2020届黑龙江省大庆市高三第一次教学质量检测数学(理)试题(解析版)

1、第1 1页共 2525 页2020 届黑龙江省大庆市高三第一次教学质量检测数学(理)试题一、单选题1 1 .设集合A二lx x?岂x?,B亠x|0：x 1，则A B二()A A.0,11C C.：,11D.：,o U 0,1【答案】A A【解析】求出集合A后可求AB.【详解】A二0,11,故AB= 0,1,故选 A.A.【点睛】 本题考查集合的运算交，属于基础题2 2 .已知(1+D=1 - i( (i为虚数单位Z) )，则复数Z的共轭复数等于()C C.-1 i【答案】A A【解析】由复数的运算法则，化简复数，再根据共轭复数的概念，即可求解,得到答案.【详解】所以复数Z的共轭复数等于Z =

2、-1 -i，故选A.【点睛】本题主要考查了复数的运算法则，以及共轭复数的概念的应用，其中解答中熟记复数的运算法则，准确求解复数 Z Z 是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.斗44443 3.已知a =(2,1)b=(x,2 )，且a/b，则a+b =()C C. 5B B.1 -iB B.0,1.2由题意，复数满足(1+ i)=1 - i，即Z=(1+ i)22i2i?(1 i)=-1+i,1- i 1- i(1- i)(1+ i)B B. 3 3D D . 、10量求解的问题第 2 2 页共 2525 页【答案】C C【解析】 利用向量共线的坐标形式可求X，求出a.b的坐标后

3、可求【详解】因为a/b，故2 2 = -1 x，所以x = -4,故选 C.C.【点睛】如果a= Xi,yi,b = X2,y2，那么：(1 1 )若a/b，则x$2XiX2y1y2=0.4 4张丘建算经是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”其中 日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为 ( )8442A A.B B.C C.D D.29152915【答案】C C【解析】 将问题转化为等差数列问题，通过Sn=90,an=1,印=5，构造方程组解出公差，从而得到结果 【详解

4、】设每天所织布的尺数为a.,则数列la.为等差数列设公差为d(2(2)若 a a _ _ b b，则第3 3页共 2525 页25 5 设抛物线y =2px的焦点在直线2x3y-8=：0上，则该抛物线的准线方程为（ ）A A X = -1B B.x = 2C Cx = 3D D x = -4【答案】D D【解析】由抛物线焦点F在2x 3y -0上，求得p= 8，进而得到抛物线的准线方 程，得到答案 【详解】由题意，抛物线y2=2px的焦点FiP,0，又由焦点F在2x3y8 =0上，12丿解得p = 8，所以抛物线的准线方程为x =-卫=-4，故选 D.D.2【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方

5、程及其简单的几何性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题 6 6若直线 y y= =x x l l 和曲线y=alnx，2相切，则实数a的值为（）13A A 2B B 1 1C C 2 2D D 2【答案】B B【解析】设切点为x,alnx02,求出函数在x = x0处的导数后可得切线的斜率，从而可用a表示切点的横坐标，最后根据切点在切线上得到关于a的方程，解该方程后可得实数a的值. .【详解】由题意可6 =5,an=1,Sn=905 n -1 d =1则n n -1，解得:5nd =90I 2n =304294即每天比前一天少织尺的布29本题正确选项：C【点本题考查等差数列通项公式、

6、求和公式的应用，关键是能够将问题转化为等差数列基本量求解的问题第 2 2 页共 2525 页aa设切点为x）,alnx，2，因为y，故切线的斜率k1,xx所以x0二a，所以aln a 2二a 1，因为a 0,故 a a ,故选 B.B.【点睛】解决曲线的切线问题，核心是切点的横坐标，因为函数在横坐标处的导数就是切线的斜率，本题为基础题.7 7 某公司安排甲、乙、丙 3 3 人到A,B两个城市出差，每人只去 1 1 个城市，且每个城市 必须有人去，则A城市恰好只有甲去的概率为（）第5 5页共 2525 页【答案】D Df竺）18丿.【详解】B B.【答案】B B【解析】求出基本事件的总数和随机事

