2020届湖南省郴州市高三第一次教学质量监测(12月)数学(文)试题(解析版)

1、第1 1页共 1919 页2020 届湖南省郴州市高三第一次教学质量监测(12 月)数学(文)试题、单选题【答案】A A 【解析】根据集合的交集运算法则直接求解【详解】f1 Irx由题：集合A=/x-1兰 xx，B=x0vx兰1,I2J，1A|B =x 0：x 故选：A A【点睛】此题考查集合的交集运算，属于简单题目，根据运算法则直接求解2 2.若复数z =a1为纯虚数，则实数a =().1 -iA A. -2B B. -1C C.1 1D D.2 2【答案】D D【解析】根据复数运算法则化简z二旦-1，纯虚数，即实部为零，虚部不为零1 i【详解】aa(1 +i)a +aia a由题：z111

2、1i为纯虚数，1 -i(1i)(1+i)222故答案为：D D【点睛】此题考查复数的基本运算和概念辨析，需要注意熟练掌握运算法则，弄清相关概念，纯I1 1.设集合A二x一仁X：1,B B.1-1,0B=(x0 xB=(x0 x 0 ,x 0-,x_. Y-rx；门时函数图象的变化趋势， 利用排除法，将不合题意的选项一一排除、a?ai35 5 .在等比数列:an/中，a2,ai4是方程x28x0的根，则- 的值为()a8A A.,10,10B B.-.6C.C. - -. . 6 6D D. -,6-,6 或.一 6 6【答案】C C【解析】根据等比数列的性质结合韦达定理求出：2a2釦-七：0,

3、a2ai4二a?ai3二a86，讨论a8的符号即可求得 【详解】在等比数列 冲，a2, %是方程x28x*6=0的根，厶=64-24 = 40 0由韦达疋理：a?a4二8 ；：0, a?ai4所以a2,ai4同为负数，等比数列所有偶数项符号相同，所以a80根据等比数列的性质：a2a14= a3a13= a82= 6,鬼=-6, 所以=石a8-V 6故选：C C【点睛】此题考查等比数列的性质，结合二次方程韦达定理解决项的关系 6 6 定义域为R的函数f x是偶函数，且对任意Xi,X2，0,7,f xi-f x2;:：0.设a二f 2,b =fn,c二f一1，则().N -x2A A.ba : c

4、B B.c abC C.c :baD D. a a ： c c ： b b【答案】A A的函数值进行比较即可【解析】根据题意，函数为偶函数且在(0,+?)单调递减，将所求函数值转化成(0,+?)第5 5页共 1919 页由题：对任意xX2三0,亠I,-1- : 0Xj_x2任取0：为：x2, x-ix2: 0, 因为f* 0，则仁为)化).0,% x2即f(Xi) f(X2)，所以函数f x在(0,+?)单调递减函数f x是定义域为R的偶函数，所以c二f -1二f 1，12：二，f(1) f (2) f C )，所以b ac故选：A A【点睛】此题考查通过函数的奇偶性和单调性比较函数值的大小，

5、关键在于准确判断函数的单调性，将所求值转化到同一单调区间利用单调性比较大小7 7.已知向量a =0,8,b =4,m，且a-b- b，则向量a与b夹角为()nnnnA A .B B.C C .D D .3642【答案】C C呻扌44 4 44 4 4【解析】a-b - b即a -b b =0,a-b b =0，代入坐标求出m，根据向量夹角余弦值公式求解即可. .【详解】2由题：a -b - b即a-b b=0,ab-bb=8m-16-m =0,解得：m =4,a = 0,8,b = 4,4,a b322cosa,ba廿8根据向量夹角的取值范围限制在0,二II冗所以向量a与b夹角为-4故选：C

6、C【点睛】第6 6页共 1919 页此题考查通过向量的垂直关系求参数值，再求向量的夹角，对基本公式通式通法的考查8 8 .下列结论中正确的个数是().在L ABC中，若sin2A二sin2B，则L ABC是等腰三角形；2在L ABC中，若sin A sinB，则A . B3两个向量a,b共线的充要条件是存在实数，使b-4等差数列的前n项和公式是常数项为 0 0 的二次函数.A A. 0 0B B. 1 1C C. 2 2D D . 3 3【答案】B B【解析】对每个命题逐一检验其正确性 ：1：若sin2A=sin2B，贝U 2A = 2B或2A；2: :转化为证明其逆否命题：在ABC中，若Am

