2020届北京市东城区高三下学期4月第一次模拟新高考适应考试数学试题

1、-1 -2020 年高考数学（4 月份）第一次模拟试卷、选择题（共 10 小题）.22已知曲线 C 的方程为二二丄，则“a b”是“曲线 C 为焦点在x轴上的椭圆”的（D .既不充分也不必要条件一排 6 个座位坐了 2 个三口之家.若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（已知圆 C 与直线 y=- x 及 x+y- 4= 0 的相切，圆心在直线 y= x 上，则圆 C 的方程为（已知正项等比数列 an中，a1a5a9= 27, a6与 a7的等差中项为 9,贝 U a10=（春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的20 天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖

2、水面面积一半时，荷叶已生长了（上班的职工人数是 20,则这三天都开车上班的职工人数至多是二、填空题共 5 题，每题 5 分，共 25 分.1.已知集合A = x|x (x+1) 0，集合 B = X| 1vxv1，贝yAUB =(2.3.4.A. x|-已知复数1xw1 B.抛物线 xz=2ix|-1vxw0 C.x|-1 2); n 是 ai+ a2+an的因数(n 1)(I)当 m = 5 时，写出数列an的前五项；(n)若数列an的前三项互不相等，且 n 3 时，an为常数，求 m 的值；(川)求证：对任意正整数 m，存在正整数 M,使得 n M 时，an为常数.解： xv0,-6 -参

3、考答案、选择题共 10 题，每题 4 分，共 40 分在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.已知集合 A = x|x (x+1 ) 0，集合 B = x| 1vxv1，贝UAUB =(【分析】先求出集合 A，集合 B,由此能求出 AUB .解：集合 A = x|x (x+1)w0 = x|- 1 b”是“曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆”的()abA充分而不必要条件B.必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件【分析】根据椭圆方程的特点，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.解：若 a b 0，则对应的曲线为双曲线，不是椭圆，即充分性不成立，若曲线 C 为焦点在

4、x 轴上的椭圆，则满足 a- b0,即 a0, bv0，满足 ab，即必要性成立，即“ a b”是“曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆”的必要不充分条件，故选：B.6.排 6个座位坐了 2个三口之家.若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()A. 12B. 36C. 72D. 720【分析】根据题意，由捆绑法分析：先将2 个三口之家的成员进行全排列，再对 2 个三口之家整体进行全排列，由分步计数原理计算可得答案.解：根据题意，先将 2 个三口之家的成员进行全排列，有銘玷=36 种情况，再对 2 个三口之家整体进行全排列，有醐=2 种情况，则有 36X2 = 72 种不同的坐法；故选：C.7.已知

5、圆C与直线 y=- x 及 x+y- 4= 0 的相切，圆心在直线 y = x 上，则圆 C 的方程为()A . ( x - 1)2+ (y- 1)2= 2B.( x- 1)2+( y+1)2= 2C . ( x+1)2+ ( y- 1)2= 4D . ( x+1)2+ (y+1)2= 4【分析】根据圆心在直线y= x 上，设出圆心坐标为(a， a)，利用圆 C 与直线 y=- x 及 x+y - 4 = 0的相切，求得圆心坐标，再求圆的半径，可得圆的方程.解：圆心在 y= x 上，设圆心为(a，a)，圆 C 与直线 y=- x 及 x+y- 4= 0 的相切，圆心到两直线 y=- x 及 x

6、+y- 4= 0 的距离相等，-8 -9圆心坐标为（1, 1）, R=7=!,圆 C 的标准方程为（X - 1）2+ （ y - 1 ）2= 2 .故选：A.&已知正项等比数列 an中，a1a5a9= 27, a6与 a7的等差中项为 9,贝 U a10=()A. 729B. 332C. 181D. 96【分析】正项等比数列an的公比设为 q, q0，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式及性质，解方程可得公比 q,再由等比数列的通项公式计算可得所求值.解：正项等比数列an的公比设为 q, q0,由 a1a5a9= 27,可得 a53= 27,即 a5= 3,即 a1q4= 3,a

