2020届湖南省衡阳市高三下学期第二次模拟数学(理)试题(解析版)

1、第1 1页共 2121 页2020 届湖南省衡阳市高三下学期第二次模拟数学(理)试题、单选题)B B.iC C.2 iD D.2 i【解析】利用复数的除法运算，直接求解即可 【详解】2i彳2i(1 i) , 2(i 1)11-1i,1 i (1+i)(1 i)2故选：A A【点睛】本题考查了复数的运算，考查了复数的除法，属于基础题. .2 2 .已知集合A x2N |ln x 1,则A()A A .X |1x e eB B.1C C.2D D.1,2【答案】 D D【解析】 通过解不等式ln2x 1，可得：1 1lnln x x11 1，所以ex e,再结合x N,即可得解【详解】由ln2x1

2、，可得：11 1 lnln x x 1 1，所以一exe,又因为：x N，所以A 1,2,故选：D D【点睛】本题考查了求集合元素，考查了对数不等式的计算，需注意描述对象的取值范围，属于 基础题. .3 3 .记Sn为等比数列an的前n项和，a68a3,SekS3，则实数k的值为()A A . 9 9B B. 8 8C C. 7 7D D . 6 6第2 2页共 2121 页1+q3k，即得：k 9,故选：A A【点睛】4 4 现从编号为 1 1 , 2 2,，9696 的观众中，采用系统抽样的方法抽取八位幸运观众，其中有两个编号为 2121 与 9393，则所抽取的 8 8 个编号的中位数为

3、（【答案】取中间数即可 【详解】9696 名观众用系统抽样的方法抽取8 8 人,96则分段间隔为=12=12,由其中有两个编号为 2121 与 9393,8可知：第一组选取的编号为9 9,所以中位数为警=51,故选：C C【点睛】 本题考查了抽样方法之系统抽样，考查了概念的理解和辨析，属于基础题xx则第 4 4 个和第5 5 个编号分别为 4545 和 5757,【答案】A A【解3由an为等比数列，可设首项和公比为a1和q，由a68a3可得：q 8,又由Sa1（1 q6）_ 印（1 q3）kS3可得：-k-，代入即可得解 1 q1 q【详由an为等比数列，可设首项和公比为a1和q,3由a68

4、a3可得：q 8,a1（1 q6）又由SskS3可得：1 qka1（1 q），整理化简可得:1 q本题考查了等考查了等比数列通项公式和求和公式，属于简单题. .A A 4545B B. 4848C C 5151D D . 5757【解9696 名观众用系统抽样的方法抽取8 8 人，则分段间隔为1212,由其中有两个编号为 2121 与9393,可知：第一组选取的编号为9 9，则第4 4 个和第3 3页共 2121 页5 5 若函数f x ax e e在R上单调递减，则实数a的取值范围为（）B B.a 1【答案】A A【解析】由f x ax e%ex在R上单调递减，可得：导函数f (x) a e

5、xex0在 R R 上恒成立，参变分离后，求最值即可的解 【详解】XX由f x ax e e在R上单调递减，可得：导函数f (x) a exex0在 R R 上恒成立，因为ex0，参变分离可得：a (ex+ex)min,x xx xQ e +e 2 e e 2a 2故选：A A【点睛】本题考查了利用函数单调性求参数范围，考查了恒成立思想和基本不等式的应用，属于中档题 6 6空间点A x,y,z，O 0,0,0，B Ji J3,2，若I AO 1，则 |AB的最小值为( )A A . 1 1B B. 2 2C C. 3 3D D. 4 4【答案】B B【解析】 在空间中由AO 1可得：点 A A

6、 在以o为球心，半径为 1 1 的球面上，B QJ3,2在求外， 所以 B B 到球心的距离减去半径即为AB的最小值. .【详解】在空间中由AO 1可得：点 A A 在以O为球心，半径为 1 1 的球面上，B血賦2在球外，B B 到球心的距离BO V2 3 4=3,ABmin312,【点睛】第 3 3 页共 2121 页故选 B.B.第5 5页共 2121 页本题考查了球外一点到球面上最短距离问题，类比于圆外一点到圆上的最短距离问题,考查了转化思想和空间想象能力，属于中档题【详解】3因为1，所以根据奇函数性质可得:838ln85f In8叫）e3135所以2,3故选 C C【点睛】 本题考查了

