2020届天一大联考高三高考全真模拟卷(四)数学(文)试题(解析版)

1、第1 1页共 2020 页2020届天一大联考高三高考全真模拟卷（四）数学（文）试、单选题【答案】【详解】故选：D D.【点睛】本题主要考查集合的交集运算. .， 掌握对数函数性质是解题关键.【详解】15i，故复数 z z 的虚部为22故选：B B.【点睛】虚部为b，不是bi. .3 3 .某高中有 13001300 名高一学生，12001200 名高二学生, 所示，则该校女生人数是（2 2 .已知复数 z z 满足z 1 i2 3i（i为虚数单位），则复数 z z 的虚部为B B.5.i2【答案】【解析】由复数除法运算计算出 z z，再由复数概念得结论.本题考查复数的有关概念及复数的运算.对

2、于复数z a bi aR,bR，复数 z z 的1 1 .已知集合A x yx y Ig x2x，则AIU 1,B B.,0 U 1,0,1 1【解求函数定义域确定集合A,B，然后由集合交集定义求解.由题意A x x 0,B,0 U 1, 根据交集的定义得AI B1,i 2 3i知z1 i15001500 名高三学生，其性别比例如图第2 2页共 2020 页4，所以离心率3故选:A A. 16601660B B. I960I960C C. 20402040D D. 23402340【答案】A A【解析】根据图表中比例分别计算各年级女生人数后相加即得.【详解】思路点拨女生人数n 1300 40%

3、1200 45%1500 40%1660. .故选：A A.【点睛】本题考查统计图中的扇形图，属于基础题.24 4.已知双曲线C:y2a2x21 a b 0的两条渐近线的夹角为b2,则该双曲线C的离心率 e e 为（ ）2.33【答案】A A【解析】由渐近线的夹角得a,b的关系式，从而可得a,c的关系式，求得离心率 e e【详解】由双曲线x2b0的方程，可知渐近线方程为ax. .由btan33，所以 a a = = . . 3b3b，即a22 23b 3 c，所以3c24a2，2即22a23 e3第3 3页共 2020 页【点睛】本题考查双曲线的渐近线和离心率,解题时直接求出a, c的关系式即

4、可，如果忽略条件中的a b 0，则导致结果有两种可能,从而错选C.C.5 5执行如图所示的程序框图，若输人的x x 1,11,1 ,则输出的y的取值范围为（第4 4页共 2020 页A A .,0 U 1,eB B.,0 U -,1e1C C.1,一U 0,eD D.e, 1 U 0,【答案】B B【详解】【点睛】象，借助函数的图象求分段函数的值域 函数的值域为函数图象上所有点的纵坐标组成的集合 分段函数的值域为各段上函数值域的并集 6 6.已知圆锥的底面半径为2 2,高为 4 4,有一个半径为 1 1 的圆柱内接于此圆锥，则该圆柱的侧面积是()A A .B B.2C C.3D D . 4 4

5、【解析】由程序框图，确定函数f(x)f(x)的解析式，然后可求得值域.由程序框图可xe , 1In x,0 x 0 x 1,，函数yex在区间1,0上单调递增,值域为1-,1；函数yeIn x在区间0,1上也单调递增，值域为,0，所以当x1,1时,y的取值范围为1,0U-,1. .e本题考查程序框图及分段函数的值域. .本题可以画出分段函数xe , 1 xIn x,0 x0,加1第5 5页共 2020 页【答案】D D 【解析】 作出轴截面，在轴截面中由相似三角形可求解.【详解】h 1如图，设圆柱的高为h，由题意可得，所以h 2，从而圆柱的侧面积S侧2124，故选：D.D.【点睛】本题考查圆柱

6、侧面积的计算公式，对旋转体解题时可作出轴截面，在轴截面中计算.是等差数列，其前n项和为Sn,且S20190,S20200,则使an0【答案】C C负.【详解】因为S20190,所以a1a20190,即2a10100,a10100. .因为S20200所以a1a20200即a1010厲0110所以a10110故选：C C.【点睛】确定数列相邻两项一正一负即可得结论.7 7 .已知数列an成立的最小自然数n为(A A. 10091009B B.10101010C C. 10111011D D. 10121012【解析】由等差数列的前n项和公式Snn( a1an)1 n结合等差数列的性质确定项的正2

