页共 23 页 2a100S,002100398 (21001 100) 299, 故答案为：299【

9、点睛】本题主要考查数列的分组并项法的求和公式，考查计算能力，属于基础题.4x 0, Q =(x, y)| _ JT5，贝VPl y的曲线的长度为2【答案】3圆的弧长即可求解【详解】在RtVACD中，cos ACD1,2ACD 60211 若集合 P=(x, y) xQ 表示【解析】作出x2y24x.15的图象，得到 PIQ 表示的曲线,利用由x2y24x0得(x 2)215得yx1：x 15x 2昴,x2,xt-2f基一七7 Ao2 -4 -严丿；AB 部分,直线,15y x 20与圆心的距离d15 11，且 r = 2,作出两曲线图像如下:第9页共 23 页ACB 2 ACD 120,360

10、32故答案为：3【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，直线与圆的相交，二元一次不等式表示平面区域，属于中档题12 .若函数f(X)m ex,?(e2x1,?(0的图象上存在关于原点对称的相异两点，0则实数m的最大值疋【答案】e21【解析】 由题意题目可转化方程e2x 1 m ex有两个不等的正根，得2m e xx1 e,人Z、2令g(x) exx 1 e x 0，利用导数研究函数的单调性与最值，由此可得出答案.【详解】解：点x, y关于原点对称的点为x, y,题目可转化为函数2 .yex 1e x 1与y me图像在第一象限内有两个交点，即方程e2x 1 mex有两个不等的正根，得m e2x

11、1 ex,2令g(x) e x 1xe x 0，则g (x)2xe e,由g (x)0得ox 2，由g (x) 0得x 2,函数g(x)在0,2上单调递增，在2,上单调递减，2- g(x) g(2) e 1,m e21,故答案为：e21【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查转化与化归思想，属于中档题.13 .在厶 ABC 中，AB = 10, AC = 15, / A 的平分线与边 BC 的交点为 D，点 E 为边 BC曲线长度为：24120 2第 7 页共 23 页4 4t 7t2第 8 页共 23 页当XM0，令上tX27 4t 4tm(7m 4)t

12、2(4 m 4)t 4m 70UULT“UJU UUU AD= 90,则AB AE的值是UUU UULT解题关键是以AB, AC为基底,再进行运算.14 .若实数 x, y 满足4X2+4xy+ 7y2= 1,贝V7x2- 4xy + 4y2的最小值是 _ .【答案】382 2【解析】 将式子化为为7X24xy 4y2力丫4打，讨论X=0 或XM0，将分4X4xy 7 y子、分母同除x，利用判别式0即可求解.【详解】2 27x 4xy 4y,4X4xy 7 y当X=0，原式的值为4,7的中点,卄uuu右AB【答175【解uuu把AEuur ,ADuuu uur用AB, AC表示,uur代入已知

13、条件求得ABuuuAC，再计算uuu uuu亦AB AE即得.【详由角平分线定理可知ACCDLULTADuuu uurAB BDBDuuu因为UJUunrAB ADuuuuuuAC2UULT(AC5JULAB -所以uuu故答案为:ABuuu 2AB BC590，所以3UUU3AB)3 UJU23AB575，uu2uuuAB所以2 uur严uuuAB)2uJurAC3UJU-AB52UULT AC5uuuAB1022UJJTACuuuAB90，UUU UUU 1AE AB (AB2uuurAC)uuu21 -(AB2uuurACuuuAB)(10275)175175【点本题考查平面向量的数量积

14、，其他向2 2解析：7X4xy 4y第13页共 23 页(4m 4)24(7m 4)(4m 7)03故答案为：38【点睛】本题主要考查了判别式法求最值，属于中档题、解答题正周期是 2，且图象经过点N( , 1).34,COSB，再利用同角三角函数的基本关系求513出sin A、sin B,然后结合三角形的内角和性质以及两角和的余弦公式即可求解【详解】解：(1)因为f x的最小值是-2，所以 M = 2.因为fx的最小正周期是 2，即T2，所以=1,又由fx的图象经过点 (,1)，可得f1,sin13332所以一2k或2k,I Z,366又 0 0,0,0 b 0)的短轴长为abF2的动直线与椭

