利用角平分线解题

1、无构造角平分线借助其性质解题构造角平分线借助其性质解题在解决三角形的问题中，如果已知条件中涉及到角的平分线，我们则可以考虑利用角的平分线的性质解题.现举例如下.一、证明线段相等例 1 如图 1，在ABC 中，BAC 的角平分线 AD 平分底边 BC.求证 AB=AC.分析：根据已知可知 AD 是BAC 的平分线，可通过点 D作BAC 的垂线，根据角平分线的性质，结合三角形的面积进行证明.证明：过点 D 作 DEAB，DFAC，垂足分别为 E、F.因为 DA 为BAC 的平分线，所以 DE=DF.又因为 AD 平分 BC，所以 BD=CD，所以 SABD=SACD，又 SABD=21ABDE，S

2、ACD=21ACDF，所以 ABDE=ACDF，所以 AB=AC.无图 1图 2二、证明两角的和等于 180.例 2 已知，如图 2，AC 平分BAD，CD=CB，ABAD.求证:B+D=180.分析:因为 AC 是BAD 的平分线,所以可过点 C 作BAD的两边的垂线,构造直角三角形,通过证明三角形全等解决问题.证明:作 CEAB 于 E,CFAD 于 F.因为 AC 平分BAD,所以 CE=CF.在CBE 和CDF 中,因为 CE=CF,CB=CD,所以 RtCBERtCDF,所以B=1,因为1+ADC=180,所以B+ADC=180,无即B+D=180.三、证明角相等例 3 如图 3，在

3、ABC 中，PB、PC 分别是ABC 的外角的平分线，求证：1=2分析：要证明 AP 是BAC 的平分线，需要证明点 P 到BAC 两边的距离相等，可作 PEAB，PGAC，PHBC，易证 PE=PH，PH=PG，从而 PE=PG.证明；过点 P 作 PEAB 于点 E，PGAC 于点 G，PHBC于点 H.因为 P 在EBC 的平分线上，PEAB，PHBC，所以 PE=PH，同理可证 PH=PG，所以 PG=PE，又 PEAB，PGAC，所以 PA 是BAC 的平分线.所以1=2.无图 3图 4四、证明角的平分线例 4 如图 4，DAAB，CBAB，P 是 AB 的中点，PD 平分ADC.求

4、证：CP 平分DCB.分析：因为 DAAB，PD 平分ADC，所以可过点 P 作 PEAC，利用角平分线的性质得到 PE=PA，进而可得到PE=PB.证明：过点 P 作 PEDC，垂足于 E，因为 PD 平分ADC，PAAD，所以 PA=PE，因为 P 为 AB 的中点，所以 PA=PB，所以 PE=PB，因为 CBBP，CEPE，所以 CP 平分DCB五、求角的度数无例 5 如图 5，在ABC 中，ABC=100，ACB=20，CE 平分ACB，D 是 AC 上一点，若CBD=20，求ADE的度数.分析：由于 CE 平分ACB，可过点 E 作ACB 的两边的垂线，通过证明 DE 是ADB 的

5、平分线解决问题.解：作 ENCA，EMBD，EPCB，垂足分别是 N、M、P.因 为 ABD= ABC- CBD=100 -20 =80 ， PBA=180-100=80，所以PBA=ABD，因为 EMBD 于 M，EPCB 于 P，所以 EP=EM，又 CE 平分ACB，ENCA，EPCB，所以 EN=EP，所以 EN=EM，所以 ED 平分ADB，所以ADE=21ADB=2140=20.图 5无“截长补短法截长补短法”在角的平分线问题中的运用在角的平分线问题中的运用人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这

6、一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例.例例 1.1. 已知， 如图 1-1， 在四边形ABCD中，BCAB，AD=DC，BD平分ABC.求证：BAD+BCD=180.分析分析：因为平角等于 180，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.无证明：证明：过点D作 DE 垂直BA的延长线于点E，作DFBC于点F，如图 1-2BD平分ABC，DE=DF，在RtADE与RtCDF中，CDADDFDERtADERtCDF(HL),DAE=DCF.又BAD+D

7、AE=180，BAD+DCF=180，即BAD+BCD=180例例 2.2.如图 2-1，ADBC，点E在线段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB.ABCD图 1-1FEDCBA图 1-2无求证：CD=AD+BC.分析：分析：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.证明：证明：在CD上截取CF=BC，如图 2-2在FCE与BCE中，CECEBCEFCECBCFFCEBCE（SAS）,2=1.又ADBC，ADC+BCD=180，DCE+CDE=90，ADBCE图 2-1

8、ADBCEF1234图 2-2无2+3=90，1+4=90，3=4.在FDE与ADE中，43DEDEADEFDEFDEADE（ASA），DF=DA，CD=DF+CF，CD=AD+BC.例例 3.3. 已知，如图 3-1，1=2，P为BN上一点，且PDBC于点D，AB+BC=2BD.求证：BAP+BCP=180.分析分析：与例 1 相类似，证两个角的和是 180，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明BCP=EAP，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.无证明：证明：过点P作 PE 垂直 BA 的延长线于点E，如图3-21=2，且PDBC，PE=PD，在RtBPE与RtBPD中，BPBPP

9、DPERtBPERtBPD(HL),BE=BD.AB+BC=2BD，AB+BD+DC=BD+BE，AB+DC=BE即DC=BE-AB=AE.在RtAPE与RtCPD中,ABCDP12N图 3-1P12NABCDE图 3-2无DCAEPDCPEAPDPERtAPERtCPD(SAS),PAE=PCD又BAP+PAE=180.BAP+BCP=180例例 4.4. 已知：如图 4-1，在ABC中，C2B，12.求证：AB=AC+CD.分析分析：从结论分析，“截长”或 “补短” 都可实现问题的转化，即延长AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC.证明：方法一（补短法）证明：方法一（补短法）DCB