7、本题考查等差数列的通项公式及前n项和公式,考查等差数列的性质，由等差数列只要第6 6页共 2020 页xy 10,8 8.设满足约束条件x2y0,的变量x,y形成的区域为D,有下列四个命题x2y 20P1:x, y D,xy 30；P2:x, y D,x y 30-? p3:x, y D,xy 30；P4:x, y D,x y 30. .其中正确命题的个数为 (）A A . 1 1B B .2 2C C. 3 3D D . 4 4【答案】C Cx y 30，观察此直线与可行域的关系，根据存在命题与全称命题的概念判断.【详解】x y 10,思路点拨约束条件x 2y 0,所表示的可行域为图中三角形

8、区域，直线x 2y 2 0 x y 3 0经过三角形的一个顶点2, 1,根据题意可知P1:x, yDxy 3 0正确，P2:x, y D,x y 3 0正确，可行域均在直线xy 30的上方，故p3:x, y D,x y 3 0正确，p4:x,yD,x y3 0错误，【点睛】本题考查线性规划与简易逻辑，解题关键是作出可行域，作出直线x y 3 0，由直线与可行域的关系得出结论.9 9. 20192019 年 9 9 月 8 8 日，中华人民共和国第十一届少数民族体育运动会在河南郑州开幕，现从我省曾获得乒乓球奖牌的2 2 男 1 1 女三名运动员与获得跳远奖牌的1 1 男 2 2 女三名远动【解析

9、】作出可行域，再作直线故选：C.C.第7 7页共 2020 页员中各选 1 1 人作为运动会的火炬手，则选出的 2 2 名运动员性别恰好相同的概率是（）第8 8页共 2020 页【解析】把 6 6 人编号，然后写出各选 1 1 人的所有基本事件，从中可得 2 2 人性别相同的基 本事件的个数，从而计算出概率.【详解】由题意，记获得乒乓球奖牌的三名运动员分别为A,A2,Bi,获得跳远奖牌的三名运动员分别为A3,B2,B3,则从中各选 1 1 人的基本事件有：A, A3,A,B2,A|，B3,A2,A3,A2,B2,A2，B3,B1 A3,Bi,B2,B,B3，共 9 9 个，而 2 2 人性别相

10、同的基本事件有：A,A3,A2,A3,4Bi, B2,B,B3，共 4 4 个，故所求的概率为P. .9故选：B B.【点睛】考查目标本题考查古典概型的计算.求古典概型概率的关键是求问题中基本事件的总数和子事件所包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件， 基本事件的表示方法有列举法，列表法和树状图法，具体应用则可根据需要灵活选择1010 .在VABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A ,且VABC的3外接圆的半径为池池，则VABC周长的最大值是（）A A. 1212B B. 6 6C C. 1010D D. 9 9【答案】D D【解析】由正弦定理求出a，由余弦定理及基本不等式

11、求出b c的最大值，即得周长最大值.【详解】由正弦定理ab2R, 得a2Rsin A2乜空- -3 3 由余弦定理sin A sinB22ab2c 2bc cos A,得922b c2bc -2 2b cbe,所以224 - 9B-第9 9页共 2020 页22b c126，当且仅当b c 39b c3bc b c3bc,b c24时等号成立，所以VABC周长的最大值为3 6 9. .第1010页共 2020 页故选：D D.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及均值不等式的应用.属于中档题.21111.设曲线f X 41 nx在点1,0处的切线上有一动点P，曲线g x 3x 21 n x.

12、.上有一点Q,则线段PQ长度的最小值为()B B. 2d7【答案】C C【解析】求出曲线 f(x)f(x)在(1,0)处的切线|方程，再同曲线g(x)的与直线|平行的切线 方程，两平行线间的距离就是所求的最小值.【详解】4Q f 10,f xx切线斜率kf 14，故曲线f x在1,0处的切线方程为4x y 40. .又gc2x 6x -,令6x-4，则x 1或x3(舍去)xx3又g 13，故 g g (x x)在1,3处的切线方程为4x y 10,与直线4x y 40故选：C C.【点睛】本题考查求一般曲线的切线问题，两条平行线间的距离的应用， 考查转化与化归思想.解题关键是把两点间距离的最小