7、6与 a7的等差中项为 9，可得 a6+a7= 18,即 ag5+a1q6= 18, 相除可得 q2+q - 6 = 0,解得 q = 2 (- 3 舍去)，贝a10=a5q5=3x32=96.故选：D.9.春天来了， 某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2 倍，若荷叶20 天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了()A . 10 天B . 15 天C . 19 天D. 2 天【分析】由题意设荷叶覆盖水面的初始面积，再列出解析式，并注明x 的范围，列出方程求解即可.解：设荷叶覆盖水面的初始面积为a,则 x 天后荷叶覆盖水面的面积y= a

8、? 2X(x 3+),根据题意，令 2 (a? 2X)= a? 220,解得 x= 19,故选：C.10.某学校高三教师周一、周二、周三坐地铁上班的人数分别是8, 10, 14,若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是 20,则这三天都开车上班的职工人数至多是()A . 8B. 7C . 6D. 5【分析】设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为A, B, C,集合 A, B, C 中元素个数分别为 n (A) , n ( B) , n (C),根据 n(AUBUC) = n (A) +n( B) +n (C) - n (AnB) - n(AnC) - n( BnC) +n(AnBnC

9、)，且 n(AnB) n(AnBnC) , n( AnC) n(AnBnC), n ( BnC ) n(AnBnC )可得.解：设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为A , B, C,集合 A, B , C 中元素个数分别-9 -为 n (A), n (B), n (C),贝yn (A)= 14, n ( B)= 10, n (C)= 8, n (AUBUC)= 20,因为 n (AUBUC)= n (A) +n ( B) +n (C)- n (AnB)- n ( AnC)- n ( BnC) +n (AnBnC),-10 -且 n(AnB)n (A nBnC),n (A nC)n

10、( AnBnC),n(BnC)n (A nBnC),所以 14+10+8-20+ n ( AnBn C) 3n (AnBnC),即卩 n (AnBnc)w11.设向量-i, |不平行，向量 入+|与-1+2 |，平行，则实数【分析】利用向量平行的条件直接求解.解：T向量孔，b 不平行，向量垃+电与赴+2b 平行,二入宜+t =t(3L+2|b|)= t*2tb，rl?2t.故答案为:点（-1,【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，先求得a的值，可得 sina的值.解：T角a的顶点在坐标原点，始边与 X 轴的正半轴重合，将角故答案为：1.13某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为jr

11、审11 1 !： =6.，解得实数匸12.已知角a的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合,将角a的终边按逆时针方向旋转后经过,此时,7Va=，sina=1,a的终边按逆时针方向旋转后经过-:，故a+为第二象限角.可-11 -/*$-2-MI厠（左）钗图t1丄【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的体积. 解：几何体的直观图如图：是长方体的一部分，长方体的棱长为：2，1，2，14四棱锥的体积为： X 1X2X2 =二3314.若顶点在原点的抛物线经过四个点（1, 1）,（2，+），（ 2，1）,（ 4, 2）中的 2 个点，则该抛物线的标准方程可以是x2=8或护=x .【

12、分析】由题意可设抛物线方程为 y2= 2px （ p 0）或 x2= 2py （p 0），然后分类求解得答案.解：由题意可得，抛物线方程为y2= 2px （p0）或 x2= 2py （p0）.若抛物线方程为 y2= 2px （ p 0），代入（1, 1），得 p=二，则抛物线方程为 y2= x,此时（4, 2）在抛物线上，符合题意；若抛物线方程为 x2= 2py （ p 0），代入（2, 1），得 p= 2,则抛物线方程为 x2= 8y,此时（2,十）在抛物线上，符合题意.抛物线的标准方程可以是x2= 8y 或 y2= x.故答案为：x2= 8y 或 y2= x.15某部影片的盈利额（即影片的

13、票房收入与固定成本之差）记为y,观影人数记为 x,其函数图象如图（1）所示.由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后 y 与 x 的函数图象.-io -1图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；2图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本;3图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变;4图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本.其中，正确的说法是（填写所有正确说法的编号）【分析】解题的关键是理解图象表示的实际意义，进而得解.解：由图可知，点 A 纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价,故图（2）降低了成本，但票价保

