2020届四川省乐山市高三第三次调查研究考试数学(文)试题(解析版)

1、第1 1页共 2222 页2020届四川省乐山市高三第三次调查研究考试数学(文)试题一、单选题1 1 已知集合M 1,0,1,2,N 1,2,3，则M N() A A.1,2B B.1,0,123C C.2,0,1,2,3D D.-1,0,1,2【答案】B B【解析】直接利用并集运算法则计算可得到答案 【详解】由题得M N 1,0,1,2,3,故选：B.B.【点睛】本题考查了并集运算，属于基础题 乙2 2.已知复数 Z Z1, Z Z2在复平面内对应的点分别为(2 2, - 1 1), (0 0, 1 1),则=Z2A A . 1 1 + 2i2iB B. 1 1 2i2iC C. 2 2 +

2、 i iD D . 2 2 i i【答案】A A【解析】 分析：由点的坐标写出对应复数，再由复数除法法则计算.N 2 i .详解：由题意Z12 i,Z2i, . i(2 i)1 2i.Z2i故选 A A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分 3 3 已知函数f X是奇函数,且X0时，f x sinnX12x,则f 2(2)A A . 2 2B B.2C C. 3 3D D.3【答案】

3、 D D第2 2页共 2222 页【解析】 根据奇函数的性质f Xf X计算可得；第3 3页共 2222 页【详解】n1解：因为f x是奇函数，所以f 2 f 2 sin43,22故选：D.D.【点睛】本题考查奇函数的性质的应用，属于基础题. .2.94 4 已知a46,b4log3,c1 “，则a、b、c的大小关系是（）z213A A a a b b c cB B.a c bC C.bc aD D.cab【答案】B B【解析】 根据指数函数、对数函数的性质分别求出a、b、c的范围，即可比较大小;【详解】4解：由题得a46 64601，b log弓log弓1 0，2.900c-1，故有a c

4、b，33故选：B.B.【点睛】本题考查对数函数、指数函数的性质的应用，属于基础题r -irrrrr5 5.已知向量a与向量m 4,6平行，b5,1,且a1b 14，则a()A A.4,6B B.4, 62岛3.132用3.13C C.,D D.13131313【答案】B Br【解析】设aix, y，根据题意得出关于x、y的方程组,解出这两个未知数的值，即可得出向量a的坐标. .【详解】rirr设a x, y，且m4,6,b5,1,r irr r由a/m得6x 4y,即3x 2y，由a b5x y14，第4 4页共 2222 页3x 2yx4r所以y，解得，因此，a 4, 6. .5x y 14

5、y6故选：B.B.【点睛】本题考查向量坐标的求解，涉及共线向量的坐标表示和向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中等题 6 6 支付宝和微信已经成为如今最流行的电子支付方式，某市通过随机询问100100 名居民（男女居民各 5050 名）喜欢支付宝支付还是微信支付，得到如下的2 2列联表:、寸方式性別支付宝支付徹信支付男401Q女25252附表及公式：K2,n abedabedaebdP K2k0.0500.0100.001k3.8416.63510.828则下列结论正确的是（）. .A A 在犯错的概率不超过100的前提下，认为“支付方式与性别有关”B B 在犯错的概率超过10的前提下，认

6、为“支付方式与性别有关”C C 有99.9以上的把握认为“支付方式与性别有关”D D 有99.9以上的把握认为“支付方式与性别无关”【答案】C C【解析】本题首先可以根据题意得出a 40、b 10、c 25以及d 25，然后将其带入K22n ad cb中，最后通过计算并与表中数据进行对比即可a b c d a c b d得出结果 【详解】由2 2列联表得到a 40,b 10,e 25,d 25,2n ad cb第5 5页共 2222 页代入K2n ad cba bc d a cb d解得K210021000 2509.89，50 50 65 35因为6.6359.8910.828,所以有99.

7、9o以上的把握认为“支付方式与性别有关”，故选：C.C.【点睛】本题主要考查独立性检验的应用，能否明确a、b、c、d所对应的数字是解决本题的关键，考查计算能力，是简单题. .7 7 秦九韶算法的主要功能就是计算函数多项式的值，如图是实现该算法的程序框图. .执行该程序框图，若输入x 2,n 2，依次输入a为 1 1, 2 2, 4 4,则输出的S的值为 ( ). .第6 6页共 2222 页A A . 4 4B B.1010C C. 1111D D.【答案】D D【解析】模拟程序运行，观察变量值的变化，判断循环条件后可得结论.【详解】输入 a a1 1 时，s 0 211,k 0 11，此时k