7、 B，则sin Asin B，结合正弦函数单调性可证；3：若b = 0, a = 0,不合命题的充要性，命题为假；4：常数列不合题意. .【详解】对于：若sin 2A =si n2B，则2A =2B或2A 2B二二，即A = B或A B二一2即LABC是等腰三角形或直角三角形，所以该命题不正确；对于：证明其等价命题即其逆否命题：在L ABC中，若A乞B，则sin A乞sin Brnn当0：AzB时，由正弦函数y=si nx,0,单调递增可得si nAsi nB；22ItIt当B：:时，0：A C ,0 : A：A C,sin A : sin( A C) =sin B22所以原命题成立，所以该命

8、题正确；- 斗 耳屮id44对于：若b = 0,a =0，满足向量a，b共线，但不存在实数，使b =，所以该命题不正确；对于：常数列aj，通项公式an =1，其前n项和公式S n不是二次函数，所以该选项不正确，综上：只有一个正确 第7 7页共 1919 页故选：B B【点睛】此题考查对命题真假性的判断，涉及解三角形，向量，数列相关知识，此类问题涉及面广，考查全面，对综合能力要求较高 9 9 郴州市正在创建全国文明城市，现有甲、乙、丙、丁4 4 人，平均分成两组，其中一组指挥交通，一组打扫街道卫生，则甲、乙不在同一组的概率为().=1=1 ,第8 8页共 1919 页【答案】C C 【解析】考虑

9、基本事件总数时，按照指挥交通组选人，打扫街道组选人，计算基本事件总数，先计算甲乙在同一组的概率，其对立事件的概率即为所求【详解】根据指挥交通组选人打扫街道组选人，基本事件总数为Cjcf =6，1甲乙在同一组包含基本事件总数为2 2,其概率为1,3其对立事件： 甲、乙不在同一组”1 2所以甲、乙不在同一组概率为1 -33故答案为：C C【点睛】此题考查古典概型，关键在于准确算出基本事件总数和某一事件包含的基本事件个数，其中考查基本计数原理，解题中合理使用对立事件概率关系能降低解题难度2 21010 .已知双曲线C:笃-与=1的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双a b曲线的四个交

10、点依次连线恰好构成一个正方形，则双曲线的离心率为().A A.2B B.22C. 2 2D D.、22【答案】D D【解析】设以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为R(m, n), m 0, n a 0，代入双曲线和圆的方程，根据正方形关系，求解离心率【详解】设以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为R(m,n),m 0, n 0,22mn .22222=1,m n =cab以F1F2为直径的圆与双曲线的四个交点依次连线恰好构成一个正方形，则B B.代入可得:2C2a2c22b2c2c2c222、2a 2(c -a )第9 9页共 1919 页(c2_a2)c2_a2c2=2a2

11、(c2_a2)c4-4a2c2，2a4= 0,两边同时除以 a a4得:e4_4e2 2 =0,e2=4 = 2 _、2，双曲线离心率e . 1,e2. 12e2=22所以e=,厂2故选：D D【点睛】此题考查通过双曲线上的点的关系求解离心率，关键在于将题目所给条件转化成代数关系求解，构造齐次式解方程 1111唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.诗中隐含着一个有趣的数学问题一将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2y2，若将军从点A 3,0处出发，河岸线所在直线

12、方程为x 4，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则将军饮马”的最短总路程为()A A 2.5B B.帀.2C C 17D D 3-、2【答案】B B【解析】求出点A 3,0关于直线x y = 4的对称点A，所求问题即点A到军营的最 短距离 【详解】 由题点A 3,0和军营所在区域在河岸线所在直线方程的同侧,设点A 3,0关于直线x y = 4的对称点A(a,b),AA冲点M（a 3,b）在直线x y = 4上,22a 3 b 4解得：1 a = 4，即A(4,1)，设将军饮马点为P，到达营区点为B，则b -01a -3b =1第1010页共 1919 页总路程PB|+|PA =|PB

13、+ PA，要使路程最短，只需PB +|PA最短，即点A到军营的最短距离，即点A到x2y 2区域的最短距离为：OA，-；2=：口7- J2故选：B B第1111页共 1919 页利用导函数恒大于等于零即可求解【详解】单调，则f(x) =2020只有唯一实根，设该实根为t(t为常数)，f f x -2020-2020，即f x -2020 x=t,f- 2020 xtjr jr所以f x在定义域内单调递增，所以g x在 ，$上的单调递增,冗 冗Ig x =cosx、3sinx-k_0,x,恒成立,-2 2cosx、3sin x亠k,x所以2sin x-【点此题结合中国优秀传统文化内容考查点关于直线

