2020届吉林省高三第二次模拟数学(文)试题(解析版)

1、第1 1页共 2222 页2020 届吉林省高三第二次模拟数学(文)试题、单选题1 1.若复数 z z 满足(1 2i)z 1 i,则zA A2B B.J05【答案】B B【解析】根据复数的除法、乘法法则，计算【详解】C.卫z z，然后根据复数模的运算方法，可得结果由(1 2i)z 1 i则z1 i1 i1 2i1 3i 2i21 2i 1 2i12i1 2i由2i1 31,所以zi5 5则zJ1223V 555故选：B B【点睛】本题考查复数四则运算以及模的运算，关键在于计算，属基础题2 2.已知集合A x Z x 3,B x|x1或x 2，则 AIAI (GRB)(A A . 0,1,20

2、,1,2B B. 1,0,1C C.0,3D D. 1,0,1,2【答案】D D【解析】根据绝对值不等式的解法，可得集合A，然后依据补集的知识，可得eRB,最后根据交集的概念，可得结果 【详解】由x 33x3所以A x Z|x 32, 1,0,1,2又B x| x 1或x 2,所以6RBx第2 2页共 2222 页第3 3页共 2222 页所以 AlAl GB)GB) 1,0,1,21,0,1,2 故选：D D【点睛】本题考查集合的交集和补集的计算，掌握交集、并集、补集的概念，属基础题3 3 .已知a log87,b log32,c0.1，则（）A A.a b cB B. a a c c b

3、bC C.b a cD D.cab【答案】C C【解析】根据log87 log97，将b log32 log94，利用对数函数的单调性，可得a,b大小关系，然后借助中间值1 1，以及指数函数的单调性，可得结果 【详解】由对数函数比较底数大小口诀：在第一象限，图像越靠近y轴，则底数越小所以可知a log87 log97,而b log32 log94又y loggx在定义域单调递增，所以log97 log94且1 log99 logg7 logg4 log910所以0 b a 1由yx在R上单调递增，所以0.101所以c 1，故c a b故选：C C【点睛】本题考查指数式、对数式比较大小，关键在于

4、比较a,b大小，熟练对数函数底数的比较，学会总结，可简便计算，同时也会借助中间值比较大小，比如：0 0, 1 1，属中档题. .4 4.长久以来，人们一直认为黄金分割比例是最美的，人们都不约而同的使用黄金分割，如果一个矩形的宽与长的比例是黄金比例品1（10 618称为黄金分割比22例），这样的矩形称为黄金矩形，黄金矩形有一个特点：如果在黄金矩形中不停分割出正方形，那么余下的部分也依然是黄金矩形，已知下图中最小正方形的边长为1,则矩形ABCD的长为（）（结果保留两位小数）第4 4页共 2222 页A 10.09B B.11.85c c.9.85D D.11.09【答案】D D【解析】根据黄金分割

5、比例的定义，依次计算各小矩形的长，最后可得结果 【详解】令a亠2如图HEF1所以矩形ABCD的长BC5a故选：D D【点睛】 本题考查新定义的理解，实质上考查等比数列的项的计算，审清题意，细心计算，属基 础题45 5.函数f(x) ( x)cosx( x且x 0)的图象可能为()xfi由EH 1,则EF -，则GH aEF 12a aGH1可知GC3,贝U CDaaCD1所以BC4aaGCa150.61811.09【详解】第 4 4 页共 2222 页【解析】 根据计算f X，判断函数的奇偶性，然后代入特殊值，可得结果【详解】有题可知:f X，可知该函数为奇函数4又f cos所以 A A 正确

6、 故选：A A【点睛】本题考查判断函数的图像，对这种题型，可以从这几个方面进行判断：（1 1 ）定义域；（2 2）奇偶性；（3 3）单调性；（4 4）值域；（5 5 ）取特殊值，属基础题. .6 6 某单位有840名职工，现采用系统抽样方法从中抽取56人做问卷调查，将840人按1，2,3 ,L,840随机编号，若442号职工被抽到，则下列4名职工中未被抽到的是（）A A 487号职工B B.307号职工C C 607号职工D D 520号职工【答案】D D【解析】利用系统抽样的概念，可得抽样距为1515,根据每组抽出号码成等差数列，结合442号在第 3030 组，可知第一组抽出的号码，进一步得