7、件中含有的基本事件的个数,利用公式可求概率【详2 2设事件C为“A城市恰好只有甲去”则基本事件的总数为CaA2= 6，事件C中含有的基本事件的总数为1 1，所以P C二 6故选 B.B.【点古典概型的概率的计算，关键是基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数的计算,计算时应利用排列组合的方法来考虑，此类问题为基础题 . .8 8.已知函数f xi；= AsinA -Oj为偶函数，将f x图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 2 倍（纵坐标不变），所得的图象对应的函数为g X,若g X最小正周期为2兀，且g = y2，则f -|=(14丿J 8丿A A . -2-2B B. 2 2C C. -.2

8、D D. x 2【解析】先利用偶函数的定义可求：=0，再根据图象变换可求g X的解析式，根据g X最小正周期为2二，且g2可求代的值，得到14丿f x的解析式后可求第6 6页共 2525 页因为f x二As in x:为偶函数，故f -X二As in,所以Asi n ”x = As in -，x,故si n，x = si n -x,整理得到sin xcos亠cos xsin二sin xcos-cos xsin ,所以cos xsin：护二0对任意的X R恒成立，所以sin：护=0即叨二k二，k Z. .因为0，故浮=0. .第7 7页共 2525 页-4xf X=Asin x,故g x二Asi

9、n于【点睛】本题考查三角函数的性质和图像变换，考虑f x二Asin的奇偶性时，注意利用奇偶性的定义结合两角和差的正弦来考虑，考虑图像的周期变换时，注意周期变大了还是变小了，从而确定是除以某个数还是乘以某个数（此处为易错点）9 9.设m,n是两条不同直线， a a，卩是两个不同平面，则下列命题错误的是（）（）【答案】D D【解析】利用线面垂直的性质定理及相关的推论考查所给的选项是否正确即可【详解】逐一考查所给的选项：l/m，则 I I ： ，然后利用面面垂直的判定定理可得-.1-.1 ，选项 C C 正确;所以因为(Jig x最小正周期为2二，且g214丿所以f x j =2sin 2x，所以f

10、 i 3-=2sin故选 D.D.=2二iCCJl、2二Asin -82，解得A=2A A.若m _： ,n/：,贝U m _ nC C .若m _： ,m / /：，则驀丄：B B.若n _： ,n /m,贝U m -:D D.若： _ ： ,m/，则m，：由线面垂直的性质定理推论可知:若m _：,由线面垂直的性质定理推论可知:若n，由线面垂直的性质定理推论可知:若m _：,n / /二，则m _ n，选项 A A 正确;n/m,则m_：，选项 B B 正确;m/厂，则平面一：内存在直线l，满足第8 8页共 2525 页第9 9页共 2525 页在如图所示的正方体ABCD -A1B1C1D1

11、中，取平面:-/分别为平面ABCDADD!, 直线m为棱BiCi,满足二】,m/，但是不满足 m m _ _二 选项 D D 错误； 故选：D.D.【点睛】本题主要考查线面垂直的性质定理及其推论，线面关系命题的判定，属于中等题1010 .已知直三棱柱ABC -AiBiCi的所有棱长都相等，M为AG的中点，则异面直线AM与BC所成角的余弦值为（）10【答案】A A【解析】如图，取AiBi的中点，连接MN,AN，可以证明.AMN是异面直线AM与BC所成角，利用余弦定理可求其余弦值如图，取A1B1的中点N，连接MN , AN, 在叭BG中，因为M , N为中点，所以MNLB1C1,由直三棱柱ABC

12、- AG可得BC B1C1，故 MNMN LBCLBC ,所以.AMN或其补角是异面直线AM与BC所成角 因为三棱柱ABC - AB。是直棱柱，所以AA1 1_ _平面AB。, 因为AQ-平面A1BQ1，故AA A6，故AAM为直角三角形，同理AA1N为直角三角形设AB =2a，则AN =a,在Rt AAN中，有AN =：；a24a2=、5a，同理 AMAM = = 5a5a，又MN =a, ,B B.C.丄第1010页共 2525 页,5a2+ a2-5a245故cos/AMN2汉、/5a x a10故选 A.A.【点睛】求异面直线所成的角，一般需要平移空间直线后将空间角转化为平面角来处理，

13、后者可以利用平面几何的相关知识方法或利用解三角形的方法求平面角的大小或角的余弦值 1111设函数 f(x)f(x)是定义在实数集上的奇函数，在区间-1,0)上是增函数，且f (x 2) = - f (x)，则有()13A A f(-b：f(-h：f(1)3213C C f(1)f32【答案】A Af 1 )f 1 )【解析】由题意可得ff -，f(1)=-f(-1),13丿V 3丿f3二f -1 2二-f-丄，再利用函数在区间-1,0)上是增函数可得答案2 . 2 . 2【详解】 解 f(x)f(x)为奇函数，.f(-X)二-f(x),又f (x 2) - _f(x)f(1) f故选 A.A.