14、对称问题,以及圆外的点到圆上点的最小距离，对数形结合思想要求较高1212 已知函数f x在定义域R上的导函数为ffx),若函数y二x没有零点，且f -f (x )2020 x=2020，当g x = sinx f .3cosx-kx在卜才，才 上与f x在R上的单调性相同时，实数k的取值范围是().【答案】B B【解析】函数y定义域内单调,B B.-：,-、3C C.-1A3=f x没有零点，即函数f x的导函数恒为正或恒为负， 即f X在f(t)=2020只有唯一实根，即f x - 2020 x=：t，可得xf xi；= 2020 t可得f x在定义域内单调递增,n ngx在?2上的单调递增

15、，函数y = f x没有零点，即函数ffx)0或ffx)0恒成立，即f x在定义域内2sin x -I 6丿-k,xn n I一2,2，恒成立JIx6,2IL 3 3閃x-；3,14第1212页共 1919 页所以 k k _ _ -、3故选：B B【点睛】此题考查通过导函数讨论函数单调性问题，涉及方程的根，不等式恒成立求参数范围问题，综合性比较强 二、填空题2x, x _ 0I Ix x, ,1313 .已知函数f(x)=“1、,f(f(-1) =_.-I -x,x c0【答案】6 6【解析】根据分段函数依次求解f -1=3，再求f f一1二f(3)的值即可. .【详解】fix1由题f一1二

16、一一(一1)=3，f f -1= f(36故答案为：6 6【点睛】此题考查分段函数求值问题，根据分段函数解析式，依次求值即可3x y _ 41414.已知x,y满足约束条件y兰4，若z = x+y的最大值是 _ .x -y辽2【答案】1010【解析】作出可行域，求出顶点坐标，对目标函数表示直线进行平移，依据截距的最值 求出最大值. .【详解】31作出可行域如图所示，解出顶点坐标A(,), B(6,4), C(0,4)22第1313页共 1919 页平移目标函数表示的直线y -x z，直线截距越大，即 z z 越大，由图可得当直线过B（6,4）时直线截距最大，此时y取得最大值 10.10.故答案

17、为：1010【点睛】此题考查线性规划问题，关键在于准确作出可行域，求出顶点坐标，通过平移直线求得最值. .1515 设数列 g 满足a3,Sn=2an+1,nA2,则比=_.【答案】1616【解析】根据S2an1,n_2，求出数列aj的通项公式即可. .【详解】由题：Sn2an1,n _ 2,Sn4=2an41,n亠3,两式相减：an=2an-2an，an=2an4,n一3当n=2时，3 a2=2a21,a2=2故答案为：1616【点睛】 此题考查通过数列前n项和Sn与通项an的关系求解通项公式再求具体项的问题，关键在于根据弄清题目所给限制条件，注意适用范围，避免出错所以an =3,n =1I

18、n 42 ,n 24所以a5= 216. .4第1414页共 1919 页1616在LABC中，AB=8,BC=6,AC =10,P为LABC外一点，满足PA = PB = PC =5，则三棱锥P - ABC的外接球的半径为 _25【答案】25第1515页共 1919 页【解析】取AC中点0,连接PO, BO，通过计算得出B0二A0=C0,P0 _平面ABC，即0为LABC所在平面与球形成截面圆的圆心，球心在线段P0上，列方程组即可求解 【详解】取AC中点0，连接P0, B0，在L ABC中，AB =8，BC =6，AC =10，所以L ABC为直角三角形AB -，所以B0二A0二C0 = 5

19、，0为LABC所在平面与球形成截面圆的圆心，又因为PA二PB二PC =5、5所以P0 _ AC,P0PC?匚0C2=10，在LPB0中，PO20B2二PB2，所以P0_0B，0B与AC相交，则P0_平面ABC，则球心M在P0上，设球的半径R, AM二PM二R,OM =10-R在L AM0中，AM2=A020M2,R2=25 (10 R)2解得：R启【点睛】此题考查通过三棱锥特征求其外接球半径大小的问题，关键在于弄清几何特征， 寻找等 量关系，找出球心位置，建立方程组求解半径，平常学习中有必要积累常见几何体外接 球半径求法三、解答题1717 某经销商从某养殖场购进某品种河蟹，并随机抽取了类统计，