7、奇偶性及对数的运算，考查了高斯函数，考查了转化思想和计算能力，属于中档题 【答案】即可得解【详解】7 7 .将不超过实数X的最大整数记为X，函数X为R上的奇函数，当X 0时,f XeX1，则f ln-8()A A . 2 2B B. 1 1C C. -2-2【答案】C C338吨【解析】因为31,所以fInf(ln；)e31883D D. -1-15，再取整即可得解38 8.设a1 b 0，则下列1A A . 2a12b20201B B.a2021C C.1 1b alogab砸订D.a b【解利用指以及和中间量的比较，进行大小的比较,第6 6页共 2121 页2X为增函数，2b12a，A A

8、 错;1a 1 b 0，所以01a202020211，故 B B 错;a 1 b 0，所以logab、logba且logablogba1，故 C C 不确第7 7页共 2121 页定；对 D D，由a 1 b 0，可得：ab1 ba，故 D D 对；故选：D【点睛】本题考查了指数和对数的比较大小，考查了不等式性质和转化思想，属于中档题 2 29 9 .已知P为椭圆C:-X2 -y21 a b 0上一点，Fi,F2是C的两个焦点，椭圆a b3C的离心率为-，且厶PF1F2的周长为 1616,若厶PF1F2为等腰三角形，则PFi的取值5不可能为( )A A . 4 4B B. 5 5C C. 6

9、6D D . 8 8【答案】D D3c3【解析】由椭圆C的离心率为三，可得，由PF1F2的周长为 1616 可得：5a 52a 2c 16，联立即得a,c的值，a 5,c 3，分类讨论PRPF2,F1F2PF1,F1F2PF2即可得解. .【详解】3c3由椭圆C的离心率为上，即上-,5a 5由厶PF1F2的周长为 1616,即2a 2c 16,可得：a 5,c3若PF1PF2，PF15，若F1F2PF1，PF16，若F1F2PF2，PF14，只有8不可能,故选：D D【点睛】 本题考查了椭圆的离心率和椭圆定义，考查了分类讨论思想，属于中档题 1010 .算术运算符MOD表示取余数，如a MOD

10、 b c，表示a除以b余数为c，图是关于取余的一个程序框图，若输入x的值为 3 3，则输出x()第8 8页共 2121 页7 7,34的尾数为 1 1,35的尾数为 3 3，以此类推便知，其尾数以 4 4 为周期的规律循环呈现,310与32的尾数一致，为 9 9.法三：结构须意识，勿忘二项式.31095(10 1)5C5 105L C；10 ( 1)5，知103 MOD10 9.【点睛】本题考查了程序框图循环结构，考查了数字取余，考查了计算能力和转化思想，属于较 难题. .44，现将函数f x cos x sin x的图象向右平移A A . 9 9C C . 3 3【答案】A A【解析】 通过

11、循环结构，可得输出结果为：为找规律，方法三为利用二项展开式 【详解】23x 32，k 2 x 33，k 3L xB B. 7 7D D. 1 1310MOD10，方法一为数字分解，方法9ioio39,k 9 x 310，求3 MOD10.法一：数字易分解，取余自分晓.10 10381 81 9，显然3 MOD10 9.法二：转化之中看尾数，逐次递推规律现.3 3 的尾数为 3 3,32的尾数为 9 9,33的尾数为1111.已知-2JJ) J4 24单位后得到函数g x的图象，若两函数g x与ytan x0图象的对称中心完r=3iHi*MOD第9 9页共 2121 页y tan x 0为奇函数

12、，若要两函数g x与y tan x 0图象的对称中心 完全相同，则g x为奇函数，又因为f x cos2x的周期为 ，故y tan x 0周期为，从这两方面即可得解 【详解】依题化简得：f x cos2x，根据正余弦曲线与正切曲线的图象性质，欲使得两函数图象对称中心一致，f xcos2 x须为奇函数，且y tan x只能为y tanx,有如图的两类情况.4 4【点睛】本题考查了三角函数的化简和平移，考查了考查了正、余弦函数及正切函数的中心对称，A A . 1 1B B. 2 2C C . 3 3D D. 4 4【答案】B B【解析】首先化简f44x cos x sin x，可得：f x cos

