2019-2020学年新必修一等式性质与不等式性质教案

1、1 两个实数比较大小的方法a-b0?ab作差法a-b= 0?a二b(a,b R)a-b0?a1?ab_ a作商法b=1?a二b(a R,b0)a-1?ab?bb,bc?ac?可加性ab?a+cb+c?可乘性错误! ?acbc注意c的符号错误！ ？acb+d?同向同正可乘性错误! ?acbd?可乘方性ab0?anbn(n N,n1)a,b同为正数概念方法微思考1 11. 若ab,且a与b都不为 0,则-与匚的大小关系确定吗？a b1 1提示 不确定若ab,ab0,则a0b,则，即正数大于负数.2. 两个同向不等式可以相加和相乘吗？提示 可以相加但不一定能相乘，例如2- 1, - 1-3.基础自测

2、题组一思考辨析1 判断下列结论是否正确(请在括号中打“V”或“X”)(1)两个实数a,b之间，有且只有ab,a=b,ai,则ab.(X)(3) 个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变.(Xa b /ab0,cd0? - .(V)de1 iab0,ab? -0”是“a2-b20”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析a-b0?ab?ab?a2b2,但由a2-b20?a-b0.3.设ba,dc， 则下列不等式中一定成立的是()A.a-cb+d答案 CB. acb+c解析 由同向不等式具有可加性可知题组三易错自纠C 正确.4.若ab0

3、,cda bB.c-d2 且b1 ”是“a+b3 且ab2” 的()答案 D解析 /cd0,. 0-d-c,又 0ba,=bdac,又/cd0,bd ac卄b acdcd,即cdA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 若a2 且b1，则由不等式的同向可加性可得a+b2+ 1 = 3,由不等式的同向同正可乘性可得ab2x1 = 2.即a2 且b1 ”是a+b3 且ab2”的充分条件；反之，若a+1b3 且ab2”，则a2 且b1 ”不一定成立，如a= 6,b=空.所以a2 且b1 ”是a+b3 且ab2”的充分不必要条件.故选A.nn_6._ 若一

4、2a32，U aB的取值范围是_.答案（一n, 0）nn nn解析 由一a2，3 _2，a3，得一na30.题型分类深度剖析- 賣题典题澡糜剖折磴煌难点茅雉探究-题型一比较两个数（式）的大小乂b2a2例 1(1)若a0,bq答案 Bb2a2解析（作差法）pq= +石abfb2-a2ba=ba yb+a)abab，因为a0,b0,所以a+b0.若a=b,贝U pq= 0,故p=q；若ab,贝U pq0,故pq.A. pq2 2a一b22丁 =(ba)A.充分不必要条件B.必要不充分条件综上，pwq.故选 B.已知ab0,比较aabb与abba的大小.a ba ba b a aa-b解a=ba5=

5、b，又ab0，故al,ab0,baa bab- b 1,即护，. b. aa b b a又ab0 ,a ba b,(3)函数的单调性法.跟踪训练 1(1)已知pR,M=(2p+ 1)(p 3) ,N=(p 6)(p+ 3) + 10,则M,N的大小关系为_.答案MN解析 因为 M-N= (2p+ 1)(p 3) (p 6)(p+ 3) + 10 =p2 2p+ 5= (p 1)2+ 40,所以MN若a0,且az7 则()7 a a 7A. 7a7aa7D. 77aa与 7aa7的大小不确定答案7 a7a a 7；77 aa 7= 7a=,7aa，a7 时，071, 7 a0,a则“门滴；当 0

6、a1,7-a0,则；;71,二7a7a.综上，77aa7aa7. aabb与abba的大小关系为:a b baa ba思维升华比较大小的常用方法(1)作差法：作差；变形;定(2)作商法：作商；变形;判断商与 1 的大小关系；结论.解析则当例 2(1)对于任意实数a,b,c,d,下列命题中正确的是()A.若ab, c丰0,则acbcB.若ab,则ac2bc2C.若ac2bc2，贝U ab1 1D.若ab,则舀丘答案 C解析 对于选项 A,当cbc ,CM0,.c0,一定有ab.故选项 C 正确；对于选项 D,当a0,b0a；0ab；a0b；1 1ab0,能推出-b,ab0?-匚，正确.又正数大于