14、持不变，即对；图（3）成本保持不变，但提高了票价，即对;故选： 三、解答题共 6 题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图 1,在厶 ABC 中，D, E 分别为 AB , AC 的中点，0 为 DE 的中点，AB = AC = 2 壬,BC = 4.将 ADE 沿 DE 折起到AIDE的位置，使得平面 AiDE 丄平面 BCED，如图.（I）求证：AiO 丄 BD;（H）求直线 AiC 和平面 AiBD 所成角的正弦值;【分析】（I）推导出 AiO 丄 DE,从而 AiO 丄平面 BCDE，由此能证明 AiO 丄 BD .（H）以 O 为原点，在平面 BCED 中过

15、点 O 作 DE 的垂线为 x 轴，以 OE 为 y 轴，OAi为 z 轴，建立 空间直角坐标系，由此能求出直线AiC 和平面 AiBD 所成角的正弦值.解：（I）证明：在ABC 中，D,E 分别为 AB,AC 的中点，O 为 DE 的中点，AB = AC =2、，BC = 4.二 AiO 丄 DE ,将 ADE 沿 DE 折起到AIDE的位置，使得平面AIDE丄平面 BCED ,-ii -二 AiO 丄平面 BCDE ,/ BD?平面 BCDE , AiO 丄 BD .(n)解：以 O 为原点，在平面 BCED 中过点 O 作 DE 的垂线为 x 轴,以 OE 为 y 轴，OAi为 z 轴，

16、建立空间直角坐标系,Ai(0, 0, 2), C (2, 2, 0), B (2, 2, 0), D (0, - 1, 0),；：=(2,2,-2), L=(2,-i,0), I=(0,i,2),设平面AiBD 的法向量为n=(x,y,z),，取 x = i，得 |=( i, 2, - i),设直线 AiC 和平面 AiBD 所成角为0,-ii -sinB+cosB =.：,这三个条件中任选一个，补充在下面的弦定理可得 a，最后利用三角形的面积公式计算即可得出;问题中，并解决该问题已知 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,7T ,A一,b=【分析】取 b2-V2aca

17、2+c3,由余弦定理可得 cosB进而解得 B, C 的大小也可得出，再由正弦定理可得 a，最后利用三角形的面积公式计算即可得出;取 acosB = bsinA，由正弦定理可得：tanB = i, B ( 0,n)，解得 B,可得 sinC= sin(A+B)，由正弦定理可得：a，利用三角形面积计算公式即可得出;兀取，、，可得y一，由此可求出 B 的大小，C 的大小也可得出，再由正则直线 AiC 和平面 AiBD 所成角的正弦值为:-15 -VV V2ac V22ac 2ac 2兀因为BG(o,n,所以4由正弦定理si nA sinBbsinA血说岭 l，所以I- I ，得412所以* 一*5

18、兀f讥兀、兀 兀，兀兀一听林迈 所以smL=sin=sin-j-cos_g-+os_j_SLrr_11l广/6W23-h/3.所以若选择 acosB = bsinA，贝UsinAcosB = sinBsinA,因为 sinA丰0，所以 sinB = cosB ,因为由正弦定理_a_Dsi nA sinB，得兀兀JT因为B，所以G二兀-一bsinA PsinV la=T=ViTV兀5兀3571n 71 , Jl 7L 71% _V6S/2亠1 L厂晶砸3+V3呂昌ABC 7absinC=yXV3XV2x_J所以sinC=sin所以(3)若选择 sinB*cosB=,，所以=71严r口5兀、 因为

19、BG(0,n)，所以.-； nA所以，所以由正弦定理si nA sinBanr=亚吨71兀5兀，所以W .，得12，,5兀7T .7T7T ,兀所以sinC=sin-y2_=sin=sin-j-cos_g-+cos_j_SLrr_ -18为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、 乙两-16 -X 136147154189203公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30 天）的快递件数记录结果中随机抽取10 天的数据，制表如图：甲公司某员工丿乙公司某员工R50658333466677C 144222每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲

20、公司规定每件4.5 元；乙公司规定每天 35件以内（含 35 件）的部分每件 4 元，超出 35 件的部分每件 7 元.（I）根据表中数据写出甲公司员工A 在这 10 天投递的快递件数的平均数和众数；（H）为了解乙公司员工 B 的每天所得劳务费的情况，从这10 天中随机抽取 1 天，他所得的劳务费记为 X （单位：元），求 X 的分布列和数学期望；（川）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.【分析】（I）由茎叶图能求出甲公司员工A 投递快递件数的平均数和众数.（n）由题意能求出 X 的可能取值为 136, 147, 154, 189, 203，分别求出相对应的概率，由此能求出X