14、【点睛】本题考查利用函数的单调性、奇偶性比较函数值的大小， 考查利用知识解决问题的能力31B B.f(1)(W)2331D D f (1)：f(；)3=T“11)，f| =f 1 1又*-1,-10，且函数在区间23-1,0)上是增函数,“(一1川心0,I 2丿I 3丿，第1111页共 2525 页2 21212已知双曲线 笃一爲=1 a . 0,b 0的左、右焦点分别为，若双曲线的左a b支上存在一点P，使得PF2与双曲线的一条渐近线垂直于点H，且PF2= 4 F2H,则此双曲线的离心率为（A A.乙634B.3【答案】D D【解析】利用PF2与双曲线的一条渐近线垂直于点H可求出H的坐标，再

15、利用PF2=4F2H求出P的坐标（用a,b,c表示），将P的坐标代入双曲线的方程后可求离心率. .则直线F?H : y =a acxb b，aybx由bby xL aacb得a2x= cbab y二L c，故Ha2ab因为PF2=4 F2H，XP所以yp虫-3cc_ 4abca2ab故PF2=4F2H，从而(c Xp, yp )=-4 -c,，将P的坐标代入双曲线的方程可以得到:0 0 时，直线过可行域且在 y y 轴上截距最 大时，z z值最大，在 y y 轴截距最小时，z z 值最小；当 b bv0 0 时，直线过可行域且在 y y 轴上 截距最大时，z z 值最小，在 y y 轴上截距最

16、小时，z z 值最大. .【答案】12【解析】先求出f 1， 再根据f(1)0、f(1)0分类讨论并求出相应的f(f(1),根据f f 1=2可求实数m的值. .【详解】f 1 =m 1,1若m -1，则f f1M：2m 1,令2m 1 = 2，故m = -；222若m _-1，则f f 1二m 1 1 -2m m1j亠m=1，故f f1=2无解,1综上，m2故答案为：m= =1 1. .2【点睛】分段函数的处理方法有两种：(1 1)分段处理，因为在不同的范围上有不同的解析式，故可考虑在不同范围上对应的方程、不等式等；(2 2)数形结合，即画出分段的函数的图像,从而考虑与分段函数相关的不等式问

17、题、方程的解等问题5【答案】91414.若函数X22mx +m2, x兰0心x + m,x0且f f 1门=2，则m的值为1515. 若、3 cos t sin 2X2-y2=1 a - b - 0的右焦点为F,且短轴长为2 _ 3，离心率为(2(2)设点B为椭圆E与y轴正半轴的交点, 是否存在直线I，使得I交椭圆E于M ,N(1(1)求椭圆E的标准方程;两点，且F恰是.BMN的垂心？若存在，求I的方程；若不存在，说明理由【答案】2 2C1）-1；（2 2）存在，y X43321、313【解析】(1)根据短轴长和离心率可求a,b,c，从而得到椭圆的标准方程;(2)假设存在直线I，则其斜率为k

18、= 3，设I的方程为y = 3x m，33M Xi,yi,N X2,y2，由F为垂心可得1-宁m(咅+x2)-4咅乂2-m2+ J3m = 0,联立直线方程和椭圆方程，消去y后利用韦达定理可得关于m的方程，解该方程后可得所求的直线方程【详解】(1(1)设椭圆2C的方程为务a2y_b2=1 a 0,b0，则由题意知2b=23，所以1，解得a222 2二4，所以椭圆C的方程为X y1. .43(2(2)由(1 1)2 2知，E的方程为壬43所以B0, . 1，0,所以直线BF的斜率kBF3， 假设存在直线I，使得F是BMN的垂心，则第2828页共 2525 页3第2929页共 2525 页设I的斜

