2020届吉林省延边州高三下学期4月教学质量检测数学(理)试题(解析版)

1、第1 1页共 2323 页2020 届吉林省延边州高三下学期 4 月教学质量检测数学（理）试题一、单选题1已知全集I 1,2,3,4,5,6,7,8,9，集合A 3,4,5,6，集合B 5,6,7,8，则图中阴影部分所表示的集合为（）A A.3,4,7,8B B.3,4,5,6,7,8C C.1,2,9D D.5,6【答案】A A【解析】由图象可知阴影部分对应的集合为（AUB）ICI（AI B），根据集合的运算，即可求解. .【详解】由题意，全集I 1,2,3,4,5,6,7,8,9，集合A 3,4,5,6，集合B 5,6,7,8,可得AUB 3,4,5,6,7,8, AI B 5,6,所以C

2、|(AI B) 1,2,3,4,7,8,9,由图象可得阴影部分表示的集合为（AUB）I C|（AI B） 3,4,7,8. .故选：A.A.【点睛】本题主要考查了集合基本概念及运算，其中解答中利用图象先确定集合关系是解答的关键，着重考查了推理与计算能力 122 2 .复数1 i的实部为a，虚部为b，则a b（）1 iA A .3B B.2C C. 2 2D D. 3 3【答案】B B【解析】利用复数的代数形式的乘除运算化简，求得a,b的值，即可求解，得到答案第2 2页共 2323 页【详解】第3 3页共 2323 页121 i1115由题意，复数1 i2ii2i -i,1 i1 i 1i222

3、2十,151 5所以a -,b，则a b2. .222 2故选：B.B.【点睛】A A.81B B.9C C. 9 9D D . 8181【答案】D D【解析】利用两个向量平行、垂直的性质,以及向量的坐标运算，求得x,y的值，即可得到答案 【详解】rrr由题意，向量a x,1,b 2,y,c 4,2,r rx 1因为a/c，可得，解得x 2,42rrrr r r“r r22又由aba,所以abaaa b212 2 1 y 0,解得y 9,所以yx（ 9）281. .故选：D.D.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的平行与垂直的性质的应用，着重考查了推理与计算能力 4 4 .九章算术

4、.均输中有如下问题：今有五人分十钱，令上二人所得与下三人等，上下人差均等，问各得几何.”其意思为 已知甲？乙? ?丙 ? ?丁? ?戊五人分 1010 钱，甲？乙两人所得与丙 ? ?丁？戊三人所得相同，且甲？乙？丙? ?丁？戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？” （钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，乙所得为（）A A .钱B B.7钱C C .8钱D D .钱333 33【答案】B B【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列an，公差为d,根据题意列出方程，利用等差数列的通项公式，即可求解本题主要考查了复数的代数形式的乘除运算, 确运算是解答的关键，着重考查了计算能力其中解答中

5、熟记复数的四则运算法则，准X,17rCy第4 4页共 2323 页【详解】设甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列an，公差为d,由题意可得a1a3a3a4a5,a1a3a3a4a510,所以231d3a19d,2a1d 5，解得a18,d133所以a281 7-钱33 3故选：B.B.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及等差数列的实际应用， 其中解答中认真审题,合理利用等差数列的通项公式，列出方程求得a1,d是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力 5 5 要得到ysin 2x的图象，只需将3ycos2x的图象（）A A .向左平移55个单位长度B B.向左平移个单位长度12

6、6C C.向右平移5个单位长度D D.5向右平移个单位长度126【答案】C C【解析】 根据三角函数的图象变换和三角函数的诱导公式，即可求解【详解】5将函数y cos2x的图象向右平移个单位长度,12象 故选：C.C.【点睛】记三角函数的图象变换规则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力由题可得y5cos2(x ) cos(2 x12)sin(2 x65)-si n(2x即只需将y cos2x的图象向右平移512个单位长即可得到y sin2x1的图本题主要考查了三角函数的图象变换,以及三角函数的诱导公式的应用，其中解答中熟第5 5页共 2323 页6 6 .命题对x 1,2,ax2x a11A

7、 A.aB B.a220”为真命题的一个充分不必要条件是（）C C -a 2D D -ai i第6 6页共 2323 页的取值范围是解答的关键， 着重考查了转化思想， 以及推理与计算能力 7 7.在正方体ABCD AiBICIDI中，点E? ?F? ?G分别为棱AiDi、AiA、AiBi的中点，给出下列四个结论：EF BiC:BCi平面EFG;异面直线FG,BQ所成角的大小为一；AiC平面EFG.其中所有正确结论的序号为（）4A A .B B.C C .D D .【答案】D D【解析】根据题意画出图形，利用空间中的直线与直线，直线与平面，平面与平面位置关系，逐一判定，即可求解 【详解】如图所示