10、A12图 4-1无延长AC到E，使DC=CE，则CDECED，如图 4-2ACB2E，ACB2B，BE，在ABD与AED中,ADADEB21ABDAED（AAS）,AB=AE.又AE=AC+CE=AC+DC，AB=AC+DC.方法二（截长法）方法二（截长法）EDCBA12图 4-2无在AB上截取AF=AC，如图 4-3在AFD与ACD中,ADADACAF21AFDACD（SAS）,DF=DC，AFDACD.又ACB2B，FDBB，FD=FB.AB=AF+FB=AC+FD，AB=AC+CD.由角平分线引出的线段关系由角平分线引出的线段关系FDCBA12图 4-3无一.过三角形一边的两个顶点分别作

11、两个内角的平分线相交于一点，过这点作这边的平行线与其他两边相截，则截线长等于每个截点到同一边上每个顶点之间的线段长的和。已知：如图 1，、的平分线相交于点 F，过 F作 DE/BC，交 AB 于 D，交 AC 于 E，求证：图 1证明： BF 平分，BE/BC同理可证无即二. 过三角形两个外角（或一个内角与一个外角）的平分线的交点作平行截线，三条截线段的关系又怎么样？请看以下例证。例 1. 已知：如图 2，D 是的外角，的平分线 AD、CD 的交点，过 D 作 EF/AC，交 BA 的延长线于 E，交 BC 的延长线于 F。图 2试指出 AE、FC、EF 的关系。分析： AD 平分，EF/AC

12、无同理可证。而例 2. 已知， 如图 3， D 是的内角与外角的平分线 BD 与 CD 的交点，过 D 作 DE/BC，交 AB 于 E，交AC 于 F。试确定 EF、EB、FC 的关系。图 3分析： BD 平分，DE/BC易证又，CD 平分无EBD而因此，这道习题的命题可推广为：过三角形一边的两个顶点分别作两个内角或两个外角（一个内角与一个外角）的平分线相交于一点，过这点作这边的平行线与其他两边或两边的延长线相截，则截线段的长等于每个截点到同一边上每个顶点之间的线段长的和（或差）。三角形角平分线的应用例析三角形角平分线的应用例析三角形的角平分线是三角形的主要线段之一，它在几何的计算或证明中，

13、起着“桥梁”的作用那么如何利用三角形的角平分线解题呢？下面举例说明一一、 “以角平分线为轴翻折以角平分线为轴翻折”构造全等构造全等三角形三角形此情形可构造两种基本图形如图1、2 所示：如图 1，以 AD 为轴翻折，使点 C 落在 AB 上（即在 ABAAC无DEDE上截取 AE = AC），得ACDAED如图 2，以 AD 为轴翻折，使点 B 落在 AC 的延长线上 （即延长 AC 到 E， 使 AE = AB），得ABDAED例 1如图 3，在ABC 中，AD 平分BAC，AB + BD= AC，求B C 的值（河南省中考题）解法 1：在 AC 上截取 AE = AB ，连结 AEBAD =

14、 DAE，AD = AD，ABDAED，B = AED，BD = DE又AB + BD = AC，CE = BD = DE，C = EDC，B = AED = 2C，B C = 21解法 2：延长 AB 到 E，使 AE = AC ，连结 DE请读者一试二、“角平分线 + 垂线”构造全等三角形或等腰三角形1、根据角平分线的性质作垂线：自角的平分线上任一点向两边作垂线，得两个全等的直角三角形；2、根据等腰三角形的“三线合一”性质作垂线：自角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与另一边相交，则截的一个等腰三角形例 2如图 4，在四边形 ABCD 中，BC BA，AD = DC，BD 平分ABC求证

15、：A + C = 180证明：过点 D 作 DEAB，交 BA 延BC（图 1）（图 2）CAB（图 3）ADE无DFEDF长线于点 E，作 DFBC，交 BC 于点 F BD 平分ABC，DE = DF 又AD = DC，RtEADRtFCD，C = EADEAD + BAD = 180，C+ BAD = 180例 3如图 5，已知等腰 RtABC 中，A = 90，B 的平分线交 AC 于 D，过 C 作 BD 的垂线交 BD 的延长线于 E求证：BD = 2CE .证明： 延长CE交BA的延长线于点F BE 是B 的平分线，BECF，BCF = F，FBC 是等腰三角形CE = FECF

16、 = 2CEAB = AC，ABD = ACF，BAD = CAF = 90，RtBADRtCAFBD = CF = 2CE三、“角平分线 + 平行线”构造等腰三角形1、 自角的平分线上任一点作角的一边的平行线交另一边，得等腰三角形；2、自角的一边上任一点作角平分线的平行线交另一边的反向延长线，得等腰三角形例 4如图 6，在ABC 中，B 和C 的平分线相交于点 F，过 F 作 DEBCF（图 4）ABC（图 5）ABC（图 6）E无DEMNBC，交 AB 于 D，交 AC 于 E若 BD + EC =9，则线段 DE 的长为（）A.9；B.8；C.7；D.6. （河北省中考题）解：DEBC，DFB = FBC FBC = FBD，DFB = FBD，DF = BD同理可证，FE = EC DF + FE = DE，BD + EC = DE，即 DE = 9. 故应选 A.例5如图 7，AB