2020届北京市平谷区高三3月质量监控(一模)数学试题(解析版)

1、第1 1页共 1818 页2020 届北京市平谷区高三 3 月质量监控（一模）数学试题、单选题1 1已知集合Ax|x1,集合Bx | x x 20，那么AU B等于（)A A .x | x2B B.x| 1 x0C C.x|x 1D D.x| 1 x2【答案】A A【解析】求出集合B，然后进行并集的运算即可【详解】/A x|x 1,B x| 2 x 0, AU B x|x 2. .故选：A.A.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合并集的概念和运算，属于基础题A Ay . xB B.f x xsinxC.【答案】C C【解析】结合基本初等函数的奇偶性及单调性，结合各选项进行判断即

2、可【详解】A A:yx为非奇非偶函数，不符合题意;B B :f x xsinx在0,上不单调，不符合题意；C C :2八y xx为偶函数，且在0,上单调递增，符合题意;D D :y x 1为非奇非偶函数，不符合题意.故选：C.C.【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题3 3如果b a 0，那么下列不等式成立的是（）2 2下列函数(。,+?)x x xD D.y x 1上单调递增的是第2 2页共 1818 页A Alog2b log2aD Dab b2【答案】D D【解析】利用函数的单调性、不等式的基本性质即可得出【详解】a1. 33,2,b a,ab b. .2故选：D.D.【

3、点睛】本小题主要考查利用函数的单调性比较大小，考查不等式的性质，属于基础题24 4 .双曲线y2m1 m c的一条渐近线方程为x 2y0，那么它的离心率为( )A A J3B B、,5C C .兰D DJ22【答案】D D【解析】根据双曲线2x2y1 m c的一条渐近线方程为x2y0，列出方程,求出m的值即可. .【详解】2.双曲线乞y21 m c的一条渐近线方程为x 2y 0,m11可得，二m 4,故选：D.D.【点睛】 本小题主要考查双曲线离心率的求法，属于基础题22urn uuuC Cb3 b a 0,log2b log2a二双曲线的离心率ec_5a2第3 3页共 1818 页5 5设直

4、线l过点A 0, 1,且与圆C:x y 2y 0相切于点B，那么AB AC242第4 4页共 1818 页cos 2 xcos 2x( )A A.3B B.3 3C. ,3D D.1 1【答案】B B【解析】过点A0, 1的直线l与圆C:2 2x y 2y0相切于点ULTB，可得BAuurBC 0uuuuuruuuuuu uuuUUU2uuu uuurUUU2uuur2因此ABACABAB BCABAB BCABACT2，即可得出【详解】由圆C2:x2y2y 0配方为 x x2y y 1 121 1,C 0,1，半径T1. .过点A 0,1的直线l与圆C :2:x2y2y0相切于点B,uuuu

5、uu二AB BC0；uuuuuuruuu uuuuuruuu2uuu uuuruuu2uur22二AB ACABABBCABABBCABAC r 3；故选：B.B.【点睛】本小题主要考查向量数量积的计算，考查圆的方程，属于基础题6 6.将函数f xcos2x图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数g x的图4象，如果g x在区间0,a上单调递减，那么实数a的最大值为（）3A A .B B.C C .D D .-8424【答案】B B【解析】根据条件先求出g x的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可【详解】将函数fxcos2x图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数gx的图象，设2x第5 5

6、页共 1818 页则当0 x a时，0 2x 2a,- 2x - 2a -,22 2即一2a -,22要使g x在区间0,a上单调递减，则2a得2a，得a7，即实数a的最大值为-, 故选：B.B.【点睛】A A充分不必要条件B B必要不充分条件D D既不充分又不必要条件【答案】C C【点睛】 本小题主要考查充分、 必要条件的判断，考查向量垂直的表示， 考查向量数量积的运算， 属于基础题. .8 8有一改形塔几何体由若千个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点已知最底层正方体的棱长为 8 8,如果改形塔的最上层正方体的边长小于 1 1，那么该塔形中正

7、方体的个数至少是（）本小题主要考查三角函数图象变换, 考查根据三角函数的单调性求参数，属于中档题7 7设点A,B,C不共线，则uuu nr“ AB ACUULTBC”是“ABuuuimrAC【解析】利用向量垂直的表示、向量数量积的运算,结合充分必要条件的定义判断即可由于点A,B,C不共线，则UUUUUUTUUUUUUUUUT UUUTAB ACBCABAC BC 0UUUUUUTUUUTUUUUUUT2UUU2UUUT2ABACACABAC AB 0ACUUUUUUUUUTUUUi UULT故“ABACBC”是，AC”的充分必要条件【详解】故选：C.C.UUU2ABuuuUU“ABAC;C C