8、，对于中，连接ADi，则EF /BCi，而BCiDC，则EF BiC，所以是正确的；对于中，因为EF /BCi,EF平面EFG,BCi平面EFG，所以BCi/平面EFG，所以是正确的；对于中，FG /A0，所以ABiC为异面直线FG和B.C所成角，连接AC，可得【答案】C C【解析】根据命题为真命题求出命题的等价条件, 即可求解. .结合充分不必要条件的定义进行判断,【详1,2，ax2x a 0”等价于x 1,2 ,axx21令f x又由当要使得故选：C.C.【点本题主要考查了充分条件和必要条件的判定及应用,其中解答中根据恒成立求得实数a由题意，命题対x则a1成立的一个充分不必要条件是a 2.

9、 .2詔，第7 7页共 2323 页AB1C为等边三角形，所以ABIC-，即异面直线所成的角为3，所以不正确;对于中，ACIEF , ACIEG,EF I EG E，所以ACI平面EFG，所以是正 确的. .故选：【点睛】本题主要考查了空间中的直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系的判定及应用，其中解答中熟记空间中的线面位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力. .圆C的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是(4或k 033或k3 14形为正方形，进一步用点到直线的距离公式，列出方程，即可求解【详解】圆C的两条切线互相垂直，如图所示，根据过点 P P 的圆C的两

10、条切线互相垂直，可得四边形APBC为正方形,所以PC . ( 2)2( 2)22，“ c、，k 2 428 8.已知圆C: x 12，若直线ykx 4上总存在D D.k3 1【答案】A【解析】直接利用直线和圆的位置关系,由于存在点 P P 使圆的两条切线垂直， 得到四边由题意，圆C : x2y 22,若直线ykx 4上总存在点P,使得过点P的第8 8页共 2323 页所以只需圆心(1, 2)到直线ykx4的距离d2,4第9 9页共 2323 页解得k或k 0. .3故选：A.A.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式的应用，着重考查了运算能力和转化思想的应用 9 9.

11、 20132013 年 5 5 月，华人数学家张益唐教授发表论文素数间的有界距离，破解了 孪生素数猜想”这一世纪难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式孪生素数就是指相差2 2 的1B B.5【答案】B B件，利用古典概型的概率计算公式，即可求解【详解】2由题意，从 6 6 对数据中选出两对，共有C615种不同的选法,其中符合题意取出 4 4 个素数的和大于 100100 的有29,31 和41,43,17,19和41,43,11,13和41,43,共有 3 3 种不同的选法，所以取出 4 4 个素数的和大于 100100 的概率为-1. .15155 5故选：B.B.【点睛】本题主要考查了古典概型

12、的概率计算公式的应用，其中解答中列举出所求事件所包含的素数对，最小的 6 6 对孪生素数是 3,53,5 ,5,7,11,13,17,19,29,31,41,43.现从这 6 6 对孪生素数中取 2 2 对进行研究,则取出的 4 4 个素数的和大于 100100 的概率为（）【解析】根据题意先找出符合题意的所有基本事件,再找出所求事件中所包含的基本事22第1010页共 2323 页基本事件的个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力22第1111页共 2323 页作正三角形 MFMF1F F2，若边MF!的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A.A. -B B.2.3 1C C.4

13、 2,3D D.3 12【答案】D D【解析】先根据双曲线方程求得焦点坐标，进而可求得三角形的高，得到点M M 的坐标,再求得点 N N 的坐标，代入双曲线的方程求得a,b,c的关系，即可求得双曲线的离心率 【详解】即等边三角形 MFMF的边长为 2c2c，所以MF1F2的高为、3c，即M （0, . 3c）,整理可得b2c23a2c24a2b2,两边同除 a a4，可得e48e240,解得e24 2-3,又因为e 1，所以e24 2.3，即e 3 1. .故选：D.D.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质离心率的求解，其中求双曲线的离心率（或范围），常c见有两种方法：求出a,c，代入公式e一