7、负数，所以正确.a b思维升华常用方法：一是用性质逐个验证；二是用特殊值法排除.利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件.跟踪训练 2(1)已知a,b,c满足cba，且acacB. c(b-a)0.2 . 2C. cb0答案 A解析 由cba且ac0,知c0.由bc，得abac一定成立.1 1若abo,则下列不等式：1_a+b|b| :ab；abb2中，正确的不等式有 _.(填序号)答案1 1解析 因为ab，所以ba0,a+b0,题型二-师主共硏所以a+bab, |a|b|，在ba两边同时乘以b,因为b0,所以abb0,给出下列四个不等式：a2b2:2a2bT；a bab；a3+

8、b32a2b.其中一定成立的不等式为()A.B.C.D.答案 A解析方法一由ab0 可得a2b2，成立；由ab0 可得ab 1，而函数f(x) = 2x在 R 上是增函数,f(a)f(b 1)，即 2a2b1,成立；/ ab0, ab，(ab)2 (a-b)2=2pab-2b= 2b(ab)0 , rjab. aijb,成立；若a= 3,b= 2,贝 Va+b= 35, 2a?b= 36,a3+b3b2,2a2b：aba.b均成立，而a3+b32a2b不成立，故选 A. 命题点 2求代数式的取值范围例 4 已知1x4, 2y3,则xy的取值范围是 _, 3x+ 2y的取值范围是 _答案(4,

9、2)(1 , 18)解析T1x4, 2y3, 3 y 2, 4xy2.由1x4, 2y3，得33x12, 42y6, 13x+ 2y18.引申探究若将本例条件改为1x+y4, 2xy3,求 3x+ 2y的取值范围.解 设 3x+ 2y=nmx+y) +n(xy),又；一1x+y4, 2x-y3.5 51322(x+y)10，12(xy)2，|5(x+y) + 扣y)23,323即23x+ 2y2,3 232,.思维升华（1）判断不等式是否成立的方法1逐一给出推理判断或反例说明.2结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断.（2）求代数式的取值范围一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关

10、系的运算求得整体范围.跟踪训练 3（1）若ab_.ab bC |b|b| + 1.|a| |a| + 1答案 C解析（特值法）取a= 2,b= 1，逐个检验，可知 A, B, D 项均不正确;佔Ib| |b|+ 1C 项，parrar?丨口（|ai+1）iai（i切+1）? |a|b| +1b|a|b| + |a| ? |b|a| ,/ab0,.|b|a| 成立，故选 C.已知一 1xy3，则xy的取值范围是 _答案（4, 0）解析T1x3, 1y3, 3y1， 4xy4.nun=3,则nn= 2,in= 2即 3x+ 2y= |(x+y) + 2(x-y),3+ 2y的取值范围为B. a2b

11、n又Txy,.xyb, cd，贝U acbdB.若acbc,则ab卄a b“C.若孑它,则ab, cd，贝y acbd答案 C解析 A 项，取a= 2,b= 1,c= 1,d= 2,可知 A 错误;B 项，当cbc?ab，所以 B 错误；a bC 项，因为20,所以ab, C 正确；D 项，取a=c= 2,b=d= 1,可知 D 错误，故选 C.2.若-bb2B.11b2 2b aCa+bbe答案 D解析 由题意知，ba0,则a2b2旅)1 討bae 0, ba0bea aeb,.aebbea，故选D.3.若ab0,则下列不等式中一定成立的是（）1 1Aa+bb+ab b+ 1C. a-b-a