13、2x，因为全相同，则满足题意的的个数为（)第1010页共 2121 页考查三角函数的图像与性质，属于较难题 1212.已知VABC的周长为 9 9,若cos-旦2sin C,则VABC的内切圆半径的最大2 2值为（）第1111页共 2121 页B B. 1 1D D .二2【答案】【解析】首先化简A Bcos 2A_tan tan二22tanC22sin C2，A Bcos2.A Bsin2可得:A B tan tan2 2 + A * Btan tan 2 23tanA tanB2 2，再结合图形即可得解 【详解】法一：角靠拢, 形助兴ABcos cos22.A .sin sin 2 2A

14、Bcos 2sin C22cos A -2tanAtanB2 2Acos cos 2tanC2.A . Bsin sin2，整理得:2A Bcos 2.A B sin2+ A* B tantan2 2 + A * Btan tan 2 21_3+ A * Btan tan2 212可得r如图有:由tan tan 2Acos-_2.A B sin2tanC2r代入zxy3，,+ A* B I tantan2 2 + A * B tantan 2整理可得:13+ Atan2tan卫2第1212页共 2121 页A Btan tan 2法二:A_tan tan二22xy3rmax9 2(x yz)r

15、tan2rta n2rtan-22r -1+ Atan_2_tanB2222AB11得：tan tan 2.-22r-3法三：丄A丄B1AB(tantan -,4,x 0时，证明:（2 2）通过放缩，等价证明ln(x 1) 2且ln X。1 a，极小值fX。X。In x1 aX0（确切点x 1X 1极小值为一个负数），命题得证.(2 2)依题：f 0 a g 01,Tm4,3sin xmx4x3sin xx 2x 2不妨先证明：xln(x 1) x 3sin x4x,g xsin x在x 0处的切线为x 2y x.构造函数：h x x sin x,h x1 cosx 0,x0,hx Z,由零点

16、存在定理知：在不妨先证：4xxln(x 1) x 3xx 2等价于证明：In(x 1) 2 0,x 2构造函数：k(x)4ln(x 1) 2 -x 2I# n2Xk (x)(X1)(x20，2)2k 00，由不等式传递性，可知命题得证.0，构造函数，即可得解【解】（1 1）f（x）ln(x 1) aln(x 1) a，f (x)1(x1)210，故f x在1,上单调递增.(x 1) f 0a 0,x 0,x0,令ln(x 1) a 0 X ea1，可知1 xf ea10,故有x0,k xa0,e1上必存在一个变号零点xo，即极小值点.第2727页共 2121 页及代数式的敏感及处理策略，要求较

17、高的计算能力，属于难题R，且曲线C关于直线li对称.(1)求tani；(2(2)若直线li与曲线C交于o,A，直线 J:y kx k 0与曲线C交于0, B B ,且VOAB的面积不超过2、2，求直线12的倾斜角的取值范围.【解析】(1 1)把参数方程化为圆的方程，根据圆关于直线对称，易知直线过圆心，代入即可得解；202，代入圆的极坐标方程，再利用面积公式即可2得解，或者再利用直线和圆的普通方法即可得解2222 .在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x 1 2cos t(t为参数)，以坐y 3 2sin t标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线li的极坐标方程为【答案】(1)ta

18、n13；(2 2)5_24，311U3 24(2(2)若设直线 1 12:& OAB4sinsin8 sincos4 sin依题：42 -2,sin第2828页共 2121 页【详解】【解】(1 1)消参可得曲线C的普通方程：(x 1)2(y . 3)24，即以1八3为圆心,半径为 2 2 的圆，依题知直线11过圆心1八3,tan13.(2)【法一】将(x 1)2(y 3)24化为极坐标方程:4sin,直线12:6第2929页共 2121 页本题考查了极坐标方程，参数方程与普通方程的互化以及应用解题，涉及面积的处理、策略选择问题，考查了分析能力，解题策略的选择能力，以及求解运算能力.2323 .已知函数f x x 1 ax.(1)(1) 若函数f X存在最小值，求实数a的取值范围；(2)(2)若对x R,f X x恒成立，证明：f x f 2 x 0.【答案】(1 1)1 a 1； (2 2)详见解析