7、到等差数列的通项公式，简单 判断，可得结果 函数的定义域为关于原点对称44x cos Xx cosXXX第6 6页共 2222 页由题可知：抽样距为84015,设第一组抽出的号码为ai,由前 2929 组共有 435435 项，前 3030 组有 450450 项所以可知442号落在第 3030 组所以an7 15 n 115n又nN，所以520号职工不是被抽到的员工故选：D D【点睛】本题考查系统抽样，还考查等差数列通项公式，难点在于求出印，属基础题. .7 7.tan645（）A A 2.3B B.2 23 3C C 23D D 2.3【答案】B B【解析】 将大角化小角，根据诱导公式可得

8、tan75o,然后根据754530，以及两角和的正切公式，可得结果【详解】tan645tan 72075则tan 645tan 75由tan 75tan 4530所以tan 752、3则tan 6452, 3故选：B B又因为每组抽出号码成等差数列an，公差为 1515所以日30 115 442ai当an520528n15tan 75 tan 45 tan 301 tan 4 5ta n30第7 7页共 2222 页【点睛】本题考查诱导公式，以及特殊角的转化，还考查两角和的正切公式，关键在于计算，属第8 8页共 2222 页基础题 r r rr _r r r rr8 8 .若向量a,b满足|

9、a |丿3,|b | 2#6，且满足(2 a b) a，则a与b的夹角为23A A .B B.C C.D D.3344【答案】D D【解析】利用向量垂直关系，可得a b，然后根据向量夹角公式，可得结果【详解】rrrr r r由(2 ab)a，所以(2 a b) a 0则2；2r ab 0，又1 a 1-/3，所以a r b6，由|b| 2、6故选：D D【点睛】 本题考查向量的垂直关系以及向量的夹角公式，掌握公式，细心计算，属基础题119 9 .如图给出的是计算1-L35填入（）12019的值的一个程序框图，则图中空白框中应则cos：a,b-2-2rbrb r ar a第9 9页共 2222

10、页A A .B B.【答案】【解析】【详解】2i 32i 1根据该算法的功能以及按步骤依次计算，采用对选项逐一验证,该程序框图的功能为计算1的值2019由i 1,S0，A A 错，若S则第一次执行:1厂，1不符合5B B 错，若Si2i 1则第一次执行:13，不符合C C 错，若S则第一次执行:D D 正确，若S则第一次执行:1，不符合22i 10 1，然后依次执行，符合题意故选：D D【点睛】D D.S S 2i 1可得结果本题考查程序框图，这种题型，一般依次执行，耐心观察细心计算，属基础题第1010页共 2222 页2x1010 .已知双曲线 ra2y孑21（a 0,b 0）的渐近线与圆（

11、x 1）y2sin2130o相切，则该双曲线的离心率等于 ()1A AB B.1C C 2si n50oD D2cos50oosin 50ocos50【答案】B B【解析】根据双曲线的方程，可得渐近线方程，然后根据直线与圆的位置关系，利用几 何法表示，根据平方关系以及a,b,c的关系，结合离心率公式，可得结果. .【详解】2 2双曲线笃占1的渐近线为bx ay 0a2b2由渐近线与圆（x 1）2y2sin2130o相切2332 o2 o所以 pcos 130 cos 50，c由e ，所以ea故选：B B【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，还考查了双曲线的渐近线，关键在于利用几何法得到关系式子，

12、细心计算，注意角度变换，属基础题1111.设ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c已知2b acosC 0,sin A 3sin( A C)，则bc(a)A A工B B.，14C C2D D .4939【答案】D D【解析】根据正弦定理把角化边，可得a 3b,进一步得到cosC2然后根据余弦所以可得b.a2b2sin 130o两边平方:b2sin2130o，又b2c2a2a2b2222所以ca. 22sin130o，则1冷sin2130o2cc1cos50第1111页共 2222 页3第1212页共 2222 页定理，可得c ,.6b，最后可得结果【详解】在ABC中,sinA sinB所