14、；只需要根据一个条件得到关于a,b,ca的齐次式，转化为a,c的齐次式，然后转化为关于e e 的方程，即可得 e e 的值（范围）.1111.三棱锥P ABC内接于半径为 2 2 的球中，PA平面ABC，BAC -，2BC 2 &，则三棱锥P ABC的体积的最大值是（）又由b2c2a2，可得c4a2c23a2c22 244a c 4a,1010 .已知Fi,xF2是双曲线ab2a 0,b0的两个焦点，以线段F1F2为边2由题意，双曲线笃a2y_1的焦点坐标为F1（c,0）, F2（C,0），所以F1F22c,代入双曲线的方程x22yb22c1，可得与a3c21,22第1212页共 23

15、23 页A A .4逅B B.22C C.4V2D D .4234第1313页共 2323 页【答案】C C【解析】利用已知条件求出三棱锥的高，然后求解三棱锥的体积的表达式，进而求得体积的最大值，得到答案 【详解】由题意，三棱锥P ABC内接于半径为 2 2 的球，PA平面ABC，BAC -，2BC 2 2，2 2 2 2可得棱锥的高为PA，则2R即16 8 PA,解得PA 2/2, ,则三棱锥的体积为11V242 AB2AC24血VAB AC PAAB AC, ,3 23323当且仅当AB AC 2时，三棱锥的体积取得最大值4. 2. .3故选：C.C.【点睛】本题主要考查了三棱锥体积的求法

16、，几何体外接球的性质，以及基本不等式的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题 1212 .已知函数，若方程 f f (x x)=口有 4 4 个不同的实根 x xi, X X2,八丿-x-8x4-lb,x 3X X3, X X4,且 X X1 X X2VX X3VX X4,则(匕 + 丄)(X X3+X+X4)= =()A A . 6 6B B. 7 7C C. 8 8D D. 9 9【答案】C C【解析】画出 f f (X X)的图象，由对称性可得 X X3+X+X4= 8 8 ,对数的运算性质可得 X X1X X2= X X 什 X X2, 代入要求的式子，可得所求值.【详解】作

17、出函数 f f(X X)二川血 1 1 玄一 1 1 儿的图象如图，I艾亠8上 +IEf f (X X)= m m 有四个不同的实根 X X1, X X2, X X3, X X4且X X1 X X2 X X3 X X4, 可得 X X3+X+X4= 8 8,且 |log|log2( X X1- 1 1 ) | |= |og|og2(X X2- 1 1) | |,即为 loglog2(X X1- 1 1) +log+log2(X X2- 1 1)= 0 0,即有(X X1- 1 1) ( X X2- 1 1 ) = 1 1,即为 X X1X X2= X X1+X+X2,第1414页共 2323

18、页可得(_L_L j_j_ J J)( X X3+X+X4)= X X3+X+X4= 8 8 故选：c c.yJI.七“入/_ T01234- J-【点睛】本题考查分段函数的图象和应用，考查图象的对称性和对数的运算性质，属于中档题.二、填空题56781313 .在1 X 1 X 1 X 1 X的展开式中，含X5的项的系数是_【答案】84【解析】利用二项式定理求得x5的系数的表达之，再利用组合数的计算公式，即可求解 【详解】,卄、z5678由题意，在1 X 1X 1X1X的展开式中，含X5的项的系数为Cs(1)5C；( 1)5C；( 1)5Cs( 1)584. .故答案为：84. .【点睛】本题

19、主要考查了二项式定理的应用，以及组合数的计算，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. .a61414.在等比数列an中，若a5a74印a?，则_a2【答案】4 4【解析】 根据等比数列的通项公式和题设条件，求得数列的公比，代入即可求得结果【详解】玄5玄74由题意，等比数列an中，若a5a74冃a3，可得q 4,a1a3第1515页共 2323 页又由a6a25aq 4 / q 4. .dq故答案为：4. .【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力1515 若函数f X与g X满足：存在实数t，使得【详解】所

20、以kxln x 1有解，即h :x1xxln x 11有解，x令h xxln x 1，则h x1 In x2xx设x1 In x12,则x14 0,所以x在（0,xxx因为11 In11 0,所以当x1时，hx 0，当0 x 1时，hx 0,所以h x在区间（0,1）上单调递减， 在区间（1,）单调递增，所以当x1，函数h xminh(1)2所以k2，即实数k的取值范围是2,). .故答案为:2,)）上单调递增,t g t，则称函数g x友导”函数已知函数g X23为函数f x x Inx x的导”函则k的取值范【答2,；【解首先求出g x的导数,由题意可知kx2x In x x有解，即k x