15、圆交于点P, Q,过点F2与求椭圆的标准方程;AB 过原点时,Fi, F2分别是椭圆 C 的左、右焦点，过点PFi= 3PF2.(1)(2)若点 H(3, 0)，记直线 PH , QH , AH,BH 的斜率依次为k1,k2,k3,k4若k2，求直线 PQ 的斜率;15k2)(k3k4)的最小值.【答案】27(1)Iy2 1(2)1或 8 4225【解析】(1)已知条件有b 1，直线 AB 过原点时，PQ x 轴,所以pF1F2为直角三角形，利用椭圆定义和勾股定理可求得a，得椭圆方程;(2)设直线 PQ:y k(x 1)，代入到椭圆方程得后化简，设P(xi,yi), Q(X2,y2),应用韦达

16、定理得XiX24k21 2k2,X/22k221 2k2,计算kik2并代入x-x2,x1x2可得;分类讨论，当这两条直线中有一条与坐标轴垂直时,(kik2)(k3k4)0,当两条直线与坐标轴都不垂直时，由知2k厂，同理可得第 i4 页共 23 页第21页共 23 页k2 X|X24( XiX2)62k224 k2k22426i 2k2i 2k22kX!X23(xiX2) 92k22 -4k2c8k272329i 2k2i 2k22kk3k42，计算(kik2)(k3k4)后应用基本不等式可得最小值.8 7k2【详解】2 2解：(1)因为椭圆 C:笃爲a b1(a b 0)的短轴长为 2,所以

17、 b = 1,当直线 AB 过原点时，PQ x 轴，所以 PF1F2为直角三角形,3i由定义知 PFi+ PF2= 2a,而 PFi= 3PF2,故PFi-a,PF2-a,222 2由PFiPF2292FiF2得aiia24c2-a24(a2i)，化简得 a2= 2,444故椭圆的方程为2X7y i.(2)设直线PQ: y k(xi),代入到椭圆方程得：0，设 P(xi,yi), Q(X2,y2),则xiX22 2 2 2(i 2k2)x24k2x (2 k22)4k2i 2k22k22i 2 k2所以kik2yix-i3y?x23k(Xii)(X23)(X2i)(x,3)(xi3)(X23)

18、所以K k22k8k272i5(kik2)(k3k4)0,2k由知kik2巧，同理可得k3k42k8 7k2故(kik2)(k3k4)4k24256k56 ii3k4i56( k丐)ii3k2第 i4 页共 23 页当两条直线与坐标轴都不垂直时,当这两条直线中有一条与坐标轴垂直时,第23页共 23 页【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交中定值与最值问题.求椭圆方程时由于已知直线的特殊位置，禾 U 用椭圆的定义是解题关键，在直线与椭圆相交问题中，采取设而不求思想方法，即设直线方程，设交点坐标卩(捲，yj, P(X2, y2)，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得X1X2,X1

19、X2，代入其他条件化简变形即可得.k 使得无穷数列an满足amnkaman恒成立，则称为P k数列.是P 1数列，a61,3123，求a3；列Cn有无穷多个，其通项公式为Cn十56 2 k212113k2225,当且仅当k24 即 k=k2时取等号综上，(kik2)(k3k4)的最小值为善22519 .如果存在常数(1 )若数列 an(2)若等差数列bn是P 2数列，求数列bn的通项公式;(3)是否存在k数列Cn，使得C2020,C2021,C2022，是等比数列？若存在，请求出所有满足条件的数列Cn；若不存在，请说明理由1【答案】(1)a3-； (2)bn0或bn-或bn-22；(3)存在；

20、满足条件的P k数第 i4 页共 23 页求bn；【解析】(1)根据P k数列的定义，得a6a2a3,a12a?a6，可求a3；(2)根据 Pk数列的定义，得bmn2bmbn，分b10和D 0两种情况讨论.当bi0,bn0.当b10时，由bn是等差数列，对m, n赋值，求出 0 和公差d，即(3)假设存在满足条件的P k数列Cn，设等比数C2020,C2021，C2022，的公比为q.则有C2020 2020kC2020C2020C2020 2021kC2020C2021可得 q= 1,故当n 2020时,Cn-.当1 n 2020时，不妨设ni2020,i N k且 i 为奇数,第25页共