13、以a 3b，又2b acosC 0由可知：cosC2, 22又cosCa b c2ab把代入化简可得：cbc b、6b则a 3b故选：D D【点睛】2 21212.已知双曲线C:笃為1(a 0,ba b是(【答案】【详解】 如图由sin A 3sin(A C) 3sin B3sin B.6本题考查正弦定理、余弦定理的综合应用,难点在于将c用b表示，当没有具体数据时,可以联想到使用一个参数表示另外两个参数，属中档题0)的焦点为h( 3,0)，F2(3,0)，过F2作直线I与双曲线C的右支交于点A，B两点.BF24 AF2,| AFi|AB|，则C的方程2xA A .32x xB.5 52xD D

14、 . .4【解采用数形结合，计算cos F1ABAFj2|AF2|2BF1, AF1,F1F22AF1AF2以及利用余弦定理,cos F1AB|AB|2|BRAF2 AF1AB,可得a2，最后根据b2c2a2，可得结果 313第1313页共 2222 页JT由|AFi| |AF2|2a，|AFi| |AB|所以|BF2| 2a，又BF24 AF2则AF22，|AFI|5aT，由|BFi|BF22a|BFi| 4acos FjABcosRABcosRABcosRABAF1IAF2I2IF1F22AFIAF225a22旦2c222邑22| AB |BFiAFi2 AFiAB25a225a24a2

15、_5a25a225a22c5a25a2尹I2224a5a2且c 3，计算可得:所以b2a2c2故双曲线方程为:42x x5 5故选：B B【点睛】本题主要考查双曲线的定义，关键在于计算, 注意知识的交叉应用，考验分析能力以及第1414页共 2222 页计算能力，属中档题二、填空题1313 曲线y (3x2x)ex在点(0,0)处的切线方程为_【答案】x y 0【解析】根据函数的导函数以及曲线在某点处导数的几何意义，可得切线的斜率根据点斜式，可得结果 【详解】由y (3x2x)ex，则y(6x 1)ex3x2x ex3x25x 1 exyx o1所以切线方程为：y x，即x y 0故答案为：x

16、y 0【点睛】本题考查曲线在某点处的切线方程,重点在于曲线在某点处导数的几何意义,1414已知数列an是等比数列，其前n项和为Sn，ai1,6a32ae,则3【答案】313【解析】根据等比数列的通项公式计算可得公比q，然后根据等比数列的前然后属基础题. .n项和公式，可得结果. .【详解】设等比数列an的公比为q由6a3a65ag所以q 6旦，又a1所以ai 1 q51 qt1 25313313第1515页共 2222 页故答案为:【点睛】第1616页共 2222 页本题考查等比数列的通项公式以及前n项和公式，重在于对公式的识记，属基础题X1515 .函数f (x) sin(2 x) 8cos

17、的最小值为 _.【答案】 7 7X【解析】 根据诱导公式以及二倍角的余弦公式化简，可得关于cos的二次函数形式,2然后使用换元法以及二次函数的性质，可得结果【详解】由f (x) sin(q x) 8cos|所以f (x) cosxx8cos2cos2xx1 8cos222即f (x) 2cos2-x8cos1, 由1cosx1222令tx cos,t1,12则y2t28t 1,对称轴为t 2所以y2t28t1在1,1递减当t 1，即cos -1时，有fmin(x)72故答案为： 7 7【点睛】本题主要考查二次函数型的最值问题，掌握二次函数的性质，熟练二倍角公式，诱导公式的应用，属基础题. .1

18、616 如图，在五面体ABCDEF中，ABDC,BAD $,CD AD 3，四边形ABFE为平行四边形，FA平面ABCD,FC 5，则直线AB到平面EFCD距 离为.313第1717页共 2222 页【解析】禾U用等价转化的思想转化为点到面的距离，作AG FD，利用线面垂直的判定定理证明AG平面EFCD，然后计算AF,DF使用等面积法，可得结果【详解】作AG FD如图DC平面EFCD，AB平面EFCD所以AB/平面EFCD所以直线AB到平面EFCD距离等价于点A到平面EFCD距离 又FA平面ABCD，CD平面ABCD所以FA CD，又BAD ,则CD AD2AD, FA平面FAD，AD FA