21、ln1有解，令h xxx In x 1求得h x的最值，即可求解. .由题意，函数x Ikx2x23，可得gkx 1,因为函数Inx x的友导”函数,第1616页共 2323 页本题主要考查了函数的新定义，以及利用导数在函数中的综合应用，其中解答中合理构造新函数，数列应用导数求解函数的单调性与最值是解答的关键，【点睛】着重考查了分离参数第1717页共 2323 页思想，构造思想，以及推理与运算能力 1616数学中有许多形状优美？寓意美好的曲线，曲线C：X2y2l|xy就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：1曲线C恰好经过 6 6 个整点（即横？纵坐标均为整数的点）；2曲线C上存在到原点的距离

22、超过、2的点；3曲线C所围成的 心形”区域的面积小于 3 3.其中，所有错误结论的序号是 _.【答案】【解析】 将x换成x方程不变，得到图形关于y轴对称，根据对称性，分类讨论，逐一判定，即可求解 【详解】将x换成x方程不变，所以图形关于y轴对称,当x 0时，方程变换为y2xy由x24（x21） 0,解得x所以x只能去整数1,当x 1时，（1,0）,（1,1）,根据对称性可得曲线还经过（1,0），（ 1,1）,所以曲线一共经过 6 6 个整点，所以是正确的；2 2当x 0时，由x2y21 xy，可得x2y21 xy，当且仅当xy时取2等号，当x 0时，代入可得1， 即曲线经过点 （0,10,1）

23、 ， （0 0， 1 1） ,0或y 1，即曲线经过第1818页共 2323 页所以x2y22，所以,x2y22,即曲线C上y轴右边的点到原点的距离不超过2,根据对称性可得：曲线 C C 上任意一点到原点的距离都不超过2，所以不正确；如图所示，在x轴上图形的面积大于矩形ABCD的面积：S 1 22，x轴下方的1面积大于等腰三角形ABE的面积：S22 2 1 1,所以曲线 C C 所围成的 心形”区域的面积大于2 13，所以不正确的 故选： 1y1L*y【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，以及曲线与方程的应用， 其中解答中合理利用图形的对称性，逐一判定是解答的关键，着重考查了数形结合思想

24、，以及推理与运算能力 三、解答题1717 .在锐角ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且43asin BcosB b cosAsinBc.2(1) 若2a 3c 6，求边b的大小；1(2)若cos AcosC且 b b 2 2 3 3，求ABC的面积.4【答案】(1 1) -、7(2 2)3 3【解析】(1)1)利用正弦定理和三角恒等变换的公式，化简整理得sinBsinC丄3sinC,2求得sin B的值，进而得到cosB的值，最后利用余弦定理，即可求解. .3(2 2)根据题设条件，求得sin Asi nC,再利用正弦定理，求得b2ac，得到第1919页共 2323 页4ac 1

25、2，利用三角形的面积公式，即可求解【详解】/3第2020页共 2323 页()由题意，在ABC中，因为asin BcosB bcosAsinB c,2、1所以SABCacsin B2【点睛】余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解 是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题 1818已知ABC中，ABC 90,AC 2、6,BC 2.2，D,E分别是AC,AB的中点，将ABC沿DE翻折，得到如图所示的四棱锥P BCDE，且PEB 120，设F为PC的中点.由正弦定理，可得si n As in B c

26、osBsin B cos As inB2sinC,即sinBsin A cos B cos Asin B3sin C，即sin Bsin A2于sinC,又由AB C，所以sinsinC，所以sin BsinC-JsinC,2在锐角ABC中，可得B,C(0,)，所以sinC 0,cos B23所以sin B -,2由三角函数的基本关系式,可得厂1cosB 1 sin B一2又由已知得a 3，c2，所以b22 2a c 2accosB解得b ,7. .(2(2)由cos A C cosAcosCsin Asin CcosB1因为cos A cosC，所以4sin Asi nCa a由正弦定理得s

27、insin A Ab bsinsin B B爲，可得acsin Asin Cb2sin2B，ac所以34b23， 整理得b4ac，又因为 b b2 2 3 3，可得b212，即ac12，本题主要考查了正弦定理、如图所示的空间直角坐标系E xyz.第2121页共 2323 页(2)求直线PD与平面PBC所成角的的正弦值.【答案】(1 1)证明见解析(2 2)丄66【解析】(1 1)取BC的中点G，连接DG，FG，得到四边形BGDE是平行四边形，得出DG/BE,DE/BC,从而DE BE,DE PE,证得DE平面PBE, BCBC 丄 平面PBE，进而利用线面垂直的判定定理， 证得 BCBC 丄平

