2020届黑龙江省哈尔滨第九中学高三上学期第二次考试数学(文)试题(解析版)

1、第1 1页共 1616 页2020 届黑龙江省哈尔滨第九中学高三上学期第二次考试数学（文）试题、单选题【答案】故选：C.C.【点睛】算能力，属于基础题 25D D .2【答案】算出z. .【详解】1 1.已知集合AA A.0,1B B.1,2x y logC C.1,2AIRB()D D.2,【解求出集合A、再利用补集和交集的定义可求出集合【详1,log2,1 2,则eRB1,2，因此,AIeRB1,2. .本题考查交集和补集的混合运算,同时也考查了对数型复合函数定义域的求解,考查计2 2 .设z3 4i1 i（i为虚数单位），则z【解利用复数的除法法则将复数z z 表示为一般4i3 4i 1

2、 i1-i，因此,225_2第2 2页共 1616 页故选：B.B.【点睛】故选：B.B.第 2 2 页共 1616 页本题考查复数模的计算，涉及复数的除法运算，考查计算能力，属于基础题义可得出复数1 i 3 i的虚部. .【详解】故选：C.C.【点睛】本题考查复数虚部的计算，涉及复数的乘法运算以及共轭复数定义的应用，考查计算能力，属于基础题 4 4.将函数f x、3sin 2x的图象向左平移个单位长度，再将横坐标变为原64来的2倍,得到函数g x的图象，贝yg x的解:析式为（: )A A .g x,3sin2xB B.g x、3 sin x 33C C .g x 3sin 4x D D.g

3、 x3 sin 4x 33【答案】B B【解析】 计算出每一步变换所得函数的解析式，进而可得出函数y g x的解析式. .【详解】将函数f x.3 sin 2x 的图象向左平移个单位长度，可得到函数64y 3sin 2 x3sin 2x的图象，4633 3 将复数 z z 的共轭复数记作Z，则复数1 i 3 i的虚部是（A A 4【答案】C CB B.4C C 2D D 2【解析】 利用复数的乘法法则将复数1 i 3 i表示为一般形式，结合共轭复数的定Q 1 i 3 i 4 2i，则1 i 3 i4 2i,该复数的虚部为2. .再将所2倍，得到函故选：B.B.第 2 2 页共 1616 页图象

4、，第5 5页共 1616 页【点睛】【点睛】本题考查平面向量的线性运算，涉及三角形重心的向量性质的应用，考查计算能力，属【点睛】本题考查三角函数值的计算，涉及辅助角公式的应用，求出角的值是解答的关键，考查 计算能力，属于基础题本题考查利用三角函数图象变换求函数解析式,考查推理能力与计算能力，属于基础题uuur5 5 已知G为ABC的重心，且AGuuu uuuxAB yBC，则x、y的值分别为(1122A A .B B.3333【答案】 D D【解析】利用三角形重心的向量性质得出入即可得出结果 AG 1AB 1AC，再将AC AB BC代33由于G为ABC的重心，则uuuv 1 uuv1 uuu

5、v 1 uuvAG AB -AC AB33321因此，x -,y -331uuvuuv2 uuv 1 uuivABBC AB -BC,333于基础题 6 6 .已知sin、3cos 2，则tanA A J JB B.三33【答案】A A【解析】利用辅助角公式结合已知条件求出【详解】Q sin “3 cos 2sin2,32k k Z,32则2k k Z，因此，tan故选：A.A.( )C C.、3D D.3的值，即可计算出tan的值. .sin1，可得33【详故选：D.D.第6 6页共 1616 页7 7设an为等差数列，ai22,S.为其前n项和，若绻 色3，则公差 d d ()()A A

6、-2-2【答案】A A【详解】本题选择 A A 选项. .【点睛】本题主要考查数列的前 n n 项和与通项公式的关系， 等差数列公差的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力_n 1*.an的前n项和Sna 21 n N,其中a是常数，则a【答案】A A的表达式可求得实数a的值. .【详解】故选：A.A.【点睛】属于中等题 B B -1-1【解析】 由题意结合等差数列的性质和前n n 项和的定义求解公差即可由题意可得：3a12a11a12a13S13Sio0,则3,20，等差数列的公差da12Q12 10 22211. .8 8.已知等比数列【解析】由anS1，n 1求出数列Sn &