21、23 页020 2021 2021可得qkC2020综上可得 q= 1,1故C2020 2020C2020，代入C2020 2020kC2020C2020得C2020k则当n 2020时，cn-,k又$020kClC2020,C1k，当1 n2020时，不妨设in2020,i N且 i 为奇数，由CniCn ni 1nCf1kCnCn ni 22 2kCnCni 2Lki 1Cn ,由CniCn ni 1kCnCni12 2kCnCn ni 2kCnCf2ki1i1G，可即满足条件的P k数列Cn有无穷多个，其通项公式为Cn【详(1)由数列an是P 1数列，得a6a?a31,3, 可得a33；

22、(2)由bn是P 2数列知bmn2bmbn恒成立，取 m= 1 得 0200恒成立,0，bn0时满足题意，此时bn0，2bf可得b 1，取 m = n = 2 得设公差为 d，则123d2d)解得 d 0 或者d综上，bn0或bn1或bn-，经检验均合题意22(3)假设存在满足条件的P k数列q，不妨设该等比数列C2020,C2021,C2022，的公比为 q ,贝U有c2020 2020kC?020C2020,2020 2020 2020 ,C2020q kC2020C2020,2020 2020 2020可得qkC2020C2020 2021kC2020C2021, C2020202020

23、21 2020,q kC?020C2020第26页共 23 页1 1i.i i1i1而Cnk，k k (Cn)，(cn)(_k)，cnk.1综上， 满足条件的Pk数列cn有无穷多个，其通项公式为G -.k【点睛】本题考查创新型题目，考查等差数列和等比数列的通项公式，考查学生的逻辑推理能力和计算能力，属于难题.3220 .设函数f (x) 3ln x x ax 2ax.(1)若 a= 0 时，求函数 f(x)的单调递增区间;f (x)在 x= 1 时取极大值，求实数 a 的取值范围;当 x (0, 1)时，f (x)v0;当 x (1,)时，f (x)0,所以函数 f(x)的单调增区间为(1 ,

24、).(2)由题意得f (X)3(x 1)x2(空1)x 1,x32a3(x1)令g(x) x2(1)x 1(x 0),贝y f (x)g(x),3x2a3当10 即a一时，g(x)0 恒成立，32故 f(x)在(0, 1)上递减，在(1, + )上递增，所以 x= 1 是函数 f(x)的极小值点，不满足;(2)若函数(3)设函数f (x)的零点个数为 m,试求m 的最大值.【答案】(1) 单调增区间为(1 ,) (2)【解析】(1) 求导得到函数的单调增区间(2)求导，讨论a-几种情况，分别2计算函数极值得到答案(3)考虑I 两种情况，求导得到单调区间，计算极值判断零点个数,得到答案.【详(1

25、)当 a= 0 时，f(x)3ln xx31x3，所以f (x)3，由f (x)0得 x= 1,x第27页共 23 页t2a293当(1)4 0即a时，此时g(x)0 恒成立，3f(x)在(0, 1)上递减，在(1 , + )上递增，所以 x= 1 是函数 f(x)的极小值点，不满足；a293当(1)24 0即a或a时，322f(x)在(0, 1)上递减，在(1 , + )上递增，所以 x= 1 是函数 f(x)的极小值点，不满足；2a293当(1)40时，解得a或a-(舍),3229当a时，设g(x)的两个零点为 捲,X2，所以捲X2= 1,不妨设 0v捲vX2,22a3又g(1)3 0，所

26、以 0v花v1vX2，故f (x) (x xj(x 1)(x X2),3x当 X (0,为)时，f (x)V0；当 X (X1, 1)时，f (X) 0；当 x (1,X2)时，f (x)v0;当 x (X2,)时，f (x)0； f(x)在(0,X1)上递减，在(X1, 1)上递增，在(1,X2)上递减，在(X2,)上递增；所以 x= 1 是函数 f(x)极大值点，满足9综上所述：a.29(3)由(2)知当a时，函数 f (X)在(0, 1)上单调递减，在(1,)上单调递增，2故函数 f (x)至多有两个零点，欲使f (x)有两个零点，需f(1) 1 a 0，得a 1,f 23ln2 8 4