28、面DFG,即可得到BC DF.(2)以E为坐标原点，ED为x轴，EB为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz，求得向量PD和平面PBC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解【详解】(1) 取BC的中点G，连接DG,FG，可得DE BG，且DE/BG,所以四边形BGDE是平行四边形，所以DG/BE,因为D,E分别是AC,AB的中点，所以DE/BC,因为ABC 90，所以DE BE,DE PE,又因为PE BE E,且PE,BE平面PBE,所以DE平面PBE，所以 BCBC 丄平面PBE,因为PB平面PBE，所以BC PB,因为F,G分别为PC,BC的中点，故FG/PB,所以BC FG，

29、又BC BE,DG/BE，所以BC DG.又因为FG I DG G，又FG,DG平面DFG，所以 BCBC 丄平面DFG,又由DF平面DFG，所以BC DF.JX-E J J(1)证明：BCDF;第2222页共 2323 页(2)由(1 1)知：DE平面PBE，以E为坐标原点，ED为x轴，EB为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz.第2323页共 2323 页因为PEB 120，可得PEH 30,在VABC中,ABC 90 ,AC 2、6,BC 2 2，可得AB ._BC 4，所以PE 2,ED . 2，所以点P到 z z 轴的距离为 1 1,可得P 0, 1, ,3，D . 2,0,

30、0，B 0,2,0，C 2一2,2,0即直线PD与平面PBC所成的角的正弦值为想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解1919 .某村为了脱贫致富， 引进了两种麻鸭品种，一种是旱养培育的品种，另一种是水养 培育的品种.为了了解养殖两种麻鸭的经济效果情况，从中随机抽取 500500 只麻鸭统计了它们一个季度的产蛋量（单位：个），制成了如图的频率分布直方图，且已知麻鸭的产【点睛】本题考查了线面位置关系的判定与证明,以及空间角的求解问题

31、，意在考查学生的空间uuu则PB- uuu0,3,. 3，BC22,0,0，PD- 2,1, . 3，设平面PBC的法向量为nx,y,zv uuvn PB 3y J3z所以vuuivn BC 2.2x 0，解得3y，令y 1，可得n 0,1, . 3，0设直线PD与平面PBC所成的角为r umr cosn,PDr uuurn PD ruuurn|PD_2_2、6;66，第2424页共 2323 页蛋量在85,105的频率为 0.660.66.如图所示的空间直角坐标系E xyz.第2525页共 2323 页2(2)已知本次产蛋量近似服从X N,(其中近似为样本平均数，2似为样本方差).若本村约有

32、 1000010000 只麻鸭，试估计产蛋量在110120110120 的麻鸭数量(以各组区间的中点值代表该组的取值).(3) 若以正常产蛋 9090 个为标准，大于 9090 个认为是良种，小于 9090 个认为是次种根据 统计得出两种培育方法的2 2列联表如下，请完成表格中的统计数据，并判断是否有 99.5%99.5%的把握认为产蛋量与培育方法有关.良种次种总计旱养培育160160260260水养培育6060总计340340500500附：X : N ,2，则PX0.6827,P2 X20.9545,P3X30.9973n adbe2K2- ，其中n abed.abeda e b dP K

33、2k。0.1500.1500.1000.1000.0500.0500.0250.0250.0100.0100.0050.0050.0010.001k02.0722.0722.7062.7063.8413.8415.0245.0246.6356.6357.8797.87910.82810.828【答案】(1 1)a 0.042,b 0.02(2 2) 13591359 只(3 3)见解析，有 99.5%99.5%的把握认为产蛋量与培育方法有关.第2626页共 2323 页【解析】（1 1）利用频率分布直方图求出对应的频率值，进而求得（2 2） 根据题意计算,2的值，利用正态分布的性质，即可求解P

34、 110 X 120，进而求得对应的数值；（3 3） 根据题意补充2 2的列联表，计算K2的值，对照临界值表，即可得到结论 【详解】（1 1）由频率分布直方图，可得产蛋量在85,105的频率为 0.660.66,可得产蛋量在85,105的麻鸭数量为500 0.66330（只）所以产蛋量在75,85的麻鸭数量为0.006 10 50030（只）产蛋量在85,95的麻鸭数量为0.024 10 500120（只）产蛋量在115,125的麻鸭数量为0.008 10 50040（只）所以a 330 120500 10 0.042,（2 2）由平均数的计算公式，可得:丄丄P 100 2 10 X 100