13、值转化为平行线间的距离.2 21212 .已知椭圆务勞1 a b 0的左右焦点分别为F1,F2，过F2且与x轴垂直a2b2的直线交椭圆于A,B两点，直线 AFAF1与椭圆的另一个交点为则椭圆的离心率为()A A逑逑B B 血C C旦旦D D毎毎5 5533【答案】C C【解析】由AB x轴，可得出A点坐标(不妨设A在第一象限)，由 SAABC4SBCF.4,1717171717平行，这两条平行线间的距离为等，故线段PQ长度的最小值为3. 1717C,若ABC4BCF1,第1111页共 2020 页得AC 4CFi，从而可表示出C点坐标，把C点坐标代入椭圆方程得a,b,c的关系 式，变形后可求得

14、 e e.【详解】a23c2，故选：C C.【点睛】本题考查椭圆的定义及基本性质，求离心率，关键是列出关于a,b,c的等式，本题根据三角形面积关系得出AC 4 CFi,从而表示出C点坐标是解题关键.二、填空题rr3r r1313.已知向量a x 1,x,b,2若a/b，则x的值为_. .x 11【答案】2 2 或2【解析】根据向量共线的坐标表示求出x.【详解】r r31因为a与b共线，所以2 x 1 x0得x 2或 . .x 12【点睛】本题考查平面向量共线的坐标运算，属于基础题.1414 .已知定义在区间，0 U 0,上的函数f x满足f x f x 0，当因为ABx轴，所以不妨设A c,b

15、2a因为SABC4SABCF!，所以AC4 CF1，即AF|3 CF1. .因为 F Fic,0c,0 ,uurumrAFi3FC，( 2c,5c3，代入椭圆方程可得3a25 c29a2b29a25cT，yC1,25 c2b23a，a2c29a2,3(xcc, yC),- -xc第1212页共 2020 页x 0时，f X Inx，则函数g x f x e的所有零点的乘积为 _【答案】1 1的零点，计算乘积即可.【详解】【点睛】的基本方法.为一的交点，贝U g x在x 0,上的值域为 _ . .641 V3【答案】0,2【解析】由交点横坐标得交点坐标，代入g(x)可求得 ，再由正弦函数的单调性

16、可求得值域.【详解】,丄，代入g X的解析式可以得到COS -6 23以_3k,k Z. .因为0，所以，所以61g Xcos 2x- -6 2【解析】由解方程的思想求出X0时，g(x)的零点，在根据偶函数性质得出当x 0时，由fX2ee. .由题意f两个零点，即X3所以x1x2eeeln x知,ee,X4e01e的零点有两个，分别为Xiee和x可知函数为偶函数，所以当x 0时，gx还有，X3x4eee01，从而X1X2X3X4标本题考查函数的奇偶性，考查函数的零点 解题时根据零点定义直接求出零点是解1515 .已知函数 f fx x sinsin x x 与g x COS2xi0的图象有一个

17、横坐标由题意知交点坐标为第1313页共 2020 页因为X0,所以2x1 43，所以g x的值域为0,46632第1414页共 2020 页故答案为：0,1 3.2【点睛】考查目标本题考查三角函数的图象与性质，求函数值域时，先关注定义域，再判断函数的单调性，从而求得值域 1616.四面体ABCD的四个顶点都在半径为 1 1 的球面上，若VABC为直角三角形，贝U该 四面体体积的最大值为 _ . .32【答案】：81【解析】VABC为直角三角形，不妨设斜边BC是所在截面圆的直径，当且仅当VABC为等腰直角三角形时，VABC的面积最大，当D到平面ABC的距离最大时，四面体ABCD体积最大由此可得解

18、法.BC中点是Oi，设 0000ix x，把体积表示为x的函数，再由导数的知识求得最大值.【详解】设过A,B,C三点的平面截已知球0所得的圆为圆Oi，因为VABC为直角三角形， 不妨设AB AC,则BC为圆Oi的直径，设圆Oi的半径为r，则当且仅当VABC为 等腰直角三角形时，VABC的面积最大，连接O1O并延长交球面于一点，若使得四面则有x2r2i,则令f xix3ix2ixi0 x i,3333则f xx22xi ix i 3x i,333132体ABCD的体积最大,则该交点应为点D,DOi即为四面体ABCD的高，设 OOOOiV四面体ABCDiS38ABCDOi131211xxx3333