19、率为k，则kBFLk - -1，所以k =一33设I的方程为y=_lx m, ,M冷,N X2, y2. .3,3y x m由232，得13x28 3mx 12 m 3 =0，x2y2,1.43由厶=8、3m彳-4 13 12 m2-30,得一罟:：:m：罟，_,2/3m12(m -3)x1x?, X1X2二1313因为MF _ BN，所以MFLBN =0，因为MF二1 -xn-yi,BN所以1 - XiX2- yiy2 3 = 0,4m (% +x2)一為乂23整理得21m2-5、3m-48 =0,解得 m m = = 3 3 或 m m = = - -16 3，21隊+m停2+m+ 43

20、X + mI3人3丿I3丿即1 - Xi.1X2-0,逅m週口-人13丿3所以1 -I 312132.m- m2-3m =0，m m 二 3 3 时，直线MN过点 B B，不能构成三角形，舍去;当m空时，满足-仝913V39:m： 一X2, y2 -3，Bx-3第3030页共 2525 页第3131页共 2525 页所以存在直线I，使得F是.BMN的垂心，I的方程为y=二3x_1633【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等的一元二次方程，再把题设中的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系 式，该关系中含有XiX2,Xi- X2或门2,小y，最后利用韦

21、达定理把关系式转化为若干变量的方程，从而可得欲求的几何量的值2121 .已知函数fax b,g x;=ax2bx. .x 2（1 1）当a=2,b = -3时，求函数f x在X二e处的切线方程;mt = In t -2, ；,t三1：0,1可证该不等式成立 【详解】则f e = -1，切点为! e：21. .直线与圆锥曲线的位置关系中的几何量的计算问题,般可通过联立方程组并消元得到关于x或y（2 2）若函数y二f x的两个零点分别为 X X1,X,X2，且X1- X2，求证：gX1X2112【答案】 （1 1）【解析】 （1 1）1Xy 3=0；（2 2）证明见解析. .e求出函数在x=e处的

22、导数，求出切点坐标后可得切线的方程+X?加殂(2)利用f X!= f X2= 0可得X2-a2 X1- X2X2(% +x2)ln生此只需证明_X212 x -X2X2互+1 In*X2XLx2丄一1即可，令t二-1X2，构建新函数(1)当a =2,b二-3时,f x匹-x 3 x 0,x1. .第3232页共 2525 页1故函数f X在x=e处的切线方程为X y 3 = 0. .e(2(2)证明：/ x xi,x,x2是f x的两个零点，不妨设In为；ax2-bx；=0,In x2-；ax：bx2=0,22相减得：In Xi- In X2 -a 1 x；-x；- biX - x? 0(%

23、+x2ln 整理得到x2i2aX；x27b为x2= 0X；t 卩nt2(t 1 i令t-，即证0：t：1,1也就是Intx22(t1)t+i22ft -n14(t t )令m t =1 nt,t三i0,1,m t220,t+1丿t(t+1) t(t+1)在0，；上是增函数，又m 1 i；= o, tD0,1,m t：0,命题得证. .【点睛】X Xi： ：X2,fX；i；=fX2 =o，即In x；XiIn x2X2.X；In -X2X；-x2In -故X2-la % X240，X；X2X；-x2X；X；X2In 则x2-a2 x -X2X2X；X2In互X2gg2X；- X2X2X1 X21

24、12XiX2X22人-X2XiX2t 1 IntXiX2即g2第3333页共 2525 页解决曲线的切线问题，核心是切点的横坐标，因为函数在横坐标处的导数就是切线的斜率 与函数零点有关的不等式的证明，可利用零点满足的等式将要求证的不等式进行转化，再构造新函数，利用导数讨论新函数的性质可证明新转化的不等式是成立的. .2222在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x -、3)2* (y -1)2二r2(r 0)，以坐第3434页共 2525 页标原点0为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线I的极坐标方程为Esin1，若直线I与曲线C相切。I 3丿（I）求实数r的值；（n）在圆C上取两点M,N，使得/ MON，点M,N与直角坐标原点O构6成.OMN，求.OMN面积的最大值.【答案】（I ）2 2； （H）2.3【解析】（I）将极坐标方程化为普通方程，利用圆心到直线的距离等于半径得到答案（n）将圆方程化为极坐标方程，Mi片户,N i“2门；I 6丿【详解】由 5 r=1得注-3込一2，化为直角坐标方程为y = 3x 2,又圆C是圆心为.3,1，半径为r的圆，直线I与曲线C相切， 可得：r J-122.2（n（n）由（I）圆 C C 的极