19、A，所以CD平面FADAG平面FAD，所以CD AG【答3、74E由AB/DC，第1818页共 2222 页又CD,FD平面EFCD，CD FD D所以AG平面EFCD所以点A到平面EFCD距离为AG由CDAD 3，所以AC .AD73 2又FC5，所以AF . FC2AC2.7在AFD中，FD . AD2AF24p 113/7又FD AG AD AF AG -224第1919页共 2222 页故答案为：LZLZ【点睛】本题考查线面垂直的综合应用以及等面积法求高,理解能力，分析问题的能力，属中档题 三、解答题1717 为了研究每周累计户外暴露时间是否足够(单位：小时)与近视发病率的关系，对某中

20、学一年级100名学生进行不记名问卷调查，得到如下数据：近视近视不近视不近视足拶的户外暴露时闻足拶的户外暴露时闻2035不足勢的户外暴需时间不足勢的户外暴需时间3015(1) 用样本估计总体思想估计该中学一年级学生的近视率；(2)能否认为在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视 有关系？附:K2_n(adbe)2_(a b)(e d)(a e)(b d)P(K2 k9)0.05C0.0100.0011 &3.8416.6S510.8281【答案】(1 1)-; (2 2)能认为，见解析. .2【解析】(1 1)计算 该中学一年级学生的近视 ”的人数，利用所求人数

21、与总数的比值, 可得结果. .(2(2)计算K2，然后与表格数据进行对比可得结果【详解】(1(1)由题可知:该中学一年级学生的近视”的人数为 5050,总数为 100100,则利用样本估计总体思想可知:n 100, a 20,b35,e 30,d15重点在于使用等价转换的思想,考验该中学一年级学生的近视率:(2 2)由题可知：501100 2第2020页共 2222 页由K2n(ad bc)2(a b)(c d)(a c)(b d)则K2100(20 15 35 30)29.096.635(20 35)(30 15)(2030)(35 15)可以认为在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足

22、够的户外暴露时间与近视有关系【点睛】 本题主要考查统计量K2的计算，重在于计算，属基础题1818已知等差数列an的前n项和为Sn，且a23,0.(1)求数列an的通项公式;(2(2)求使不等式Snan成立的n的最小值.【答案】(1 1) a an2n2n7；( 2 2)8【解析】(1 1)根据等差数列的通项公式以及前n项和，可得a1,d，然后利用公式法,可得结果. .(2 2)根据(1 1)的结论，计算Sn,然后可得结果. .【详解】(1) 设等差数列an的公差为由a23,S60a-id 3a1所以6 5d6a10 d2所以 a a 2n2n 7 7(2) 由(1 1)可知：a an2n2n

23、7 7a1ann2所以Sn- -n 6n2又Snan，所以n26n 2n即n28n 7 0 n 1或门所以使不等式Snan成立的n的最小值为 8 8第2121页共 2222 页【点睛】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式，主要是计算，属基础题1919 .在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，已知DC D。！3AD 3AB 3,AD DC,AB/DC,E为DC上一点，且DE 1.(1)求证：D1E/平面A BD；(2 2)求点D到平面BED1的距离.【答案】(1 1)见解析；(2 2)3卫1010【解析】(1 1)通过证明四边形ABED为平行四边形，可得D1E/A1B，然后根据线面 平行

24、的判定可得结果 (2)作DM D1E交D1E于M，根据DM BE,可得DM平面BED1，然后计 算DM，可得结果 【详解】(1)AB/DC，且3AB DC 3,-AB/DE,AB DE,故四边形ABED为平行四边形，二BE/AD/A1D1,BE AD A1D1,-四边形A1D1EB为平行四边形，/ AB,D1E平面ABD,A1B平面A1BD,D1E/平面A1BD.(2) 过D作DM D1E交D1E于M,如图第2222页共 2222 页-ABCD AB1GD1为直四棱柱，DD1底面ABCD,DD1BE,由(1 1)得BE/AD,TADDC,BEDC，而DCDD1D,-BE平面DCC1D1,DM平