8、 12不成立；输入a2时，s 1 224,k 112，此时k22不成立;输入a4时，s 4 24 12,k 213，此时k32成立;输出的S的值为 1212,故选：D.D.【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行， 观察程序中变量值的变化, 得出结第7 7页共 2222 页论.【详解】第 6 6 页共 2222 页8 8.函数g(x)x32sin xex的图象大致为(确定函数的奇偶性排除，再求一些特殊的函数值，根据其正负排除一些选项.【详由f( X)x32sin xex|f (x),知 f(x)f(x)为奇函数,排除 D D;f(1)1 2s ini0排除 C C；f273

9、2si n_82 o，排除A.e2故选：B B【点本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可通过确定函数的奇偶性、单调性等性质,特殊的函数9 9如图，在三棱锥A BCD中，ABC ABD CBD90AB BC BD 1，则其外接球的体积为(B B.C C .込n2【答【解由已知可得三棱锥BCD在正方体中，借助正方体的体对角线即为外接球【解【详解】第 6 6 页共 2222 页的直径即可求得结果 第1010页共 2222 页一uuuuUULU0，若PM的最小值为爲，则双曲线C的离心率为（将三棱锥A BCD放入棱长为 1 1 的正方体中,则其外接球即为正方体的外接球，球半径为R R 3 3,2 2

10、所以外接球的体积为V4nR33n. .32故选: :C.C.【点睛】本题主要考查几何体的结构特征以及外接球问题，还考查了空间想象和运算求解的能 力，属于基础题 1010 .数列an中，已知对任意nN*,印a2L( )9n19n19n2A A.B B.C.C.2 2 2【答案】A A【详解】a1a2Lan3n1当n-2,a1a2Lan 13n 11-得an3n13n 112 3n1(rr2), ,又q311 2符合a.2 3n 1an为等比数列，首项印2, ,公比为q 3, ,2an2 2为等比数列, ,首项44, ,公比为q 9, ,故a22 ,24 1 9n9n1a2Lan 2n1 92故选

11、：A【点睛】an31，则31a2L9n22【解析】利用数列的前n项和与通项的关系求解可得n 123n2 3，进而得到3n为等比数列，首项a；4, ,公比为q29再利用等比数列的求和公式求解即可本题主要考查了数列的前n项和与通项的关系以及等比数列的求和公式，属于中档21111已知点P是双曲线Cy2a2 21 a 0上的动点，点M为圆0:x y 1上第1111页共 2222 页C C .违2 2【答案】C C2 2 2【解析】由OM PM,由此得出OM PM OP,由于OM为定值，则PM取最小值时，则OP取最小值，根据双曲线的性质得出点 取最小值a，再由勾股定理以及离心率公式求解即可【详解】2 2

12、 2PM，即OM PM OP，且OM 1若PM取最小值，则OP取最小值由双曲线的性质可知，当点P在为双曲线的顶点时，OP取最小值a2 _此时12a2，此时a 2，cJ5所以e2故选：C C【点睛】本题主要考查了求双曲线的离心率，涉及了向量数量积公式的应用，属于中档题1212已知点A ,0在函数f(x) cos(2 x )(0，且N*，0)24的图像上，直线x是函数 f(x)f(x)的图像的一条对称轴.若6f f (x)(x)在区间 一6，内单3调，则( )25A .-B B.C C.D.6 6336【答案】B B【解析】根据点A,0和x一是函数 f f (x)(x)的图象的一条对称轴，可得24

13、6_ T则有2，再根据 f f (x)(x)在区间，一内单调，可得一_ T，6 2484 6 336 2则有，3，从而2剟3, 又N,所以2或 3 3，然后根据0讨论求解. .【详解】6.33B B. ,3,3P在为双曲线的顶点时，OPuuuu uuur因为OM PM 0，所以OM第1212页共 2222 页T 12由题意知，6 24 8N，即4厂8，解得2，又因为 f f (x)(x)在区间内单调，所以一T6,26 33口12c即_c ,解得,322 6所以2剟3，又N*, 所以2或 3 3当2时,cos 4240得，k3(kZ),又0，所以,此时，直线x是函数 f(x)f(x)的图象的一条

14、对称轴.且 f f (x)(x)36在区间J 6内单调，,所以，33.当3时,cos 6240得，k,(kZ),4又0，所以，此时，cos6 -21，所以直线x不46426是函数 f f (x)(x)的图象的一条对称轴. 所以2,3. .故选： B B.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了分类讨论思想和运算求解的能力，属于中档题 二、填空题1313 .已知函数f x x32x 1，则函数f x在1, f 1处的切线方程为_. .【答案】5x y 3 02【解析】首先求导f x 3x 2，得到斜率k f 15，根据f 12得到切点坐标，再利用点斜式即可写出切线方程 【详解】32因为