35、2 102100 10 1(0.95440.6827)0.1359,2所以 1000010000 只麻鸭中估计产蛋量在 110120110120 的麻鸭数量为0.1359 10000 1359（只）（3 3）根据题意，得到2 2列联表：良种次种总计旱养培育100100160160260260水养培育6060180180240240总计160160340340500500b 500 330 30 40500100.02. .a,b的值;5008030 90 120 100210 110 100 120 401002150030100802120100 902210 100 1002100 100

36、110240100 120100，即10,又由P 110 X 120P 100 10 X第2727页共 2323 页500 100 180 60 160260 240 160 340所以有 99.5%99.5%的把握认为产蛋量与培育方法有关.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图和独立性检验的应用，以及正态分布曲线的性质的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及运算能力a2020 .已知函数f x Inx x.x(1)若 a a 1 1，求曲线f x在点1,f 1处的切线方程；1x 2(2)对任意的x,xf x e x恒成立，请求出 a a 的取值范围.2-1 1【答案】(1 1) y y

37、 x x 1 1 (2 2)a e2 In 22【解析】(1 1 )求出函数的导数，当 a a 1 1 时，可求f (1)、f (1)，根据点斜式求出切线方 程。1X2(2 2)利用参变分类法，已知对任意的x,xf x e x恒成立，即2在给定的区间上的最小值。【详解】1 1解：(1 1)因为 a a 1 1，所以f (x)21,f (1) 1,f (1)2,x x所以切线方程为 y y X X 1 1.x 21(2 2)不等式xf (x) exx2，对任意的x 2，恒成立，即a exxInx对任意的x1一,恒成立.2令v(x)exxlnx,则v (x)1exIn x 1，令(x) exIn

38、x 1，则(x) exx易知(x)在丄，上单调递增,2所以K210.393 7.879，x1a exlnx对任意的x2恒成立，将问题转化为求函数v(x) exxl nx1 1 - - 1 1因为-e2 2 0,(1) e10，且(X)的图象在-,1-,1 上连续，1X1所以存在唯一的x0,1，使得(x0) 0，即e00,则x0ln x0.2X01当X-,X0 时，(x)单调递减；当X (X0,)时，(X)单调递增.2则(x)在X X0处取得最小值,且最小值为X)eln X01丄X1 X。2JX0X11 0,所以v (x)10，即v(x)在,2上单调递增，1所以a e21. 1 ln2 2【点睛

39、】本题考查导数的几何意义，及利用导数取函数的最值问题，属于中档题。2121.已知椭圆2 2xyC.21 aa310的右焦点22F在圆D : x 2y 1上，直线l: x my 3 m 0交椭圆于M,N两点.(1) 求椭圆C的方程；ujunLOT，亠(2) 若OM ON(o为坐标原点)，求m的值;(3)设点N关于x轴对称点为N(N1与点M不重合)， 且直线N1M与x轴交于点P, 试问VPMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理 由.2 2(1) zy123值，得到椭圆的标准方程;uurON，列出方程，求得m的值，即可得到结论;(3(3)由椭圆的对称性可得M为， ,N1

40、X2, y得出 MNMN 的直线方程，求得与x轴第 1919 页共 2323 页【答(3(3)存在，最大值为I.I.【解(1(1)由圆D: x1，令y0，求得c 3或c 1，进而求得a2的(2)把直线 MNMN 的方程与椭圆的方程联立方程组,利用根与系数的关系，结合uuuuOM1第2929页共 2323 页的交点所以P，得到【详解】(1)由题意，圆D:即圆又由FPD与x轴交点分别为b23，因为a2又因为a,10，所以(2(2)设 M M联立方程组所以y-iy2UJIW因为OM代入可得所以mb2X1, y1，Nx2x12my2y33,0c2利用三角形的面积公式和基本不等式，即可求解y21,，1,

41、0，所以c，所以a212或a12，故椭圆方程是x2, y2，整理得14 y2解得x1,1. .6my 36mm24，则mx2(my13)(my23)236 12m22A -，m 4uurON，可得OM36 12m2m24uuuuuuirON3m24m为定值. .360，所以12m2m2(3(3)由椭圆的对称性可得 M M 为，屮，y所以直线MN1的方程为 -y1y2y1X2x-|x2y20，可得xPy1X2人y1y2所以P(4,0)，得到FP1. .所以SABCFP* y22m 122m 4N1x2,2m%y2，解得y2，1143 y1y2* y24yy36m212m2412彳彳9m 12m第3030页共 2323 页29当且仅当m21 时，即m、2时取等号，所以VPMN的面积最大值为m 11.1.【点睛】本题