7、1,n 2an的通项公式，再由a,满足an在n 2时由于等比数列an的前n项和Sna2n当n 1时,a,Si当n 2时,anSnSm a 2n1由题意可知,n 21满足ana 2 a即a 1-，解得a 2.本题考查利用前n项和公式判断等比数列,求出通项公式是解答的关键， 考查计算能力,第7 7页共 1616 页9 9.已知等比数列an中，有a3a114a?，数列g是等差数列，其前n项和为Sn,且bya7，则S13()第8 8页共 1616 页【答案】2【解析】设等比数列an的公比为 q q，利用等比性质可得a7合S3136，即可得到结果【详解】 设等比数列an的公比为 q q, /玄3印14a

8、7, a；4a?工 0 解得a?= 4 4,数列bn是等差数列，且b?a?.13 aiai3- Si3- 13b713a?522故选 B B.【点睛】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.1010 .在等差数列an中，a1a2a339,aaa627，则a.的前9项的和S9()A A.63B B.15C C.42D D.81【答案】D D【解析】利用等差中项的性质求出a5的值，即可求得S9的值 【详解】9 a1a?因此，S9- - 9a581 故选：D.D.【点睛】本题考查等差数列求和，灵活利用等差中项的性质，可简化计算，考查计算能力，属于基础题

9、1111.数列an满足，1011，an an1 2a角1，是数列a a.a an 1前 5 5 项和为()48510B B. 5252C C. 7878D D . 1041044a7，即b7a7，再结由等差中项的性质得a4a5OJ3a527，解得a59,第9 9页共 1616 页A A .B B.C.D D .33333939【答案】C C【解析】 利用递推公式求得a2,a3, a4,a5, a6的值 进而利用裂项相消求和法， 求得a2a2a3a3a4a4a5a5a6的值 【详解】11由递推公式anan 12ann 1，将a!，代入得aia?2aia?，解得a?3511将a?代入递推公式得a?

10、a32 a?a3，解得a3. .同理解得571 1 1a49,a5廿6石，所以aa?a?a38384a4a5玄5玄611 1 11 1111 135 5 77 9911111311 1 111 111111 11523 5577 991111132 31339【点睛】本小题主要考查递推公式求数列的前几项，考查裂项求和法求数列前几项的和. .属于中档题. .1212 .已知函数x|nx,x0f x，右xx 1,x0 x2且f x1f x?，则x1x2的最大值为（）A A .22B B.2C C近D D .1【答案】B B【解析】设点A的横坐标为 捲，过点A作y轴的垂线交函数y f x于另一点B，

11、设 点B的横坐标为x2，并过点B作直线 y y x x 1 1 的平行线I，设点A到直线I的距离为d，计算出直线I的倾斜角为一，可得出X1x?J2d，于是当直线I与曲线y xln x相4切时，d取最大值，从而 x?取到最大值【详解】如下图所示：13第1010页共 1616 页设点A的横坐标为 论,过点A作y轴的垂线交函数y f x于另一点B，设点B的横坐标为X2，并过点B作直线 y y x x 1 1 的平行线I，设点A到直线I的距离为d，X x2逅d，由图形可知，当直线I与曲线y xlnx相切时，d取最大值，当x 0时，f x xlnx,令f x Inx 11,得x 1，切点坐标为1,0，【

12、点睛】归与转化思想以及数形结合思想，属于难题、填空题【答案】1536 313【解析】利用平面向量数量积的坐标运算和向量投影的定义可得出结果【详解】设向量a与b的夹角为，则b在a方向上的投影为故答案为：1536 3% % X X2max42 42 2，故选：B.B.本题考查函数零点差的最值问题,解题的关键将考查化1313.已知向量a 5,12,b3,3乜，则b在a方向上的投影为此时，d1第1111页共 1616 页【点睛】 本题考查向量投影的计算，涉及平面向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于基础题 1414 甲、乙、丙三人中，只有一个会弹钢琴甲说：我会”乙说： 我不会”，丙说：甲不会”如果这

13、三句话，只有一句是真的，那么会弹琴的是 _. .【答案】乙【解析】 根据合情推理，即可判断出会弹琴的是乙.【详解】若甲说的是真的，则乙说的假话，表明乙也会弹钢琴，与题意矛盾；若乙说的是真的，则甲说的假话，表明甲不会弹钢琴，丙说的假话，表明甲会弹钢琴，矛盾；若丙说的是真的，则甲说的假话，表明甲不会弹钢琴，乙说的假话，表明乙会弹钢琴，符合题意.综上，会弹琴的是乙.故答案为：乙.【点睛】本题主要考查合情推理的应用，意在考查学生的逻辑推理能力，属于基础题.11515 若函数f(x) 2xa 2x为奇函数，则不等式8f() 63a 0的解集为x【答案】(,0)(1，)3163【解析】根据函数为奇函数知f