15、f x x 2x 1,f x 3x 2,第1313页共 2222 页则k f 15,又因为f 11212，所以切点为1,2故切线方程为y2 5x1，即5xy3 0. .故答案为：5x y 30【点睛】本题主要考查导数的几何意义中的切线问题，属于简单题1414 .小王老师 20182018 年的家庭总收入为 8 8 万元，各种用途占比统计如图所示，20192019 年收入的各种用途占比统计如图所示 已知 20192019 年的就医费用比 20182018 年增加0.7万元，【答案】1010 万元【解析】由已知，根据 20182018 年小王的就医费用的比例可得出小王20182018 年的就医费用

16、, 从而可得出 20192019 年小王的就医费用，继而得出小王 20192019 年生的家庭总收入【详解】由已知得，20182018 年小王的就医费用为810%0.8万元,则 20192019 年小王的就医费用为0.80.71.5（万元），故答案为：1010 万元. .【点睛】本题考查统计图的识别和应用，关键在于能根据统计图得出所反映的信息，属于基础题. .2 2xy1515 .已知椭圆C：二2a b1 a b 0的左焦点为F,A、B分别为C的右顶点和上顶点，直线FB与直线xujunuur口、a的父点为M，右BM 2FB，且AFM的面积为40% - -件轉LUWfisi衣童怪所以小王 201

17、92019 年生的家庭总收入为1.515%10（万元）则小王 20192019 年的家庭总收入为_第1414页共 2222 页如3，则椭圆的标准方程为 _2|0F|0B|1厂,从而得到a 2c，AM 3b，b J3c，再根据AFM的面积|AF|AM|37计算可得；【详解】|OB|1厂AM 3，所以a 2c，3b，b岳，又因为AFM2a c 3b导，解得c 1，2 2所以a 2，b3，故椭圆的标准方程为1. .43【解依题意可得uuuuBM2FB，且OB/AM（O为坐标原点），所以”,uuuu解：由BMuuu口2FB，且OB/AM（0为坐标原点），OFAF第1515页共 2222 页1616 已

18、知数列an的前n项和为Sn，且满足an2Sna.1 有以下结论:数列S2是等差数列；an2 n:3n3n 11. .其中所有正确命题的序口.曰 号是【答案】【解析】由条件求得Sn22Sn 11，可判断，由得an,可判断；由an判断,可得答案.【详解】对于，由条件知，当n 2时，anSnSn 1，所以对任意正整数n，有1SnSn 1Sn51S；Sn1,2又n 1时，求得S1, 所以S2是等差数列，故正确；对于，由可得，Snn,所以Sn.n或,n,所以，当Snn时，anSnSn 1、n、n 1 2 n成立；当& n时，anS.S.1“廿.n 0n，故正确；对于仅需考虑 务，an 1同号的情况即可，

19、可设an,an 1均为正，(否则将数列各项同 时变为相2 2故答案为：1 匕1本题考查求椭圆的标准方程，数形结合思想，属于基础题第1616页共 2222 页反数，仍满足条件)，由得Sn，Sm廿，此时an, n - n 1，an 1、n 1 , n，从而anan 1、n、n 1、.n 1 . n、n、n 1一n 1 n. n 1-、n n 1 n 1，故正确；综上，正确的序号 故答案为：.【点睛】本题考查数列递推式，不等式的证明，属于难度题.三、解答题1717 .在VABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且2 2 2cos C cos B sin A sin A sinC. .(1(1

20、)求角B的值;第1717页共 2222 页(2 2)若a c 7,b 13，求VABC的面积 【答案】(1 1) B Bn(2 2)3.33 3【解析】(D由cos2C cos2B sin2A sin AsinC，利用平方关系得到2 2 2sin B sin C sin A si n As in C，再由正弦定理将角转化为边，得到a2c2b2ac，然后利用余弦定理求得角B.B.1(2 2)结合(1 1 )及a c 7，b J3，由余弦定理求得 acac，再由SABCacsinB求2解 【详解】(J因为cos2C cos2B sin2A sinAsinC，所以si n2B si n2Csi n2