20、得到频率分布直方图如下：故答案为:254100100 只进行统计，按重量分第1616页共 1919 页（1 1） 记事件A为从这批河蟹中任取一只，重量不超过120120 克”估计PA；（2 2）试估计这批河蟹的平均重量；（3 3）该经销商按有关规定将该品种河蟹分三个等级，并制定出销售单价如下：等级特级一级二级重量（g g）(140,160】(100,14040,100单价（元/ /只）404020201010试估算该经销商以每千克至多花多少元（取整）收购这批河蟹，才能获利？【答案】（1 1）P A =0.7；（2 2）104g104g；（3 3）至少163元【解析】（1 1）由频率分布直方图求

21、前四个小矩形面积之和即重量不超过120120 克的频率即为概率的估计值；（2 2）根据频率分布直方图性质，每组小矩形面积乘以该组中间值，再求和即为平均数；（3 3）根据三个等级个数求出总售价，由（2 2） 计算出总重量，再计算出平均成本，要求成本不超过售价才能获利 【详解】（1 1） 由频率直方图可知：河蟹的重量不超过120g的频率-200.0025 0.0075 0.0100 0.01501=0.7,估计P A 1=0.7.（2 2）由题估计平均重量为：50 0.05 70 0.15 90 0.2 110 0.3 130 0.25 150 0.05 = 104 g.（3 3） 设该经销商收购

22、该批河蟹每千克至多x元，由（2 2）可知该 100100 只河蟹的总重量为第1717页共 1919 页100 104 1000=10.4 kg第1818页共 1919 页由图可知特级河蟹有20 0.0025 100 = 5只，一级河蟹有20 (0.015 0.0125) 100 = 55只,二级河蟹有20 (0.0025 0.0075 0.01) 100 = 40只，5 40 55 20 40 1010.4X E5 40 55 20 40 10，而163,10.4经销商以每千克至多花 163163 元收购这批河蟹，才能获利【点睛】此题考查频率分布直方图相关数据求法，并根据数据作出决策， 要求准

23、确掌握频率分布直方图的众数，中位数，平均数的求法，计算准确无误1818在L ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且向量n =2a-c,cosC与向量b,cos B共线.(1) 求角B的大小；(2) 若 BDBD=：2DC，且CD =1,AD = .7，求三角形ABC的面积.【答案】(1)B；(2)SAABC-34【解析】(1 1)根据向量共线的坐标表示，即可列出等式结合正弦定理，求解未知数；(2 2)根据向量关系求出线段长度，由余弦定理求出三角形边长，即可计算面积【详解】(1 1) 向量n =2a-c,cosC与向量共线m =b,cosB共线，2a-c cosB = bcosC，由

24、正弦定理可得2sin A-sinC cosB =sinBcosC,12sinAcosBsin B C二sin A vsin A = 0, cosB = 2n又v0：B：n, - B =.3 3在ABD中，由余弦定理有AD2=BD2-2AB BD cosB,即7 AB24 -2AB，解得 ABAB = =3 3，或AB - -1(舍去)，(2)BDBD 二 2DC2DC，且CD=1,AD = 7,BD =2,BC=3,第1919页共 1919 页1故SAABCAB BC2【点睛】此题考查解三角形，结合向量共线的坐标表示，建立等量关系结合正弦定理求角，根据sin B二13 322第2020页共 1

25、919 页余弦定理求边，计算面积19.如图，在五棱锥PABCDE中，PA_平面ABCDE,AB/ CD,AC P ED,AE/BC,ABC =45,AB =2,2，BC = 2AE = 4.(1)求证:CD_ 平面PAC;n(2)求直线PA与平面PCD所成的角是 ，求五棱锥P-ABCDE的体积.4【答案】(1 1)见解析;【解析】(1 1)PA_平面ABCDE可得PA_CD,通过计算证明CD _ AC,即可证明;(2)结合第一问结论找出线面角，通过角度计算PA长度，即可求出锥体体积【详解】(1)在三角形ABC中，TABC =45,BC =4,AB =22,2 2 2二AC = AB BC -2

26、AB BC cos45 =8,-BC2=AB2AC2,BAC =90,二AB _ AC.由AB/CD得CD _ AC.又PA _平面ABCDE,CD二面ABCDE，故PA _ CD. 又PADACA, CD_ 平面PAC.(2(2)由(1 1)知平面PAC_平面PCD, . APC就是直线PA与平面PCD所成角,n1一APC = 4，得PA = AC = 2 2，SAABC= ? AB AC=4.CD AC,AC P ED,AE/BC,EAC,AE = 24Jin直角梯形ACDE中，AC =AE cos DE,CD = AE sin44所以CD =DE二T2，梯形ACDE面积sSACDE2.2

