用切片法讨论牟合方盖

1、 July 2, 2012四川大学数学学院 徐小湛牟合方盖 1用切片法讨论牟合方盖用切片法讨论牟合方盖蜀南竹海 July 2, 2012四川大学数学学院 徐小湛牟合方盖 2牟合方盖牟合方盖就是两个半径相同的直交圆柱面所围就是两个半径相同的直交圆柱面所围成的立体。成的立体。教材中一般是利用二重积分计算其体积。教材中一般是利用二重积分计算其体积。本课件用截面的面积的定积分来计算其体积。本课件用截面的面积的定积分来计算其体积。还用数学软件还用数学软件Maple制作了有关动画。制作了有关动画。最后比较牟合方盖与另一个立体的体积。最后比较牟合方盖与另一个立体的体积。 July 2, 2012四川大学数学

2、学院 徐小湛牟合方盖 3求两直交圆柱面求两直交圆柱面222xyR222xzR所围成的立体的体积所围成的立体的体积 July 2, 2012四川大学数学学院 徐小湛牟合方盖 4牟合方盖牟合方盖 July 2, 2012四川大学数学学院 徐小湛牟合方盖 5with(plots):R:=1:x_axis:=plot3d(u,0,0,u=0.1.5,v=0.0.01,thickness=3):y_axis:=plot3d(0,u,0,u=0.1.3,v=0.0.01,thickness=3):z_axis:=plot3d(0,0,u,u=0.1.3,v=0.0.01,thickness=3):zuob

3、iaoxi:=display(x_axis,y_axis,z_axis):zhumian1:=plot3d(R*cos(t),R*sin(t),z,z=0.R*sin(t),t=0.Pi/2,color=yellow):quxian1:=spacecurve(R*cos(t),R*sin(t),R*sin(t),t=0.Pi/2,color=red,thickness=5):quxian2:=spacecurve(R*cos(t),R*sin(t),0,t=0.Pi/2,color=blue,thickness=5):zhumian2:=plot3d(R*cos(t),y,R*sin(t),y

4、=0.R*sin(t),t=0.Pi/2,color=green):display(zhumian1,zhumian2,zuobiaoxi,quxian1,quxian2,scaling=constrained,orientation=28,53);22zRx July 2, 2012四川大学数学学院 徐小湛牟合方盖 6牟合方盖牟合方盖 刘徽在他的刘徽在他的九章算术注九章算术注中，提出一个独特的方法来中，提出一个独特的方法来计算球体的体积：他不直接求球体的体积，而是先计算另一计算球体的体积：他不直接求球体的体积，而是先计算另一个叫个叫牟合方盖牟合方盖的立体的体积。的立体的体积。 在这个立体里面

5、，可以内切一个半径和原本圆柱体一样在这个立体里面，可以内切一个半径和原本圆柱体一样大小的球体，刘徽并指出，由于内切圆的面积和外切正方形大小的球体，刘徽并指出，由于内切圆的面积和外切正方形的面积之比为的面积之比为:4，所以牟合方盖的体积与球体体积之比，所以牟合方盖的体积与球体体积之比亦应为亦应为:4。 可惜的是，刘徽并没有求出牟合方盖的体积，所以可惜的是，刘徽并没有求出牟合方盖的体积，所以亦不知道球体体积的计算公式。亦不知道球体体积的计算公式。 July 2, 2012四川大学数学学院 徐小湛牟合方盖 7下面用截面来研究牟合方盖下面用截面来研究牟合方盖 July 2, 2012四川大学数学学院

6、徐小湛牟合方盖 8xy222xyR222xzRz222xzR222xyR222xzR July 2, 2012四川大学数学学院 徐小湛牟合方盖 9从从 x 轴正向看去轴正向看去yz July 2, 2012四川大学数学学院 徐小湛牟合方盖 10with(plots):R:=1:f:=x-sqrt(R2-x2):a:=-R:b:=R:xzou:=spacecurve(x,0,0,x=a-1.b+1,thickness=3,color=black):yzou:=spacecurve(0,y,0,y=a-1.b+1,thickness=3,color=black):zzou:=spacecurve(