21、A si nAsinC，由正弦定理得b2c2ac，即a2c2b2ac，*csinB 2 12子3育第1818页共 2222 页【点睛】 本题主要考查平方关系，正弦定理和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题 1818 为了治理空气污染，某市设9个监测站用于监测空气质量指数 AQIAQI ，其中在轻度 污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2、4、3个监测站，并以9个监测站测得 的AQI的平均值为依据播报该市的空气质量 . .(1)若某日播报的AQI为119，已知轻度污染区AQI平均值为70，中度污染区AQI所以cos B2ac2b212ac2因为0Bn，所以 B Bn3 3(2 2

22、) 由(1 1)得b22a2 2 2c 2accosB a c ac，即a22c ac13，所以a2c3ac13， 即ac 12，所以SABC900第1919页共 2222 页平均值为115，求重试污染区AQI平均值;（2）如图是2018年11月份30天的AQI的频率分布直方图，11月份仅有1天AQI在140,150内. .Mi我某校参照官方公布的AQI，如果周日AQI小于150就组织学生参加户外活动，以统计数据中的频率为概率，求该校学生周日能参加户外活动的概率； 环卫部门从11月份AQI不小于170的数据中抽取两天的数据进行研究，求抽取的这 两天中AQI值都在170,200的概率. .810

23、【答案】（1 1）157；（ 2 2；. .1521【解析】（1 1）设重度污染区AQI平均值为x，根据题意可得出关于x的方程，进而可 求得x的值；（2 2）计算出11月份30天中AQI不小于150的天数，进而可求得该校学生周日能参 加户外活动的概率；由题意可知，AQI在170,200上的有5天，编号分别设为a、b、c、d、e e，AQI在200,230上的有2天，编号设为m、n，列出所有的基本事件，并确定事件“抽取 的这两天中AQI值都在170,200”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可 求得结果. .【详解】（1 1）设重度污染区AQI平均值为x， 则119 970 2 115 4

24、 3x，解得x 157；8（2 2）AQI在140,170上的有30 30 8天，.6第2020页共 2222 页5AQI在170,200上的有30 305天,9002AQI在200,230上的有30 302天,900所以11月份AQI不小于150天的共8 5 2 1 14天. .148即能参加户外活动的概率为P 114；3015由AQI在170,200上的有5天，编号分别设为a、b、c、d、AQI在200,230上的有2天，编号设为m、n,b,e、b,m、m, n，共21种. .d,e，共10种,从 7 7 天中抽取两天有:a, b、a, c、b, c、b, d、b,n、c,d、c,m、c,

25、n、d,e、d,m、d,n、e,m、e, n、满足条件的有a,b、a,c、a,d、a,e、b, c、b, d、b, e、c,d、c,e、所以满足条件的概率为1021【点本题考查利用平均数求参数,同时也考查了频率分布直方图中频率的计算以及利用古典概型的概率公式求事件的概率，考查计算能力,属于中等题1919.如图，在直三棱柱ABC AB1G中,AB BC, AA2AB 2BC 2, M ,（2）若将直三棱柱ABC A1B1C1沿平面ADB1截开，求四棱锥A BCDB1的表面积. .E为线段MN上的动点 .6第2121页共 2222 页【答案】（1 1）证明见解析；（2 2）3丄22所以AB平面BC

26、C1B1，第2222页共 2222 页【解析】（1 1）连接CM,CN,可证四边形NCDB!为平行四边形，从而得到NC/DB!, 再可得MN/ABi，即可得到平面MCN/平面ADBi，从而得证；（2 2）连接BD即可证明AB平面BCCiBi，得到AB BD，再根据面积公式求出锥 体的表面积即可；【详解】解：（1 1）证明：连接CM，CN，因为N,D分别为BBi，CCCCi中点，1 1所以NB1-BB1，GD -CC1，又因为BB1/CC1，BB1CC1，所以NBJ/CD，NB1CD，所以四边形NCDB1为平行四边形，所以NC/DB1，又M为AB中点，所以MN /AB，又CM CN C，AB1D

27、B1B1，所以平面MCN/平面ADB1，又CE平面 MCNMCN，所以CE/平面ADB1. .（2 2）连接BD，因为AB BC，B1B AB，BCI BB1B，BC平面BCGB1，BB1平面BCC1B1，所以AB BD，第2323页共 2222 页【点睛】本题考查面面平行，线面平行的证明，锥体的表面积的计算，属于中档题2020 .已知曲线C上的点到点F 1,0的距离比到直线l:x 20的距离小1,O为坐标原点. .(1)过点F且倾斜角为45的直线与曲线C交于M、N两点，求MON的面积;(2(2)设P为曲线C上任意一点，点N 2,0，是否存在垂直于 x x 轴的直线I，使得I被以PN为直径的圆

