全国1理科详细答案

1、2006 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷 I ）数学（理）试题A、MnN=?B、 MC1N=M、 C 、 MUN=M2、已知函数y = ex的图像与函数y = f （x）的图像关于直线 y =x对称，则A、x/(2x) = e (x e R)B、/(2.r) = ln2 Inx (.r > 0)C、/(2x) = 2ex (x e R)D、/(2x) = ln2 + Inx (x > 0)3、22双曲线 mx + y =1 的虚轴长是实轴长的2 倍，则 111 =11A、 B、 -4C、 4D、一444、如果复数 （m 2+0（l+ mj） 是实数，则实数m=A、1B 、

2、-1C、 V2D、 -V2TT5、函数 /(x) = tan(x +-） 的单调增区间为A(k7l- ,k7T + ), k eZ2 2B、(k 兀,(k +C( k 兀加 + 一), k&ZD、 (k 兀 ,k 兀+ ), keZ44446AABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为a、b、c。若a、b、c成等比数列，且 c = 2a,13V2V2A_B.C_ .D 、 D4443、选择题：21 、 设集合 M= xlx 2 -x <0 ),N = X I Ixl < 2 ，则D、MUN=R7、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为16KB 、 20714,体积为 16

3、,则这个球的表面积是C、 2471D 、 32 冗A、抛物线 y = -x 2 上的点到直线4x + 3y - 8 =0距离的最小值是138A一BB、 一CC、 一一D、9、设平面向量念，a2?3的和a】+a2+a3=Qo如果平面向量九，b , b 3满足也设21 % I,且外顺时针旋转 30。后与祈同向，其中 i = l, 2, 3, 则A、10 、场 + " + 打=0 B -> /? /?,+设 是公差为正数的等差数歹！巧=0 C、 +/?, 打 =0 D、 /?+/?,+J,若 ai+a2+a3 = 15, (?i (?2a3 = 80,贝U & +tzi2 +

4、G13 =打=0A、11、断）A、12、120B 、 105用长度分别为 2、 3、 4、 5、 6 ，能够得到的三角形的最大面积为8A/5 cm2B 、 6V10C、90单位： cm ）的cm 2设集合 I=1, 2, 3, 4, 5, 选择 I 的两个非空子集 方法共有A 、 50 种二、填空题：B、49 种D 、755 根细木棒围成一个三角形（允许连接，但是不允许折2D 、 20cm2C、 3A/55 cm2B, 要使 B 中最小的数大于 A 中最大的数，C、 48 种D、则不同的选择47 种13、 已知正四棱锥的体积为12,底面对角线长为 2 而，贝侧面与底面所成的二面角等于2x-y&

5、gt;-l14、 设z = 2y-x ,式中变量x、y满足条件< 3i + 2y V23,则z的最大值为y>i15、安排 7位工作人员在 5 月 1 日至 5月 7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在 5 月 1 日和 2 口。不同的安排方法共有种（用数字作答）16、设函数 /(x) = cos(V3x + 人)(0<(p<7i),若 /(x) + f *(x)是奇函数，则仞 =三、解答题：17、 (本题满分12分)AABC的三个内角 A、B、C,求当A为何值时，cosA + 2cos兰兰取得最大值2 并求出这个最大值。18、(本题满分12分)A、B是治疗同一

6、种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A,另2只服用B,然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白2鼠的只数比服用 B 有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A 有效的概率为一，服用 B 有3效的概率为一。2(I )求一个试验组为甲类组的概率；(II) 观察 3 个试验组，用 &表示这 3 个试验组中甲类组的个数，求 &的分布列和数学期望。19、 ( 本题满分 12 分) 如图， "、匕是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线线段，/ C点 A、 B 在 ' 上， C 在匕上， AM = MB =

7、MNo/(I ) 证明 ACXNB ；/(II) 若 ZACB = 60 °,求 NB 与平面 ABC 所成角的余弦值。/NTV 一 NA20、(本题满分12分)在平面直角坐标系 xOy中，有一个以A(0,-73)和 (0,、厅)为焦点、离心率为 *的椭圆。设 椭圆在第一象限的部分为曲线 C,动点P在C 上, C在点P处切线与x、y轴交点分别为 A、B,旦向量0M = 0A + OB求：(I ) 点 M 的轨迹方程；(II ) I 成 I 的最小值。+ X21、(本题满分 14分)已知函数 f(.x) = e"。1-x(I )设a0,讨论y = f(X)的单调性； (II)