8、.充分必要条件第6 6页共 1818 页【解析】则从下往上第二层正方体的棱长为：、42+42=4=2，从下往上第三层正方2 2体的棱长为：,2、22 24，从下往上第四层正方体的棱长为：.22222.2，以此类推，能求出改形塔的最上层正方体的边长小于1 1 时该塔形中 正方体的个数的最小值的求法【详解】 最底层正方体的棱长为 8 8，则从下往上第二层正方体的棱长为：，.=4、2，从下往上第三层正方体的棱长为：、2 22 224，从下往上第四层正方体的棱长为：2 2 2丿2，2 - 2从下往上第五层正方体的棱长为：222，从下往上第六层正方体的棱长为：,12122，从下往上第七层正方体的棱长为：

9、2221,从卜往上第八层止方体的棱长为：、1221 222改形塔的最上层正方体的边长小于1 1，那么该塔形中正方体的个数至少是8 8故选：A.A.【点睛】 本小题主要考查正方体有关计算，属于基础题9 9 .某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（）B B. 7 7C C. 6 6【答案】A A第7 7页共 1818 页A A . 1 1B B. 2 2C C. 3 3D D. 0 0【答案】C C【解析】由三视图还原原几何体， 借助于正方体可得三棱锥的表面中直角三角形的个数【详解】二该三棱锥的表面中直角三角形的个数为3.3.故选：C.C.【点睛】本小题主要考查由三视图

10、还原为原图，属于基础题I1(单位：W/m2)I60dB,L275dB，那么()124A.105【答案】D D1010 .在声学L（单位：dB）由公式L101g1012给出，其中I为声强4B B.105第8 8页共 1818 页LI112,分别算出 J 和I2的值，从而得到的10丨2值【详解】【解析】由L 101g打得Igl102第9 9页共 1818 页1212 .已知sin-，那么tan sin _【点睛】 本小题主要考查对数运算，属于基础题二、填空题1111如果复数 z z 满足i z 1 i，那么z _（i为虚数单位）. .【答案】、.2【解析】 把已知等式变形， 再由复数代数形式的乘除

11、运算化简， 然后利用复数模的计算 公式求解. .【详解】/ i z 1 i,1 i 1 i i-z21 i，iiz 72,故答案为：,2,2 . .【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数的模的求法，属于基础题 L101g右10 Ig I lg101210lgI12 IgI12，当L160时,lg I110126010126,I1106,当L275时,lg I2101275124.5,I210111106104.5101.510故选:D.D.第1010页共 1818 页本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式，属于基础题51313 .设常数a R，如果x2- 的二项展开式中x项的系

12、数为-80-80,那么a _x【答案】2【解析】利用二项式定理的通项公式即可得出【详解】5rx2a的二项展开式的通项公式：Tr,C5x2 5 raarC5x10 3r,xx令 1010 3r3r 1 1,解得r 3. . a3C；80,解得a 2. .故答案为：2 2【点睛】本小题主要考查根据二项式展开式的系数求参数，属于基础题. .21414如果抛物线y 2px上一点A 4,m到准线的距离是 6 6，那么m _【答案】4.2【解析】先求出抛物线y22px的准线方程，然后根据点A 4,m到准线的距离为 6 6, 列出4卫6，【答20【解析】 由已知利用诱导公式可求cos【详解】，进而根据同角三

13、角函数基本关系即可求解Tsin -245-cos45， 2sin1 cos219tan sin2sin259cos420. .5故答案为：9201692525【点第1111页共 1818 页直接求出结果. .2第1212页共 1818 页【详解】抛物线y22 px的准线方程为x号,由题意得46，解得p 4. .2点A 4,m在抛物线寸2px上，二m22 4 4，二m 4 2，故答案为：42.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，属于基础题1515 .某公园划船收费标准如表：船那两人船限乘2人）四人刪（酿乘斗人毎熾抵金云小时tw130某班 1616 名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为 1

14、 1 小时，每只租船必须坐满,租船最低总费用为 _元，租船的总费用共有 _种可能【答案】3603601010【解析】列出所有租船的情况，分别计算出租金，由此能求出结果【详解】1 1 条四人船 6 6 条两人船时，租金为：100 690640元，2 2 条四人船 4 4 条两人船时，租金为：2 100490560元，3 3 条四人船 2 2 条两人船时，租金为：3 100290480元，1 1 条六人船 5 5 条 2 2 人船时，租金为：130 590580元，2 2 条六人船 2 2 条 2 2 人船时，租金为：2 130290440元，1 1 条六人船 1 1 条四人船 3 3 条 2 2