28、截得的弦长恒为定值？若存在，求出I的方程和定值；若不存在，说明理由. .【答案】(1 1)2 2； (2 2)直线I存在，其方程为x 1，定值为2. .【解析】(1 1)利用抛物线的定义可求得曲线C的方程，由题意可得直线MN的方程为y X 1,设点M心、N X2,y2，将直线MN的方程与抛物线C的方程联立， 列出韦达定理，利用三角形的面积公式可求得MON的面积；& ABCSAABB1SAACDS弟形BCDB1在ADB1中，AD所以AD2所以AD所以四棱锥kAB .5，DB12，2.3.6- -，2?月ic 13(2)2第2424页共 2222 页(2 2)假设满足条件的直线l存在，其方程为x

29、a，并设点P xy。，求出以PN为 直径的圆的方程，将x a代入圆的方程，求出弦长的表达式，进而可求得a的值，由第2525页共 2222 页【答案】(1 1)函数x的单调增区间为,单调减区间为此可求得直线I的方程. .【详解】所以曲线C的方程为：y24x. .【点睛】 本题考查利用抛物线的定义求抛物线的方程， 同时也考查了抛物线中定值问题的求解, 考查计算能力，属于中等题 2121.已知函数f x In x 2x x2. .(1 1)讨论函数f x的单调性；f x cosx的零点个数 若函数g x所有零点均在区间m, n(m Z,n Z)内，求nm的最小值 (1(1)依题意得，曲线C上的点到点

30、F 1,0的距离与到直线I : x1的距离相等,过点F且倾斜角为45的直线方程为x 1,设M x-i, y1，N2、yX2, y2，联立y4x，得x 14y 40，则 y yy y24 4，y1y24，贝VSA MAN(2(2)假设满足条件的直线 I I 存在，则以PN为直径的圆的方程为x将直线x a代入，得y2y0yy24 a 2 a x04设直线则y3于是有y1其方程为xxx02 a Xoy21 x0I与以PN为直径的圆的交点为Y4Y0，* 科4a 2 aABy3y4A a,y3、4 a 1 x0a 2 a当a 10，即 a a1 1 时，AB 2为定值. .故满足条件的直线I存在，其方程

31、为x 1. .1：22、y1y2设点y y。4y$22.2；Px),yo，a,y4，2 a 1 x0a 2 a，(2)判断并说明函数g xc 13(2)2第2626页共 2222 页【解析】(1 1)求出导函数f (x)，由f (x) 0确定增区间，由f (x) 0确定减区间;(2)求出导函数g (x)，分类讨论g (x)的正负，确定g(x)的单调性，再根据零点存(2,3),(3,)上有否零点，从而可得n m的最小值.【详解】2解: (1 1)f x In x 2x x的定义域为0,所以f x在o,1 3上单调递增，在J3,上单调递减,2 22(2 2)g x In x 2x x cos x,

32、1当x 0,1时，g x - 2 2x sinx,x因为f x12 2x单调递减,xg X存在两个零点，详见解析;n m的最小值在定理确定零点存在的区间.首先确定(0,1)上有一个零点，然后确定(1叩，(护，1 -2x22xf x-22xxx令fx 0,得x13,X22当x0,13-时,f x 0,21(舍). .2当匚总， 时，f x 0,2因此，函数x的单调增区间为0,13，单调减区间为21.32第2727页共 2222 页所以g x1 220 1,g x在0,上单调递增，又g 11cos10,1 g -In-111ccos0,442164所以存在唯一X10,1，使得g%0. .所以g x

33、单调递减,又gn-2 n 10,2n所以g x 0,g x在x 1,上单调递增 2因为g 11 cosl 0，所以g x 0,故不存在零点当x,3时，g x1-2 2x sinx,g x122 cosx 0,2xx所以g x单调递减,12 4 si n2 0,2所以存在x,2，使得gx00. .当xn2，冷时,g x0,g x单调递增，当xx0,3时，g x0,g x单调递减 又gIn冗2冗 冗0,g 2 In 2 cos20,224g 3In 369 cos30,所以存在唯一X22,3,使得g x20. .当x3,时，g x2 2x 1 2x x 1 x3x 0,故不存在零点综上，g x存在两个零点 人,x2，且x10,1,x02,3, 因此n m的最小值为 3.3.【点睛】2 2x sinx,g xx22 cosx 0,x第2828页共 2222 页本题考查用导数研究函数的单调性，用导数研究函数的零点.解题关键是掌握导数与单调性的关系本题对学生分析问题解决问题的能力，转化与化归能力要求较高，本题属于难题.x 2