19、所以f x在O,1上单调递增，在31,1上单调递减，当x1时,33x取得最大第1515页共 2020 页值，f X的最大值为f. .381第1616页共 2020 页本题考查多面体外接球问题解题关键是分析出多面体体积最大时，多面体的结构特 征.然后引入参数 OOOOix x，体积可表示为X的函数，由函数知识求得最大值.三、解答题1717.已知Sn为等差数列an的前n项和，且a3a10,Sio5. .(1) 求数列an的通项公式;1(2(2)令bnanan 1，数列的最小项. .bn1【答案】(1 1)an3n 17( 2 2)2【解析】(1 1)由已知条件列出d与a1的关系式，求解，得an的通

20、项公式1(2)由(1 1 )得出bn的通项公式，由通项公式得出满足bn0时的那一项，即 一bn的最小项. .【详解】故答案为:3281(1(1 )设等差数列an的公差为d,第1717页共 2020 页【点睛】 本题考查等差数列的通项公式， 数列中的最值问题. 基本量法是解决等差数列通项公式和前n项和的基本方法.1818 在三棱柱ABC A1BC1中，C。 平面ABC,ABC 90且 ABAB BCBC CCCC1,M为棱ACi的中点(1)求证：ACi平面BiCM；(2) 求三棱锥A BiCM的体积1【答案】(1 1)证明见解析(2 2)-6【解析】(1 1)欲证线面垂直，先证线线垂直，证明同一

21、平面内的两条相交直线垂直时, 要注意应用平面几何的知识解决 (2 2)注意应用等体积转化的思想，即求B1MAC的体积.【详解】(1 1)由题意知，CC1底面A1B1C1. .CC1B1M. .又Q AB BC,ABC 90,AC、2,A1B1C1为等腰直角三角形且AB1C190,AC1x2. .由aa510,S105，得“45d10a1所以an3n17. .(2 2) 由bnanan1，可得bn3n 173n当n4或n6时，bn10，此时b0当n5时，b52 0,10,解得5,14,3,所以数列丄最小项为bbnb514,n第1818页共 2020 页Q M为AQ的中点，BM AG.又Q CG

22、I AC1G,B1M平面ACGA. .Q AC1平面ACC1A1,B1M AC1. .在四边形ACC1A1中，QAC12，CC11,C1M,ACG2CC1M 90,ACG与厶CC1M相似，CMC1AC1C. .AC1MAC1C 90,CMC1AC1M90,AC1CM. .又Q RM I CM M,AC1平面B1CM11121(2)由题意知 VA0CMVB, ACMSACMB1M2 1.33 226【点睛】本题考查立体几何中线面垂直问题的证明，证明时注意线面垂直与线线垂直的相互转化应用等体积转化求三棱锥的体积2 21919 已知椭圆C: 22 - -y y21 a b 0的左、右焦点分别为F1,

23、F2，椭圆C与圆a bx2y2c2(c为椭圆的半焦距)在第一象限内的交点为M 3,4. .(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 过椭圆C的右焦点F2的直线I与椭圆C相交于A,B两点，求VABF1面积的最 大值2 2【答案】(1 1)仏1(2 2) 30304520【解析】( (1 1)由点M 3,4在圆x2y2c2上，得c 5. .再根据椭圆的定义求出a, 然后再求得b，从而求出椭圆的标准方程 (2 2)设A X1,y1,B X2,y2，设直线AB的方程为x my 5，与椭圆方程联立， 消元后应用韦达定理，求出1% y2，先求出三角形面积，再利用换元法，构造均值不 等式求三角形面积的最大值 【详

24、解】第1919页共 2020 页(1 1)由题意可知点M 3,4在圆上，3242J，即c 5,两焦点坐标分别为F15,0,F25,0由MR MF22a，得a 3亞亞,b2a2c245 25 20，2 2故所求椭圆C的标准方程为 1. .4520第2020页共 2020 页（1）由题意可设直线AB的方程为x my 5,2245m5，4m29【点睛】本题考查椭圆的定义及简单的几何性质，应用函数思想，解决三角形面积的最大值问题.合理恰当地设出直线AB的方程对解决该问题起到化繁为简的作用，直线与椭圆相交问题中设而不求思想方法是基本方法.2020 某网站为了解某新闻的传播总人数y（千人）随时间x（小时）