8、若对任意xE (0, 1)恒有'f(x) >1,求a的取值范围。412n+l22、 (本题满分12分)设数列 a,的前n项和=-a”-x2+-, = 1,2,3，(I) 求首项与通项an ；nQ(II) 设 7； = ， = 1,2,3,? ，证明： Z】v 一。S”2参考答案、选择题题号123456789101112答案BDABCBCADBBB1. 解：M =.巾 2 一 .*< 0=*10<<1, N = Ax|x| < 2A = x I -2 < x < 2,MCN = M ,选 B.2. 解：函数y = e,的图象与函数 y = f (

9、x)的图象关于直线 y = x对称，所以/'(X)是y = e,的反函数,即 /(x) = lnx,f (2x) = ln2x = lnx + ln2(x0),选 D./13 双曲线mx- +y2 = 1的虚轴长是实轴长的2倍，m 0,且双曲线方程为 +y2=1, a m =44选A.4.复数(m2+z)(l + mz)=(m 2 m)+(l+m3)i是实数，1+m3=0,m= 1,选B.77775.函数 f (x) = tan|x +|的单调增区间满足k7i1<x +1<k7i+167AABC中，1、b、c 成等比数列，且 C = 2Q,贝0 b= 4A a,:.单调增区

10、间为k 一号+选cos B = / + _普-力 2=/_+_4/_2/ 2ac4Q-7. 正四棱柱高为4,体积为16,底面积为4,正方形边长为2,正四棱柱的对角线长即球的直径为2 J&,球的半径为斤，球的表面积是24&,选C.14m 3 秫 2 818. 设抛物线y = /上一点为(m, -m 2),该点到直线 4x + 3y 8 = 0的距离为 ,当2 4m= 一时，取得最小值为一，选A.3 39. W %向、a3的和 +但+。3 = °。僵 、的、顺时针旋转30°后与但、Z?2、。3同向，且=2|%| ,1+。2+ o 3=。，选 D.10 . 2是公

11、差为正数的等差数列，若+角+o 3 = 15，o 1 o 2o 3 = 80，则缶=5，=(5 d)(5 + d) = 16,d=3, Q2 = q +1 °=35, an +an +a13 = 105,选 B.11. 用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为7组成三角形，此三角形面积最大，面积为6面c彻2,选B.12. 若集合 A、 B 中分别有一个元素，则选法种数有C；=10 种；若集合 A 中有一个元素，集合 B 中有两 个元素，则选法种数有 =10 种；若集合 A 中有一个元素，集合 B 中有三个元素，则选法种数有 =5 种；若集合 A 中有一个元素，集合 B 中有四个元

12、素，则选法种数有 C;=l 种;若集合 A 中有两个元素， 集合 B 中有一个元素，则选法种数有 Cj =10 种；若集合 A 中有两个元素，集合B 中有两个个元素，则选 法种数有 C; =5 种;若集合 A中有两个元素，集合 B 中有三个元素，则选法种数有C|=l 种;若集合 A 中有三个元素，集合 B 中有一 ?个元素，则选法种数有=5 种；若集合 A 中有三个元素，集合B 中有两 个元素，则选法种数有 C; =l 种;若集合 A中有四个元素，集合B 中有一个元素，则选法种数有C;=l 种；总计有 49 种，选 B.解法二：集合A 、B 中没有相同的元素，且都不是空集，从 5 个元素中选出

13、2 个元素，有 C ； =10 种选法，小的给A 集合，大的给 B 集合；从 5 个元素中选出3 个元素，有 Cj=10 种选法，再分成1、2两组，较小元素的一组给A 集合，较大元素的一组的给 B 集合，共有2x10=20 种方法;从 5 个元素中选出4 个元素，有 =5 种选法，再分成1、3； 2、 2；3、1两组，较小元素的一组给 A集合，较大元素的一组的给 B 集合，共有 3x5=15 种方法;从 5 个元素中选出 5 个元素，有种选法，再分成 1、 4; 2、3; 3、2;4、两组，较小元素的 n 组给 A集合，较大元素的-组的给B集合，共有4x1=4种方法; 总计为 10+20+15

14、+4=49 种方法。选 B.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在横线上。7113. T 14. 11315.24007116. T6对角线的长为2 店，底面边长为13. 正四棱锥的体积为12,底面/2 也, 底面积为12,所以正四棱锥的高为 3,则侧面与底面所成的面角的正切 tana=面角等于四./2x - y > -114. < 3x + 2y < 23, 在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是 A(0, 1), B(7, 1), C(3, 7), 在 AABC J>1中满足z = 2y - x的最大值是点 C,代入得最大值等于11