25、面DCC1D1,二BE DM，又TDM,BE IE,二DM平面BED!,点D到平面BEDi的距离即为DM长， DE1,DDi3, D1E .10,DM匸3辽,怖10-点D到平面BEDi的距离为，卫1010【点睛】本题考查线面平行的判定以及点面距离，第(2 2)问中在于找到点D到平面BED1的距离即为DM长，熟练线线、线面、面面之间的关系，考验观察能力以及分析能力，属中档题 132020 .已知函数f(x) sinx xcosx - x，f (x)为 f f (x)(x)的导数.6(1) 证明：f (x)在区间(0,)上不存在零点；213(2) 若f(x) kx xcosx x 1对x (0,)

26、恒成立，求实数k的取值范围.6 2【答案】(1 1)见解析；(2 2)(，-.第2323页共 2222 页- t(x).t(x)0在(0,)上恒成立，即24t(x)在(0,)上单减,21【解析】(1 1) )计算f (x)，然后从中提出函数g(x) sinx qX，根据通过导数研究g(x)单调性，根据g(x)的值域，可知f(x)0,最后可得结果. .(2 2)化简式子，然后使用分离参数的方法，构建新的函数，利用导数研究新函数的单调性，计算新函数的最值并与k进行比较，可得结果 【详解】:g(0) 0，g(3)f石0,140，所以g(x)在(0,)上恒大于 0 0 ,2则f(x)0在(0,)上恒成

27、立,2所以f(x)在区间(0,)上不存在零点.213(2 2)由f (x) kx xcosx x 16，得sinx kx 1,令m(x) xcosx sinx 1,则m(x)xsinx 0恒成立,m(x)m(x)在(0,)上单调递减,2m(x) m(0)10,(1)f(x)xsinx lx2x(sin x x)，令g(x)sin x1x，则g(x)1cosx2(0,)时，g (x)30，g(x)单增;(亍2)时,g(x)0，g(x)单减,x(ay，故ksin x 1x令t(x)sin xx1，则t(x)xcosx sinx 1第2424页共 2222 页二k的取值范围是(，一.【点睛】本题考查

28、导数的综合应用，第(11 1)冋中，难点在于从中分离出函数g(x) sinx - x来研究，第(2 2)问中，难点在于分离参数，且两次使用导数，考验分析能力，属难题2121 .已知0为坐标原点，椭圆2yx21的下焦点为F，过点F且斜率为k的直线与2椭圆相交于A，B两点. .5(2)存在定点，P o,-4【详解】(1 1)以AB为直径的圆与 x x2 2 相切，求该圆的半径；(2 2)在y轴上是否存在定点P，使得PAPB为定值，若存在，求出点P的坐标；若不存在, 请说明理由【答【解(1(1)设直线l的方程为ykx 1, A Xi,yi, B x2,y2，联立直线与椭圆的方程消元可得 x x1x

29、x22k2kk k22 21 1k k22 2，算出AB，由以AB为直径的圆与 x x42相(2)2yo1k22P 0, yo，可算出22yo4yo1kk2LUVPA解出_，解出k即可22 2 2uuvyo2 k 2yo4y1PByo即可k22，要为常数则有切可得2 1 k第2525页共 2222 页由题意可设直线I的方程为y kx1,A为，yi,B X2, y2y12y2x2y kx4 k212消去y，得k214k280恒成立,X Xix2X X2，y22kx2k2k厂，x1x2kx11 kx2k k22 2k2第2626页共 2222 页(2)设P 0, y0,uuv uuvPA PBxx

30、y1y。y2y。为X2* y2y2y1y2y。12 2k24y。y22y。2 k22y24y1k22k22k2270k222由y0222y04y01，得Y05uiu uuuPA PB712416【点睛】涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用设而不求”整体带入”等解法 4m21 m.3(1 m2)21 m标原点0为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是2 sin( -)4.(1) 写出曲线C的普通方程和I的直角坐标方程；(2) 求C上的点到I距离的最小值.22_!Z【答案】(1)C: y 1(y-辛3),l: 、3y x 4 0; (2 2)-.432【解析】(1 1)计算平方和(专)2( )2，消参，并注意y的范围，可得曲线C的普通1 k2解得k、2，3.22圆的半径为l-l. .y轴上存在定点P0,5uur uuu，使得PA2222 .在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(m为参数)，以坐k 2第2727页共 2222 页坐标方程. .（2 2）根据（1 1）的条件假设曲线C上任意一点（2cos,、,3sin ），使用点到直线的距【详解】则C上点到I距离为d,其