21、的分布列和数学期望.（川）利用（n）的结果能估算算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.解：（i）甲公司员工A 投递快递件数的平均数为：-1,=一 （32+33+33+38+35+36+39+33+41+40 ）= 36,10众数为 33.（n）设 a 为乙公司员工 B 投递件数，则当 a= 34 时，X = 136 元，当 a35 时，X = 35X4+ (a- 35)x7 元, X 的可能取值为 136, 147, 154, 189, 203,(X = 136) =(X = 189) =(X = 203) =X 的分布列为:(X = 147) =10，(X = 154) =10，-17 -一

22、二、-_i - -p-u - _J.(川)根据图中数据，由(n)可估算：甲公司被抽取员工该月收入=36X4.5X30= 4860 元，乙公司被抽取员工该月收入=165.5X30= 4965 元.19.已知函数 f (x) = lnx - -1.K(1)若曲线 y=f (x)存在斜率为-1 的切线，求实数 a 的取值范围；(2) 求 f (x)的单调区间；戈-pa(3)设函数 g (x)= ，求证：当-1 0时递增，求出 a 的范围即可；(2)求出函数 f (x)的导数，通过讨论 a 的范围，判断导函数的符号，求出函数的单调区间即可；(3 )求出函数 g (x)的导数，根据 f (e)=- 0，

23、得到存在 X0( 1, e)满足 g，( x0)= 0,从而 得到函数的单调区间，求出函数的极小值，证出结论即可.解：(1)由 f (x) = lnx - - 1 得：f( x)=：, ,( x 0),由已知曲线 y= f (x)存在斜率为-1 的切线， f( x )=- 1 存在大于 0 的实数根，即 x2+x+a = 0 存在大于 0 的实数根， y= x2+x+a 在 x0 时递增， a 的范围是(-8，0)；(2)由 f( x)=，( x0)，I得：a 0 时，f( x) 0， f (乂)在(0，+8)递增；a 0，110Z 2 io lo To-18 -若 x (0，- a)，贝Uf

24、( x) 1,f(e)=十0，存在 xo (1, e)满足 f ( xo)= 0,即存在x0 (1, e)满足 g( X0)= 0,令 g(x) 0，解得：xx0,令 gz(x)v0，解得：1vxvX0,故 g (x)在(1 , X。)递减，在(X0, +s)递增， - 1vav0 时，g (乂)在(1, +s)存在极小值.20.已知椭圆 C: x2+3y2= 6 的右焦点为 F .(I)求点 F 的坐标和椭圆 C 的离心率；(H)直线 I: y= kx+m ( k丰0)过点 F，且与椭圆 C 交于 P, Q 两点，如果点 P 关于 x 轴的对称点为P ，判断直线 PQ 是否经过 x 轴上的定

25、点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由.【分析】(I)由椭圆的标准方程即可得出；(II )直线 I: y= kx+m (kz0)过点 F，可得 I: y= k (x - 2).代入椭圆的标准方程可得：(3k2+1)x2- 12k2x+12k2- 6= 0.(依题意 0).设 P(x1,y1) , Q(X2, y2),可得根与系数的关系.点 P 关于 x 轴的对称点为 P，则 P(X1,- y1).可把根与系数的关系代入化简即可得出.- c2= a2- b2= 4,解得 c= 2,(H)直线 I:y=kx + m(k丰0)过点 F,解：(I)：椭圆焦点 F (2, 0)由1vav0,

26、得：0vav1,得直线 PQ 的方程可以为，离心率(n)解：T0anWn1,0a21,0a3 0).12k2IBBiarS=12 k -613k2+lk2+l点 P 关于 x 轴的对称点为则设P(xi, yi), Q (x2, y2),P，则 P (X1,- yi).直线 PQ 的方程可以设为令 y= 0,也卩厂址1珥吨卄冷2x=- 1 =-2511+2kx2(x j-2)+k x j(X2-2)12k2-612b;2也Qj3kz+l並仃122 _-4) 3宀112k=3.直线 PQ 过 x 轴上定点(3, 0).21各项均为非负整数的数列 an同时满足下列条件： ai= m (m N*); n 1 (n 2); n 是 ai+ a2+an的因数(n 1)(I)当 m