25、的变化情况，统计数据如下：x x （小时）1 12 23 34 45 5x my 5,180,4x29y设A X1,%可得4 m2则y-y2*y21 402,B X2, y2,29 y 40my 8040 mK，y1y22y1y24y22m224m 94 804m2802，4m 91SAABF12IF1F2 |Y1y2120.5、m2124m 9t，则t1,故有SABF1120、5120.5120 5当且仅当4t4t25304t5，5，即t-5时取等号,2VABF1面积的最大值为303022第2121页共 2020 页传播总人数 y y （千人）6 61212252549499595第2222

26、页共 2020 页T/TAI noK(lMl4421（1 1） 试根据以上数据画出散点图，并判断函数y a bx与y ce中，哪一个适合作为传播总人数y关于时间x的回归方程？（给出判断即可，不必说明理由）（2 2） 根据（1 1）的判断结果及表中数据，建立y与X的回归方程；69 3（3 3）若该网站的平均收益M（万元）与 x x，y满足关系M In y，试求平均x收益的最小值附：参考数据:z5- 2 z zi 15_z z x xi 13.1883.1884.8064.8066.9306.930-15表中z ln y, z -z. .5i 1【解析】（1 1）由表中数据描点即可 根据散点图确定

27、函数（2 2）由题中数据计算 P P,代入公式即得回归方程（3）求出平均收益M后用均值不等式计算最值.参考公式：对于一组数据u1,v1出皿,un,Vn，其回归直线$卩P Pu的斜率和截距的最小二乘估计分别为:1n_uiu vii 1n二uiui 1【答案】（1 1）作图见解析；yce比较适合（2 2）$0.693X 1109e(3(3) 14.96914.969 万元ce更适合.第2323页共 2020 页【详解】(1(1)题目中所给数据的散点图如图所示,HT人1|20*L 24 5T 加时由散点图容易判断方程y ce比较适合. .所以口丄飞-2Xixi 1卩3.188 0.693 3 1.1

28、09，所以z关于x的回归方程为$o.693x 1.109，所以y关于x的回归方程为$e0.693x 1109. .(3) 由(2 2)知网站的平均收益69.369.3/693M In y0.693x 1.1091.109 2一0.693x 14.969,xxVx69 3当且仅当0.693x，即x 10时取等号，x故平均收益的最小值为 14.96914.969 万元. .【点睛】本题考查散点图，求非线性回归方程及其应用解题根据所给数据和公式计算即可本(2(2)由 y yce”，两边取对数可得In y kxIn c，即卩z kx In c. .由题意可知,210,z (I n65In12 In 2

29、5 In 49In 95)3.19，ziz xix型0.693,102121 .已知函数r2xaexax有两个极值点第2424页共 2020 页题还考查了学生的数据处理能力.(1(1)求 a a 的取值范围;10，第2525页共 2020 页(2 2)设f x的两个极值点分别为Xi,x2，若不等式f x,f x2成立，求的最小值. .【答案】(1 1)a a 4 4( 2 2)2ln 2 3eXi恒【解析】(1 1)求导数.f (x) 0有两个不等实根，换元后转化为元二次方程有两个不等正根，得a的取值范围;(2(2)利用根与系数的关系可以得到eX1eX2a,eX1eX2a，先转化炎关于a的不X

30、1X2等式恒成立，最后转化为关于a的函数求最值. .【详(1(1)因为12xe2aexax有两个极值点 治,x?,所以fX2xeXaea有两个不同的零点,即方程t2at a0(其中0)有两个不同的正根,所以(2(2)由4a0,a小0,2a 0,，所以 a a4.4.(1(1)知Xi，X2是fe2xXaea的两个根,由根与系数的关系得e51eX2e51eX2X2Ina，所以f XiX2e2X12xee51eX2X2eeeX1ex2XiX2所以a22a2al na因为所以Ina 1a In a1 1a，所以g g( a a )在4- -上单调递减， 所以2ln 2 3，10，第2626页共 2020 页故的最小值为2In 2 3. .2 2,第2727页共 2020 页【点睛】本题考查函数极值点的定义以及不等式恒成立问题.考查转化与化归思想，函数有零点极值点，转化方程根的分布问题，不等式恒成立问题转化为求函数的最值.x2222