15、 人船时,租金为:130 100 3 90500元，1 1 条六人船 2 2 条四人船 1 1 条 2 2 人船时,租金为:130 2 100 90420元,2 2 条六人船 1 1 条四人船时，租金为：2 130100360元，当租当租当租当租当租当租当租当租1010 种可能. .当租两人船时，租金为:当租四人船时，租金为:1621690 720元,100400元,综上，租船最低总费用为360360 元，租船的总费用共有第1313页共 1818 页故答案为：360360, 10.10.第1414页共 1818 页【点睛】 本小题主要考查分类讨论的数学思想方法，考查实际应用问题，属于基础题 三

16、、解答题1616在ABC中，B,b、7,求BC边上的高3-J21sin A，sin A 3sinC，a c 2，这三个条件中任选一个，补充在上7面问题中并作答【答案】详见解析【解析】 选择，利用正弦定理求得a，利用余弦定理求得c，再计算BC边上的高. .选择，利用正弦定理得出a 3c,由余弦定理求出c，再求BC边上的高选择，利用余弦定理列方程求出c，再计算BC边上的高【详解】解得即7222选择,在ABC中,a由正弦定理得si nAbsinB由余弦定理得b22ac cosB,化简得c22c解得c 3或c（舍去） ;所以BC边上的高为csin B 3选择，在ABC中, 由正弦定理得sin A又因为

17、si nA3sinC, 所以3sinCsin C，即a 3c；由余弦定理得b22ac cosB,即.7223c3c c化简得7 c27,解得1（舍去）第1515页共 1818 页所以BC边上的高为h csinB 1-1-1. .2 2选择，在ABC中，由a c 2，得a c 2；由余弦定理得b2a2c22accos B,2221即7 c 2c22 c 2 c -,2化简得C2+ 2C3 0，解得c 1或c 3(舍去);所以BC边上的高为h csinB 133. .2 2【点睛】本小题主要考查真闲的了、余弦定理解三角形，属于中档题1717为了解本学期学生参加公益劳动的情况，某校从初高中学生中抽取

18、100100 名学生，收集了他们参加公益劳动时间(单位：小时)的数据，绘制图表的一部分如表1刖/人数0, 5)I, 10)110, 15)15，20)(20, 25)25r30)IL別男6g101094女5121386学X81111107高中(1) 从男生中随机抽取一人，抽到的男生参加公益劳动时间在(2)从参加公益劳动时间25,30的学生中抽取 3 3 人进行面谈，记X为抽到高中的人数，求X的分布列；(3)当x 5时，高中生和初中生相比，那学段学生平均参加公益劳动时间较长(直接写出结果)_ _ _5 5【答案】(1 1) (2 2)详见解析(3 3)初中生平均参加公益劳动时间较长12【解析】(

19、1 1)由图表直接利用随机事件的概率公式求解；(2)X X 的所有可能取值为 0 0，1 1，2 2，3 3由古典概型概率公式求概率，则分布列可求；10,20的概率:第1616页共 1818 页(3)由图表直接判断结果. .【详解】第1717页共 1818 页(1)100100 名学生中共有男生 4848 名，其中共有 2020 人参加公益劳动时间在10,20,设男生中随机抽取一人，抽到的男生参加公益劳动时间在(2(2)X的所有可能取值为 0 0, 1 1，2 2，3.3.随机变量X的分布列为:X0123P7442144122122(3(3)由图表可知，初中生平均参加公益劳动时间较长【点睛】

20、本小题主要考查古典概型的计算，考查超几何分布的分布列的计算，属于基础题1818如图，在三棱柱ADF BCE中，平面ABCD平面ABEF，侧面ABCD为平行交AC与O，连接MO，由MO /FB，得出结论;(2)以A为原点，AC,AB,AF分别为x,y, z z 轴建立空间直角坐标系，求出 平面ACM的法向量，利用夹角公式求出即可【详解】(1)连接BD,交AC与O，连接MO,10,20的事件为A，那么P A2054812C 7 P X 07； P XG；44P X 2CC7 - P XG；22，C5C2131244AB,AC 2AB 4,M为FD的中点(2)45【解析】(1 1)连接BD,第181