15、.15. 先安排甲、乙两人在后 5天值班，有 #=20 种排法，其余 5人再进行排列，有定 =120 种排法，所 以共有 20x120=2400 种安排方法。16. f '(x) = -V3 sin( V3x + A?),1则 f (%) + f 1 (x) = cos(V3x + A?) - A/3 sin(V3x +(p) = 2sin( - V3x - (p), 为奇函数， .6 6三 . 解答题：17. 解：由 A+B+C=7i,得旦鼻=奇 一y，所以有cos旦鼻 =siny .B+CA 2A AcosA+2cos =cosA+2siny =1 2sin+ zsin'y

16、A 23=2(sin 万-2) 2+ 2当sin* =§即A=§时，cosA+2cosA|a取得最大值为§18. 解 : 设 A 表示事件“一个试验组中，服用 A 有效的小鼠有 i 只”， i=0,l,2,B,表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只”，i=0,l,2,1 2 4 2 2 4 1 1 1依题意有：P(A I)=2xa ¥= 6, P(A2 ) =3. P(B。)=2 ><2 =命P(Bi)=2x| 4 = | , 所求概率为 : P=P(B0-Ai)+P(B 0-A2)+P(B rA2) (II) &的可能值为

17、0,1,2,3 且 &? B(3, §). P(&=0)=( )3=§ 昌， P(A=l)=c 31xAx(|) 2=A|4-9 4X,P(a=2)=C 32X(|)2X| =祟,P(&=3)=()3=若&的分布列为：g0123p125100802436472924372944数学期望:E&=3x = 3 .19. 解法一：(I)由已知 /2±M N , / 2±Zi , MNA/i =M,可得平面 ABN.由已知 MN± Zi, AM=MB=MN. 可知AN=NB 且AN± NB.又AN为AC

18、在平面 ABN内的射影.?.AC _LNB(II ) VRtACANARtACNB,乙 AC=BC,XBAnZACB=60°illI : l: AABC 为正三角形.0C?.?RtAANB竺R1ACNB, . ?.NC=NA=NB,因此N在平面 ABC内的射影 H是正三 角 形ABC的中心，连结 BH.ZNBH 为NB与平面ABC所成的角.在 RtZXNHB 中，cosZNBH=和解法二：如图，建立空间直角坐标系M- xyz.令MN=1,则有A(-1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0),(I )VM N 是小&的公垂线，仙2, .，2上平面ABN.，2平行于z轴.故

19、 可设C(O,l,m).于是 成=(l,l,m),屉=(1, 1,0).丄 At- N6=1+(-1 )+0=0 .LAC _LNB./. | A却=IBAI,又已知 /ACB = 60 ". ZiABC(II)VAA =(1,1,m), 为正三角形,AC=BC=AB=2.在 RtACNB aa6=72.可得 NC=/，故 C(0,l, /).连结 MC,作 NH± M C 于 H,设 H(0,Z, 旧) (Z>0). .示 l=(0,l 入一桐入)，藏=(0,1, V2).曲藏=l-X-2Z=0,| ,.?.H (0, I，平)，可得脉=(0,|,平)，连结 BH,

20、则扇=(一 1,汗)，2 2?.?曲昂=0+6 § =0,.,.商昂，又 MCriBH=H".HN 1 平面 ABC,ZNBH为NB与平面 ABC所成的角.又BN=( 1,1,0),? cos 匕NBHV3220.解：椭圆方程可写为: =1a2 b2=3j +春 式中,史寸j得a2=4,b2=/f以曲线、a = 2C的方程为x24-十=1 (x>0,y>0). y=2WI x2 (0<x<l) y '=2x设 P(x°,yo),因 P 在 C 上，有 Ovx°v|, yo=2VI ZX4xny= (x x °+y

21、 °.设 A(x,。)和B(0,y),由切线方程得，y -部,得切线AB的方程为：i 4x=- , y=-.Ix=xo由61V1=6A +拓得M的坐标为(x,y),由x() ,yo满足C的方程，得点 M的轨迹方程为14+ 矿=1 (x>l,y>2)2 2 2 2(II) 0A11 2= x2+y , y = =4+1 A1I 6j?ll 2= x2- I+A2ZJ+5>4+5=9.且当 x2-仁aZ7，即 X=A/3>1 时，上式取等号故1。商1的最小值为3.221.解(I )f(x)的定义域为(一 8)u (1,+匆对f(x)求导数得f'(x)= a,客a 宓7v2_(i)当 a=2 时，f, (x)=2 e-2x, f '(x)在(一 oo,0), (0,1)和(l,+ oo)均大于 0所以oo,l), (l,+oo).为增函x)f(x)在(一(ii)当0<a<2 时,f'(x)>0, f(x)在(一 8,1), (1,+s)为增函数(iii)当a>2 时，0< <1,令 f，(x)=0 ,解得Xi=a当X变化时,f，(x)和f(x)的变化情况如下表：X(° /a-2 (° a)N/a-2a)la-27a ,1)(l.+ o)f'(x