14、(0) 0求出 a a 1 1，原不等式转化为f(-)63=f(3),x 8又函数 f f (x)(x)在R上为增函数，即可求解. .【详解】因为 f(x)f(x)为奇函数，所以有f (0)1 a 0，得 a a 1 1 ,故f (x)2x2x,所以f (3)63. .81163不等式8 f ( )63a0可化为f ()xx81由函数 f(x)f(x)在R上为增函数，可得丄3,第1212页共 1616 页x第1313页共 1616 页1解得：x或x 0. .311所以不等式的解集为,0丄， ，故填,0-,-,. .33【点睛】本题主要考查了奇函数的性质，不等式的解法，转化思想，属于中档题161

15、6 若ABC的面积为一 3 3a2c2b2，且C为钝角，则-的取值范围是 _4a【答案】2,I解析】利用三角形的面积公式和余弦定理可求得tanB .3,进而得出B-，由C为钝角得出0 A ,再利用正弦定理边角互化思想得出-3，进而可6a22ta nAc求得上的取值范围 a【详解】由三角形的面积公式和余弦定理得丄acs inB上324化简得sin B . 3 cos B，则tan B所以,c因此，匕的取值范围是2,a故答案为：2,. .【点睛】2accosB,30Q C为钝角，贝UA2，解得A孑所以0tan Ac sin Csin Asin Aa sin Asin A3sin A13si nA

16、cos A22sin A22 2ta nA考查三角形中边长比值取值范围的计算,涉及三角形的面积公式、余弦定理以及正弦定第1414页共 1616 页理的应用，将问题转化为以角A为自变量的三角函数的值域问题求解是解答的关键，考查计算能力，属于中等题第1515页共 1616 页三、解答题x 73 cos21717 在直角坐标系xOy中，曲线 C C 的参数方程为_（ 为参数），直y J3si n线 I I 的方程为 y=kx.y=kx.以坐标原点为极点，x x 轴正半轴为极轴建立极坐标系；（1 1）求曲线 C C 的极坐标方程；（2 2） 曲线 C C 与直线 I I 交于 A A、B B 两点，若

17、OA OB =23，求 k k 的值. .【详解】56，的倾斜角为6或云，则k tan1f或于【点睛】【答案】(1 1)2 24 cos 1 0(2 2) 2_!2_!或33【解析】（1 1）先将曲线C的参数方程化为普通方程，再根据极坐标与直角坐标的互化公x式ycossin，即可求出曲线C的极坐标方程；（2 2）设出直线 I I 的极坐标方程0,n），与曲线C的极坐标方程联立,R,11(可得2cos1即可得到4cos1,1 210，根据的几何意义可知,OA OB2 3，即可求出1，于是可得 k k 的值.(1)Q、.3cos4x所以曲线C的极坐标方程为4 cos0. .（2 2）设直线l的极坐

18、标方程为1(R,0,n），其中1为直线l的倾斜角,代入曲线C得24 cos10,设A,B所对应的极径分别为Q OAcos24cos1,1 2OB1于，满足0,216cos140,2、3,第1616页共 1616 页本题主要考查曲线的参数方程化极坐标方程，以及极坐标方程和 意在考查学生的数学运算能力，属于基础题.1818.（ 1 1 ）已知函数f x 2 x a 2x b a 0,b0的最小值为2，求a与b的关系；（2 2）若a、b满足（1 1 ）中的条件，求16a4b的最小值 【答案】（1 1）2a b 2；（2 2）8. .【解析】（1 1）利用绝对值三角不等式可求得函数y f x的最小值，

19、由此可得出a与b的关系；（2 2）将所求代数式变形为16a4b42a4b，利用基本不等式可求得16a4b的最小 值 【详解】（1 1）由绝对值三角不等式得f x2 x a2x b2x2a2xb2a b，当且仅当2x2a2xb 0时取等号， 所以2ab2,又a0,b 0，所以2ab2；(2 2)由（1 1) 知2a b2,由基本不等式得16a4b42a4b2 42a4b2,42a b8，当且仅当2a b 1时取等号，所以16a4b的最小值为8. .【点睛】本题考查利用绝对值三角不等式求函数最值，同时也考查了利用基本不等式求和的最小值，考查计算能力，属于基础题 221919 .已知等差数列an的前