7、0,0,z,z=a-1.b+1,thickness=3,color=black):K:=60:for i from 0 to K do xi:=a+i*(b-a)/K:zhengfangxingi:=spacecurve(xi,f(xi),f(xi),xi,-f(xi),f(xi),xi,-f(xi),-f(xi),xi,f(xi),-f(xi),xi,f(xi),f(xi),thickness=3,color=blue):zhengfangbani:=plot3d(xi,y,z,y=-f(xi).f(xi),z=-f(xi).f(xi),color=grey,style=patchnogri

8、d):qumian1i:=plot3d(x,y,f(x),x=a.xi,y=-f(x).f(x),color=green):qumian2i:=plot3d(x,y,-f(x),x=a.xi,y=-f(x).f(x),color=green):qumian3i:=plot3d(x,f(x),z,x=a.xi,z=-f(x).f(x),color=yellow):qumian4i:=plot3d(x,-f(x),z,x=a.xi,z=-f(x).f(x),color=yellow)od:zhengfangxing:=display(seq(zhengfangxingi,i=0.K),insequ

9、ence=true):zhengfangban:=display(seq(zhengfangbani,i=0.K),insequence=true):qumian1:=display(seq(qumian1i,i=0.K),insequence=true):qumian2:=display(seq(qumian2i,i=0.K),insequence=true):qumian3:=display(seq(qumian3i,i=0.K),insequence=true):qumian4:=display(seq(qumian4i,i=0.K),insequence=true):display(x

10、zou,yzou,zzou,zhengfangban,zhengfangxing,qumian1,qumian2,qumian3,qumian4,scaling=constrained);动画的Maple程序 July 2, 2012四川大学数学学院 徐小湛牟合方盖 11with(plots):R:=1:f:=x-sqrt(R2-x2):a:=-R:b:=R:xzou:=spacecurve(x,0,0,x=a-1/2.b+1/2,thickness=3,color=black):yzou:=spacecurve(0,y,0,y=a-1/2.b+1/2,thickness=3,color=bl

11、ack):zzou:=spacecurve(0,0,z,z=a-1/2.b+1/2,thickness=3,color=black):yuan1:=spacecurve(R*cos(t),R*sin(t),0,t=0.2*Pi,thickness=3,color=red):yuan2:=spacecurve(R*cos(t),0,R*sin(t),t=0.2*Pi,thickness=3,color=red):xi:=1*R:zhengfangxing:=spacecurve(xi,f(xi),f(xi),xi,-f(xi),f(xi),xi,-f(xi),-f(xi),xi,f(xi),-f

12、(xi),xi,f(xi),f(xi),thickness=3,color=blue):zhengfangban:=plot3d(xi,y,z,y=-f(xi).f(xi),z=-f(xi).f(xi),color=grey,style=patchnogrid):qumian1:=plot3d(x,y,f(x),x=a.xi,y=-f(x).f(x),color=green):qumian2:=plot3d(x,y,-f(x),x=a.xi,y=-f(x).f(x),color=green):qumian3:=plot3d(x,f(x),z,x=a.xi,z=-f(x).f(x),color=

13、yellow):qumian4:=plot3d(x,-f(x),z,x=a.xi,z=-f(x).f(x),color=yellow):display(xzou,yzou,zzou,yuan1,yuan2,zhengfangban,zhengfangxing,qumian1,qumian2,qumian3,qumian4,scaling=constrained,orientation=60,73); July 2, 2012四川大学数学学院 徐小湛牟合方盖 12xy222xyR222xzRz July 2, 2012四川大学数学学院 徐小湛牟合方盖 13with(plots):R:=1:f:=

14、x-sqrt(R2-x2):a:=-R:b:=R:xzou:=spacecurve(x,0,0,x=a-1.b+1,thickness=3,color=black):yzou:=spacecurve(0,y,0,y=a-1.b+1,thickness=3,color=black):zzou:=spacecurve(0,0,z,z=a-1.b+1,thickness=3,color=black):zhumian1:=plot3d(R*cos(t),R*sin(t),z,t=0.2*Pi,z=a-1.b+1,style=wireframe,color=blue):zhumian2:=plot3d(