27、a 4a 3ln2 8 0；f (ea) 3a e3aae2a2aea3a 2aeaa 0,ea0,1,故满足函数有 2 个零点.9当a时，由(2)知 f(x)在(0,X1)上递减，在(花,1)上递增，在(1,X2)上递减，在(X2,)上递增；3而 0vx1v1，所以f (xj3ln冶咅ax1(x12) 0,此时函数 f (x)也至多有两个零点第28页共 23 页综上所述，函数f(x)的零点个数 m 的最大值为 2.【点睛】第29页共 23 页本题考查了函数的单调区间，根据极值求参数，零点个数问题，意在考查学生的计算能 力和综合应用能力a 2ur 121已知矩阵 A =b 1，若矩阵 A 属于

28、特征值3的一个特征向量为i，求该矩阵属于另一个特征值的特征向量1【答案】1【解析】根据特征向量和特征值的定义列出矩阵方程求出【详解】由f ( )0，解得所以矩阵 A 的另一个特征值为-1,对应的一个特征向量为【点睛】 本题考查特征值与特征向量，掌握特征值与特征向量的概念、特征多项式是解题关键.22 .在极坐标系中，已知直线I : cos 2 sin m(m为实数)，曲线C：2cos4s in，当直线I被曲线C截得的弦长取得最大值时，求实数m的值.【答案】m 5【解析】 将直线I和圆C的极坐标方程均化为普通方程，由题意可知直线l过圆C的圆心，由此可求得实数m的值.【详解】由题意知直线I的直角坐标

29、方程为x 2y m 0,a,b，写出特征多项式，由特征多项式可求得另一个特征值,再得特征向量.解：由题意知A”a 2b 11，所以3，即3所以矩阵 A 的特征多项式f(1)22x1时，2x2y 0，令 x= 1 ,2y 0第30页共 23 页又曲线C的极坐标方程2cos4sin，即22 cos4 sin,22所以曲线C的直角坐标方程为x2y22x 4y 0,即x 1 y 25,第31页共 23 页所以曲线C是圆心为1,2的圆,当直线I被曲线C截得的弦长最大时，得1 22m 0，解得m 5.【点睛】考查极坐标方程与普通方程之间的转化，考查计算能力,属于基础题.【答案】2z的最小值.【详解】【点睛

30、】本题考查利用柯西不等式求最值，解答的关键就是对代数式进行配凑，考查计算能力,属于基础题.224.如图，抛物线C:y 2px p 0的焦点为F,过点P 2,0作直线l与抛物线交于A、B两点，当直线I与x轴垂直时AB长为4,2.(1)求抛物线的方程;本题考查直线23 .已知实数x、y、z 满足y 2z，求x2z2的最小值.【解利用柯西不等式得出1212222y 2z,由此可求得由柯西不等式有1212222z所以x2z21(当且1z3 时取等号)，所以x2z2的最小值是丄.6第32页共 23 页(2)若VAPF与BPO的面积相等，求直线I的方程.【答案】(1)寸4x； (2)2x y 4 0或2x

31、 y 4 0.【解析】(1)由题意可知点2,2, 2在抛物线C上，将该点坐标代入抛物线C的方程,求得P的值，进而可求得抛物线C的方程；(2)由题意得出yA2 yB，可得知直线AB的斜率不为零，可设直线AB的方程为x my 2，将该直线方程与抛物线方程连理，列出韦达定理，由题意得出yA2yB，代入韦达定理后可求得m的值，进而可求得直线AB的方程【详解】(1)当直线I与x轴垂直时AB的长为42，又P 2,0，取A22&，所以2.222p 2，解得P 2，所以抛物线的方程为y24x；当kAB0时，直线AB与抛物线不存在两个交点，所以kAB0，故设直线AB的方程为x my 2，代入抛物线方程得y24my 80，【点睛】达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题恒成立设Tka1a2L a-因SAPFSBPO，12OPyByB所以yAYB4m，YAYB80,YA2YB，可得YAYBYBYAYB2yB4m8，解得m所以，直线AB的方程为2xy 4 0