20、n项和为Sn,且满足a4x S3x 2 0的解集为,1（1 1）求数列an的通项公式；a（2 2） 若数列Cn满足Cna2n2n，求数列Cn的前n项和Tn. .【答案】（1 1）an2n 1； （2 2）Tn2n2n2（4n1）3S3922【解析】（1 1）由韦达定理可得 且，利用等差数列的通项公式和求和公式，a47a47列方程解得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2 2）结合（1 1）求得cn4n 1 22n 1的几何意义的应用,第1717页共 1616 页运用数列的分组求和，结合等比数列与等差数列的求和公式，即可得到所求和【详解】S3922所以且a47a473a13d9a3d7，a13d

21、 741,d2，an2n 1. .（2 2）由（1 1）可得Cna2n2an弼1 22n 1，【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、求和公式以及等比数列的求和公式，分组求和法求数列前n项和，属于中档题. .利用分组求和法”求数列前n项和常见类型有两种：一 是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减； 二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减. .22020 .已知函数f x cos 2x2cos x. .3(1) 求函数f x的单调增区间；(2)已知ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,f A

22、0, a a 1 1, 求b c的取值范围. .【答案】(1 1)k -,k k Z； (2 2)1,2. .63【解析】(1 1)利用三角恒等变换思想化简函数y f x的解析式为f x sin2x 1,然后解不等式2k 2x 2k -k Z，即可6 2 6 2（1）因为a4x2S3x 2o的解集为7,1Tnn 3 4n 121 4 14n22n- -2n n 42 143第1818页共 1616 页解得函数y f x的单调递增区间;（2 2）由f A 0结合角A的取值范围可得出角A的值，然后利用正弦定理将b c表 示为以角B为自变量的三角函数， 并利用三角恒等变换思想将解析式化简， 求出角B

23、的 取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得b c的取值范围 【详解】（1 1）f xcos2x 32cos2x1、3cos2xsin 2x221 cos2xJsin2x-cos2x1 sin2x 1，226由2k-2x 2k -k Z，解得kxk - k Z，26263因此，函数y f x的单调递增区间为k ,k k Z；63（2 2）由f xsin 2A10得sin 2A616Q Q 0 0 A A2A112A 解得A . .66 66231bc由正弦定理3sin Bsin C得2, 2sin B sin C2. f22143Bsin BsinBcosBV322b c.3-=sin Bsin

24、 -3、3sin BcosB2si nB舌.0B2 2r r5Q A由，可得0 B，则一B3，0A B3 366 6，1sin B -1，所以2sin B -1,2，所以bc的范围是1,2266【点睛】本题考查正弦型函数单调区间的求解，同时也考查了三角形中边长之和取值范围的求第1919页共 1616 页解，利用正弦定理将问题转化为三角函数的值域问题是解答的关键，考查化归与转化思(1)求数列an的通项公式;3(2(2)设bn2nan，求数列bn的前n项和 T Tn. .4【答案】(1 1)ann3*nN； (2 2)4Tnn 1 2n 12. .【解析】(1 1)令f x0可得出x k丄k4Z，

25、根据题意确定数列an的首项和公差，即可求得数列an的通项公式；(2(2)求出bnn 2n，然后利用错位相减法可求得 T Tn. .【详解】(1)f x 2019 sinx0 xk k Z44这就是函数y f x的全部零点1已知函数y f x的全部正数的零点构成等差数列an，则其首项等于一，公差等于41. .因此，数列bn的前n项和为Tnn 1 2n 12. .【点睛】本题考查数列通项公式的求解，同时也考查了错位相减法求和，涉及三角函数零点的求第 1414 页共 1616 页想的应用，属于中等题2121 .已知函数x 2019sinx x R的所有正数的零点构成递增数列414(2 2)bn2nan3n 9nn 2，4则Tn1 212 223 23n 12n2Tn1 222 233 24n 12n：T1n212223L2nn 2所以,Tnn 12n 12，3n 11 n nN4n 2n，n 2n 1，n 2n 11 n 2n12，1 2因此，数列an的通项公式就是：an第2121页共 1616 页解，考查计算能力，属于中等题 b2222.已知函数f x x alnx在x 1处取得极值x（1 1）若a 1，求函数f x的单调区间；2 2（2 2）若a 3，函数g x a x 3，若存在mi、m2f m1g m29成立，求a的取值范围. .【答案】（1 1）见解析；（2 2）3