15、R*cos(t),y,R*sin(t),t=0.2*Pi,y=a-1.b+1,style=wireframe,color=brown):K:=60:for i from 0 to K do xi:=a+i*(b-a)/K:zhengfangxingi:=spacecurve(xi,f(xi),f(xi),xi,-f(xi),f(xi),xi,-f(xi),-f(xi),xi,f(xi),-f(xi),xi,f(xi),f(xi),thickness=3,color=blue):zhengfangbani:=plot3d(xi,y,z,y=-f(xi).f(xi),z=-f(xi).f(xi),

16、color=grey,style=patchnogrid):qumian1i:=plot3d(x,y,f(x),x=a.xi,y=-f(x).f(x),color=green,style=patchnogrid):qumian2i:=plot3d(x,y,-f(x),x=a.xi,y=-f(x).f(x),color=green,style=patchnogrid):qumian3i:=plot3d(x,f(x),z,x=a.xi,z=-f(x).f(x),color=yellow,style=patchnogrid):qumian4i:=plot3d(x,-f(x),z,x=a.xi,z=-

17、f(x).f(x),color=yellow,style=patchnogrid)od:zhengfangxing:=display(seq(zhengfangxingi,i=0.K),insequence=true):zhengfangban:=display(seq(zhengfangbani,i=0.K),insequence=true):qumian1:=display(seq(qumian1i,i=0.K),insequence=true):qumian2:=display(seq(qumian2i,i=0.K),insequence=true):qumian3:=display(s

18、eq(qumian3i,i=0.K),insequence=true):qumian4:=display(seq(qumian4i,i=0.K),insequence=true):display(xzou,yzou,zzou,zhumian1,zhumian2,zhengfangban,zhengfangxing,qumian1,qumian2,qumian3,qumian4,scaling=constrained);动画的Maple程序 July 2, 2012四川大学数学学院 徐小湛牟合方盖 14下面来求牟合方盖的体积下面来求牟合方盖的体积 July 2, 2012四川大学数学学院 徐小湛

19、牟合方盖 15222 Rx底222222( )224()A xRxRxRx截面面积22316( )4()3RRRRVA x dxRx dxR立体体积222 Rx高这与用这与用二重积分二重积分计算的结果相同计算的结果相同见同济见同济高等数学高等数学六版，下册六版，下册 143页，例页，例4xx垂直于垂直于x轴的截面是轴的截面是一个正方形：一个正方形：222xyR222xzR July 2, 2012四川大学数学学院 徐小湛牟合方盖 16牟合方盖牟合方盖的体积的体积与下面这个与下面这个立体的体积相等立体的体积相等 July 2, 2012四川大学数学学院 徐小湛牟合方盖 17xy222xyRxx立

20、体以圆为底，在 处的垂直于 轴的截面是一个正方形。222xyR July 2, 2012四川大学数学学院 徐小湛牟合方盖 18with(plots):R:=1.6:f:=x-sqrt(R2-x2):g:=x-sqrt(R2-x2):a:=-R:b:=R:xzou:=spacecurve(x,0,0,x=a-1.b+1,thickness=3,color=black):yzou:=spacecurve(0,y,0,y=a-1.b+1,thickness=3,color=black):base:=plot3d(x,y,0,x=a.b,y=g(x).f(x),color=grey,style=pat

21、chnogrid):quxian:=spacecurve(R*cos(t),R*sin(t),0,t=0.2*Pi,thickness=3,color=red):K:=60:for i from 0 to K do xi:=a+i*(b-a)/K:zhengfangxingi:=spacecurve(xi,g(xi),0,xi,f(xi),0,xi,f(xi),f(xi)-g(xi),xi,g(xi),f(xi)-g(xi),xi,g(xi),0,thickness=3,color=blue):zhengfangbani:=plot3d(xi,y,z,y=g(xi).f(xi),z=0.f(xi)-g(xi),color=yellow,style=patchnogrid):qumian1i:=plot3d(x,f(x),(f(x)-g(x)*t,t=0.1,x=a.xi,color=green):qumian2i:=plot3d(x,g(x),(f(x)-g(x)*t,t=0