27、.2 .23.2第2121页共 1919 页故五棱锥P - ABCDE的体积V二丄3 4 22 =吐 .33第2222页共 1919 页【点睛】此题考查线面垂直的证明和通过线面角的大小求线段长度，再求锥体体积，考查通式通法，属于中档题 2020 设P为圆x2y2=6上任意一点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，点M是线段PQ上的一点，且满足PQ二:3MQ(1) 求点M的轨迹C的方程；(2) 过点F 2,0作直线|与曲线C相交于A,B两点，设0为坐标原点，当|_OAB的面积最大时，求直线I的方程.2 2【答案】(1)1) 丄 “ ；(2 2)x-y-2=06 2【解析】(1 1)利用相关点法设坐标M

28、 x,y,P xo, yo,Q心0，通过代换关系即可求出轨迹方程；(2 2)设直线的方程与椭圆方程联立，整理成二次方程，结合韦达定理，表示出三角形的面积，利用函数关系求面积的最值 【详解】(1)依题意可设M x, y,P xo,yo,Q xo,O2 2 2 2又X。yo =6, x 3y =6,2 2点M的轨迹为椭圆，方程为 =1=1 6 2(2 2)由题：要形成三角形，则直线倾斜角不能为O O, 设I的方程为my 2,A为，如,B X2,y?,则有sOFB9 羽=2OF(%)= % -y2，x = my 2联立方程组x2y2消去x并整理得m2 3 y2 4my -2 = O,16 2222,

29、24m +24%一丫2二y y2一4力丫2- r(m +3)PQ,4mm232m23第2323页共 1919 页2人24 Q测君224t _4848 241 1 1令t=m +3，t兰3则有y y2=-2=_盲 +一= _48-_一+3-t2t2tt 4一当t=4，即m=V时LOAB面积最大，此时I的方程为x_ y一2 =0.【点睛】此题考查利用相关点求轨迹方程，直线与椭圆形成图形中，结合韦达定理讨论三角形面积的最值问题，考查解析几何的通式通法，对综合能力要求较高x2121.已知函数f x=xe 2ax 3.(1)若曲线y = f x在x=0处切线与坐标轴围成的三角形面积为9,求实数a的值;2

30、1(2 2)若a，求证：f x - In x 4.【答案】(1 1)a = 0或-1; (2 2)见解析【解析】(1 1)利用导函数求出曲线y = f x在x = 0处切线，表示出切线与坐标轴围成三角形面积即可求解；j,x(2 2)需证明的不等式通过作差转化成证明h x = xe -x-Inx-1 = 0，利用导函数单调性求出最小值即可得证 【详解】(1)f(x 1 ex2a，则f0i；= 2a 1为切线斜率.又f 0 =3, 切点为0,3. 曲线在x = 0处切成方程为y-3二2a 1 x.当x=0时，心，当厂时，x-尹(易知2a)2a+1 =1得2a+1 =1.所以a =0或-1.(2)法

31、一：a时，f x =xex一x 32则切线与坐标轴围成三角形面积为-32a 1第2424页共 1919 页要证的不等式为xexx 3 _ In x 4，即xexx In x1 _ 0.令h x二xex- x - In x -1，则h x = x 1 exTxV!ex-xI x丿第2525页共 1919 页易知 h h X X 递增，h1 0,h1J .e-20,当xO,xo时，h x: 0,h x递减；当xXo,=时，h x 0,h x递增.从而h x最小值为f X0=X0e-X0-lnx0-1=1-x-lnx-1 = 0 h x _ h X0=0，故原不等式成立.1法二：a时，要证的不等式为xeXx I n x -1 K 0 令t=xx，则h t =h xx.2故问题化为证不等式t-1 nt-1_0恒成立.x三0,：时，t二xeX0,：1 t一1令h t =t -Int -1，则h t严1，当t 0,1时，h t : 0,h t递减；当t1：时，ht 0,h t递增. ht_h1=0，从而原不等式成立.【点睛】此题考查通过导函数求在某点处的切线，通过导函数证明不等式，其中用到隐零点问题解法，常用方法作差构造新函数，若能考虑换元法由经典不等式讨论最值会更加简单 工X = 1 COST2222 .在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(v为参数，且)=s