利用零点分段法解含多绝对值不等式

1、无利用零点分段法解含多绝对值不等式利用零点分段法解含多绝对值不等式对于含有两个或两个以上绝对值不等式的求解问题， 不少同学感到无从下手， 下面介绍一种通法零点分段讨论法一、步骤一、步骤通常分三步：找到使多个绝对值等于零的点分区间讨论， 去掉绝对值而解不等式 一般地 n 个零点把数轴分为 n1 段进行讨论将分段求得解集，再求它们的并集二、例题选讲二、例题选讲例例 1 求不等式|x2|x1|3 的解集分析分析：据绝对值为零时 x 的取值把实数分成三个区间，再分别讨论而去掉绝对值从而转化为不含绝对值的不等式解：解： |x2|2 (2)2 (2)xxxx ，|x1|1 (1)1 (1)xxxx故可把全

2、体实数 x 分为三个部分：x2，2x1，x1所以原不等式等价于下面三个不等式组：()2213xxx ，或()1213xxx ，或()21213xxx 不等式组()的解集是x|x2，不等式组()的解集是，不等式组()的解集是x|x1综上可知原不等式的解集是x|x2 或 x1例例 2 解不等式|x1|2x|3x解：解：由于实数 1，2 将数轴分成(，1，(1，2，(2，)三部分，故分三个区间来讨论 当 x1 时， 原不等式可化为(x1)(x2)x3， 即 x0 故不等式的解集是x|x0 当 1x2 时，原不等式可化为(x1)(x2)x3，即 x2故不等式的解集是无 当 x2 时，原不等式可化为(x

3、1)(x2)x3，即 x6故不等式的解集是x|x6综上可知，原不等式的解集是x|x0 或 x6例例 3 已知关于 x 的不等式|x5|x3|a 的解集是非空集合，求 a 的取值范围解：解： x5 时，|x5|0；x3 时，|x3|0当 x3 时，原不等式可化为x5x3a，即 a82x，由 x3，所以2x6，故 a2当 3x5 时，原不等式可化为x5x3a，即 a2当 x5 时，原不等式可化为 x5x3a，即 a2x81082，故 a2综上知 a2无理不等式与绝对值不等式无理不等式与绝对值不等式考试目标考试目标主词填空主词填空1.含有绝对值的不等式|f(x)|0),去掉绝对值后，保留其等价性的不

4、等式是af(x)a(a0),去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 f(x)a 或 f(x)|g(x)|f2(x)g2(x).2.无理不等式对于无理不等式的求解， 通常是转化为有理不等式(或有理不等式组)求解.其基本类型有两类:0)(0)()()(0)()()(2xfxgxgxfxgxgxf或2)()(0)(0)()()(xgxfxgxfxgxf.3.含有多个绝对值符号的不等式，通常是“分段讨论” ，去掉绝对值符号.4.某些无理不等式和绝对值不等式，可用“换元法”或图像法求解.5.三角不等式|a|b|ab|a|+|b|,此不等式可推广如下：|a1+a2+a3+an|a1|+|a2|+|a3|+|

5、an|当且仅当 a1,a2,a3,an符号相同时取等号.题型示例题型示例点津归纳点津归纳无【例【例 1】解无理不等式.(1)1x2;(2)1x2x4;(3)1x0,故原不等式可化为不等式组:4101xx.(2)因右边 2x 符号不定，故须分两种情况讨论,(3)与(2)类似，也须讨论.【规范解答】【规范解答】(1)化原不等式为:5514101xxxxx.(2)化原不等式为:04201)42() 1(042012xxxxxx或817171218171722101717422xxxxxxxx或或.(3)化原不等式为两个不等式组:0034211) 12(10120122xxxxxxxxx.【解后归纳【

6、解后归纳】将无理不等式转化为有理不等式组，基本思路是分类讨论，要注意解集的交、并运算.对于那些复杂的无理不等式，一般情况下读者不要去研究它，避免消耗太多精力.【例【例 2】解下列含有绝对值的不等式：(1)|x24|x+2;(2)|x+1|2x1|;(3)|x1|+|2x+1|2x1|2(2x1)2(x+1)20.无(2x1+x+1)(2x1x1)03x(x2)00 x2.(3)令 x1=0 得 x=1,令 2x+1=0 得 x=21.当 x21,时,原不等式可化为:(x1)(2x+1)421344321xxx.当 x1 ,21时,原不等式可化为:(x1)+(2x+1)4.由212121xxx1

7、.当 x(1,+)时,原不等式可化为:(x1)+(2x+1)4,故由341431xxx.综上所述知:34,3434, 11 ,2121,34为原不等式解集.【解后归纳【解后归纳】 解含有两个或两个以上绝对值的不等式， 一般方法是分段讨论得出原不等式解集的子集，最后取并集，如何分段?分几段?这只须算出“分点”即可，即“绝对值”为 0 时的变量取值，n 个不同的分点，将数轴分割成了(n+1)段.【例【例 3】若不等式23 axx的解集是(4,m),求 a,m 的值.【解前点津】【解前点津】在同一坐标系中作出两个函数 y=x(x0)及 y=ax+23(x0)的图像.若y=x的图像位于 y=ax+23

8、图像的上方，则与之对应的 x 的取值范围就是不等式的解.【规范解答【规范解答】设 y1=x,它的图像是半条抛物线;y2=ax+23(x0),它的图像是经过点(0,23),斜率为 a 的一条射线.无不等式23 axx的解即当 y1=x的图像在 y2=ax+23(x0)的图像上方时相应的 x 的取值范围， 因为不等式解集为(4,m),故方程23 axx有一个解为4,将x=4代入23 axx得:812344aa.再求方程2381xx的另一个解，得:x=36,即 m=36.【解后归纳【解后归纳】用图像法解不等式，须在同一坐标系中作出两个函数的图像，且图像必须在“公共定义域内” ，要确定那一部分的图像对

9、应于不等式的解集.【例【例 4】解不等式|log2x|+|log2(2x)|1.【解前点津】【解前点津】从 x 的可取值范围入手，易知 0 x0 且 2x0 故 0 x0,log2(2x)0,化简另一个不等式.3.D由 03x10 x313x0 且 4x2(x+1)2271x2.5.B分别画出:y=22xa,与 y=2x+a 的图像，看图作答.6.B|xa|,|ya|xy|=|(xa)(ya)|xa|+|ya|+=2,当|xy|2时,不能推出|xa|且|ya|.7.A若 0abc,且 lgalgb|lgc|lgb|0,ac1(a+c)=ac+1ac=(c1)(a1)0,ac+10,当 log2

10、x0 时,不等式成立,此时 0 x1;当 log2x0 时,|2x+log2x|=2x+|log2x|.9.Bxxx|42,当 0 x2 时,不等式成立,另由0314020140222xxxxx.10.由(|x|1)(|x|3)01|x|3x(3,1)(1,3).11.由 x0 知,xx20,(x2)(x+1)00 x20 x4.12.考察 y=21x,y=x+a 的图像,即直线 y=x+a 在半圆 x2+y2=1(y0)上方a(2,+).13.(1)化原不等式为:0303)3(303xxxxx或13x1.(2)化原不等式为:0232222121) 1(021012222xxxxxxxx22, 032,22:原不等式解集为.14.原不等式等价于:1325523132523xxxxxx或或13255xxx,解之:x7 或315,故原不等式解集为:(,7)(31,+).15.由 a(ax)0 xa.无(1)当