12、b a答案 A1解析 取a=2,b=1，排除 B 与D；另外，函数f(x)=x-是(0,+R)上的增函数，但函X1数g(x) =x+-在(0 ,1上单调递减，在1 ,)上单调递增，所以，当ab0 时，f(a)f(b)1111必定成立，即ab匸?a+b，但g(a)g(b)未必成立，故选 A.a b b a4.已知xyz,x+y+z= 0,则下列不等式成立的是()A. xyyzB. xzyzC. xyxzD. x|y|z|y|答案 C解析/xyz且x+y+z= 0,/3xx+y+z= 0, 3z0,zz,.xyxz.5.设x0,P= 2x+ 2x, Q= （sinx+ cosx）2，则（）A.PQ

13、B. YQC. PwQD. PQ答案 A解析 因为 2x+ 2x2,2x2x= 2（当且仅当x= 0 时等号成立），而x0,所以P2;2又（sinx+ cosx） = 1 + sin2x,而 sin2xw1,所以QW2.于是PQ故选 A.nn_6 .若a,3满足 a32，则 2a3的取值范围是（）A. n2a 30B. n2a 3n3nnC.-2a 3D. 02a 3n22答案 C解析一a，n2an.2 2 卫3n.n3aa+ 2b b232 , 232 ,nn又a 30, a 2, -2 a 3.3n小n故22 a 30,则b2+孑与a+b的大小关系是 _. a b 11答案b2+a2a+b

14、2a+b0, (ab)0,0.8.已知有三个条件：/be2;勢；邛，其中能成为ab的充分条件的是答案 解析 由ae2be2可知e20,即ab,故ac2bc2”是ab”的充分条件；当e0 时，ab；3当a0,b0 时，ab的充分条件.9.已知a, b,c,d均为实数，有下列命题:c d1若ab0,bcad0,则0 ；a bc d2若ab0, 0,则bcad0；a bc d3右bcad0,匚0,则ab0.a b其中正确的命题是 _ .（填序号）答案解析 /ab0,bcad0, ab0,又aJ0,即 0,ababbcad0,.正确；c d卄bead/bcad0,又一一0, 即卩0,3n22a -30

15、, 正a babab0,.正确.故都正确.2210.设aO 2 ,Ti= cos(1 +a) ,T1=cos(1 -a)，则Ti与T2的大小关系为 _ 答案TiT2解析TT2= (cosicosa sinisina) (cosicosa+ sinisina) = 2sin1sinTi.已知cab0，求证:c a证明(i)Tbead, bd0，二 -,d bTcab0,ca0,cb0.ca cb *a ba b ?-ca0, ca cb|cb0i2.已知 ia4, 2b8，试求ab与：的取值范围.b解因为 ia4, 2b8,所以8 b 2.所以 i 8ab4 2,即一 7ab2.i i i又因为

16、 8b2ia4 所以8b才2,ia即抚2M 技能提升练i3.设 0bai，则下列不等式成立的是()2A.abbiB.logiblogia0a0,bd0,求证:a+bc+dd；c ad+i計i,a+bb三1 1由ab0?厂,a b答案 C解析 方法一（特殊值法）：取b= 1,方法二（单调性法）:20ba?blog1a,B不对;2 22ab0?aab,答案 Bb aC. 2 2 2D.a2abe),y= x,易知当xe 时,函数f（x）单调递减.因为 e34f(4)f(5)，即cba.方法二 易知a,b,c都是正数，b4l 3a4ln33I n4=log8i64b;b= 4 =log6251024

17、1,所以bc.即cbay（0aln(y2+ 1)B. sinxsiny33C. xy2+ 1答案解析方法一 因为实数x,y满足axay（0a1）,所以xy.对于 A,取x= 0,y= 3，不成立;对于B,取x=n,y=n，不成立;D 不对，故选 C.14 .若a=l33ln4b= V，In5c=号A.abcB.cbaC. cabD.bac对于 C,由于f(x) =X3在 R 上单调递增，故X3y3成立；对于 D,取x=- 2,y= 1，不成立.故选 C.方法二 根据指数函数的性质得xy,此时x2,y2的大小不确定，故选项A, D 中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项B 中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，