21、8页共 1818 页在DFB中，MO/FB,又FB平面ACM,MO平面ACM,所以FB /平面ACM;(2 2)由平面ABCD平面ABEF,AC AB,AB为平面ABCD与平面ABEF的交 线，故AC平面ABEF，故AF AC，又AF AB，所以AF平面ABCD, 以A为原点，AC,AB,AF分别为x,y, z z 轴建立空间直角坐标系，A 0,0,0,C 4,0,0,B 0,2,0,D 4, 2,0,F 0,0,2,M2, 1,1,iruuuUJUU设平面ACM的法向量为mx,y,z,AC4,0,0,AM2, 1,1，mvUJIVAC4x 0ir0,1,1由VUJUV0得mmAM2x y z

22、UJU平面ACF的法向量为AB 0,1,0，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能 力，属于中档题2x ax a1919 .已知函数fx，其中aR. .ex(1)当a 0时，求f x在1,f 1的切线方程;(2 2)求证：f x的极大值恒大于 0.0.1【答案】(1 1)y -x(2 2)证明见解析e【解析】(1 1)求导，代入a 0,求出在x 1处的导数值及函数值，由此即可求得切 线方程；(2) 分类讨论得出极大值即可判断 . .由cos本小题主要考查线面平行的证明,第1919页共 1818 页【详解】1)7Xa 2X2ax a x 2XXee0时,11当af 1-,f 1ee则fX

23、在1,f 1的切线方程为y1x；e(2 2) 证明： 令fx 0,解得X2或x a, 函数f X无极值;当a2时，令f x 0，解得ax 2，令f x0,解得 x xa a 或x 2,函数f x在a,2上单调递增，在,a,2,上单调递减，- f X极大值f 2a 420;e当a2时， 令fx 0,解得2 xa，令f x0,解得x2或xa,函数f x在2, a上单调递增，在,2,a a,上单调递减，x极大值综上，函数f X的极大值恒大于0.0.【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究函数的极值，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题2 22020.已知椭圆C:jX2-y21 a

24、 b 0的两个焦点是Fi,F2,M 2,1在椭圆Ca b上，且MFiMF24,O为坐标原点，直线I与直线OM平行，且与椭圆交于A,B两点连接MA、MB与x轴交于点D,E. .(1) 求椭圆C的标准方程；umr uuu(2) 求证：OD OE为定值当a 2时，f x 0恒成立，此时函数X在R上单调递减,第2020页共 1818 页2 2【答案】(1) 421(2 2)证明见解析第2121页共 1818 页【解析】(1 1)根据椭圆的定义可得a 2，将M代入椭圆方程，即可求得b的值，求得椭圆方程；2 2所以C的方程为乂42yfx(2(2)设直线AB的方程，代入椭圆方程，求得直线MA和MB的方程，求

25、得D和E的LULT UUIT横坐标，表示出OD OE，根据韦达定理即可求证uuurODUUUOE为定值. .【详(1(1)因为MF1MF4，由椭圆的定义得2a点M、2,1在椭圆C上,代入椭圆方程，解得b(2(2)证明：设A Xi,%B X2,y22，直线AB的斜率为二，设直线l的方程为2第2222页共 1818 页联立方程组2X222消去y， 整理得x22tx t2所以% X2XiX2t22，直线MA的直线方程为yiixi2X2，令则XD同理Xy2LULT所以：ODuuuX1.2y1X2.2y21X1y11y21X12 2y11 y21-、2X1X2X-IX2t 1X1X22 2-2、2y11

26、 y21第2323页共 1818 页uur uuu _代入整理得OD OE2耀,UUUT UUU所以OD OE为定值. .【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题，属于中档题2121记无穷数列an的前n项中最大值为Mn，最小值为mn，令bn叫一空，则称2bn是an极差数列”.()若an3n2，求bn的前n项和；(2)证明：bn的极差数列”仍是bn；(3)求证：若数列bn是等差数列，则数列an也是等差数列. .323【答案】(1 1)n n(2 2)证明见解析(3 3)证明见解析443n 2 13【解析】(1 1 )由an是递增数列，得bnn 1,由此能求出bn的前2 2n项和(2)推导出bn 1bnn 1,2,3,max 0也，,bnmin d，,00 Q,由此能证明bn的 极差数列”仍是bn. .(3)证当数列bn是等差数列时，设其公差为d,【详解】(1)解：无穷数列an的前n项中最大值为Mn，最小值为mn,bnn,2bnbn 1M