列方程解决平面图形问题

1、无 列方程解列方程解平面图形问题平面图形问题 一、引入。一、引入。 同学们，下面这道平面图形问题你会解答吗？ 已知图 1 中平行四边形的面积是 48 平方厘米，求阴影三角形面积是多少平方厘米？ 1学生尝试解答。 学生可能出现如下两种解法： 根据平行四边形的面积是 48 平方厘米、 高是 6 厘米， 可以求出平行四边形的底；三角形的高和平行四边形相同，底比平行四边形少 5 厘米，所以求出平行四边形的底，就能求三角形的面积。 48 6=8（厘米） （8- 5）6 2=9（平方厘米） 这个三角形只给出了高，它的面积不能直接计算出来，可先把平行四边形分割成三部分（如图 2） ，因为两边的两个三角形面积

2、是相等的，中间的长方形面积又可求，所以阴影三角形面积等于（48-5 6） 2=9（平方厘米） 2引导学生用代数方法解决问题。 第一种方法通过逆向思考，先求出平行四边形的底，再求出三角形的面积；第二种方法利用图形的特征，对图形进行巧妙地分割。解决这个问题还可以用代数方法，设三角形的底为 a，根据平行四边形面积为 48，高为 6，可列出方程： （5+a） 6=48 解方程，求得 a=3 所以三角形面积为 3 6 2=9（平方厘米） 这是一道比较简单的问题，用上述三种方法都能解决。如果是比较复杂的问题，用算术方法解决会非常困难，而代数方法会越来越有优势。这一单元我们就一起来研究列方程解平面图形问题。

3、 例例 1： 长方形： 长方形 ABFE的宽是的宽是 8 厘米， 如果长增加厘米， 如果长增加 4.5厘米， 得到新图形厘米， 得到新图形 ABCD的面积是的面积是 168 平方厘米。如下图，求原长方形的面积。平方厘米。如下图，求原长方形的面积。 由于新图形的宽与原长方形相同，学生会逆向思考，求出新长方形的长，用算术方法解决问题。 1688=21（厘米） （21-4.5）8=132（平方厘米） 根据题意，新长方形的长比原长方形的长多 4.5 厘米，我们可以利用这一关系设未知数，利用新长方形的面积是 168 平方厘米列方程。 解：设原长方形的长为 x 厘米，根据题意列方程得： （x4.5）8=1

4、68 x4.5=21 无 x=16.5 16.58=132（平方厘米） 答：原长方形的面积为 132 平方厘米。 由于长方形的长是未知的，用由于长方形的长是未知的，用算术方法算术方法解决问题需要逆向思考，根据面积解决问题需要逆向思考，根据面积求出边长；而代数方法则是用字母表示未知数量，直接应用面积的计算方法列求出边长；而代数方法则是用字母表示未知数量，直接应用面积的计算方法列出方程。在解决复杂问题时，出方程。在解决复杂问题时，用代数的方法用代数的方法，正向思考会更简单。，正向思考会更简单。 例例 2：在长方形：在长方形 ABCD 中，放入中，放入 6 个形状、大小相同的个形状、大小相同的小长方

5、形（如图） ，小长方形（如图） ，求小长方形的宽。求小长方形的宽。 题目中大、小长方形长与宽的关系比较隐蔽，我们必须认真观察图形，找到数量之间的关系。 请同学们认真观察图形，你发现小长方形的长、宽，大长方形长、宽与已知数据之间有哪些关系？ 通过观察，引导学生发现：小长方形的长+3 个小长方形的宽=大长方形的长=14 厘米，小长方形的长+小长方形的宽=大长方形的宽，2 个小长方形的宽+6 厘米=大长方形的宽。 如果设小长方形的宽为 x 厘米， 根据上面的关系式你能找到相等的关系吗？由小长方形的长+3 个小长方形的宽=大长方形的长=14 厘米可以表示出小长方形长为 143x 厘米，再根据小长方形的

6、长+小长方形的宽=大长方形的宽，可以表示出大长方形的宽为 143xx=142x 厘米；根据 2 个小长方形的宽+6 厘米=大长方形的宽，大长方形的宽还可以表示为 2x6 厘米。利用宽相等可以列出方程。 解：设小长方形的宽为 x 厘米，根据题意列方程为： 142x=2x6 4x=8 x=2 答：小长方形的宽为 2 厘米。 题目给的条件比较少，同学们要注意从图中挖掘隐蔽条件，从图形中分析题目给的条件比较少，同学们要注意从图中挖掘隐蔽条件，从图形中分析出大长方形的宽可以用出大长方形的宽可以用 142x 和和 2x6 两种方式表示，根据这一等量关系列方两种方式表示，根据这一等量关系列方程解答。程解答。

7、 例例 3：如图，将一个三角形纸片折叠一下（如下图） ，原来三角形的面积是：如图，将一个三角形纸片折叠一下（如下图） ，原来三角形的面积是现在纸片盖住面积的现在纸片盖住面积的 1.5 倍。如果阴影部分的面积是倍。如果阴影部分的面积是 1 平方厘米，那么这个三角平方厘米，那么这个三角形的面积是多少平方厘米？形的面积是多少平方厘米？ 折叠后图形中出现了重叠部分（四边形 DEFG） ，所以图形的面积变小了。观察图形，你能发现变化前、后图形面积之间的关系吗？ 无 三角形 ABC 面积=阴影面积+2 个重叠部分的面积， 折叠后图形的面积=阴影面积+1 个重叠部分的面积。 解：设四边形 DEFG 的面积为

8、 x 平方厘米。 Xx1=（x1）1.5 0.5x=0.5 X=1 三角形 ABC 的面积为：111=3（平方厘米） 答：三角形的面积为 3 平方厘米。 用代数方法解决问题，发现图形面积之间的关系，用代数方法解决问题，发现图形面积之间的关系，寻找到等量关系是解决寻找到等量关系是解决问题的关键。而这些关系往往隐藏在图形之中，需要我们认真观察图形，挖掘问题的关键。而这些关系往往隐藏在图形之中，需要我们认真观察图形，挖掘出隐蔽的数量关系。出隐蔽的数量关系。 例例 4：在直角三角形中截出一个面积最大的正方形（如图：在直角三角形中截出一个面积最大的正方形（如图 1） 。求这个正方） 。求这个正方形的面积

9、。 （单位：厘米）形的面积。 （单位：厘米） 直接观察图形，我们很难发现三角形与正方形之间的关系。在这种情况下，我们需要考虑添加辅助线，沟通图形之间的联系。 连接 BD 后， 就可以把大三角形分成两部分， 即三角形 ABD 和三角形 BDC，这两部分都与正方形有直接联系，正方形的边长是每个三角形的高，只要用字母表示正方形的边长，就能表示出每个三角形的面积。 这样题目的等量关系就显现出来了：三角形 ABC 的面积等于三角形 ABD 与三角形 BCD 的面积和。 解：设正方形的边长为 x 米。 3x27x2=372 x=2.1 2.12.1=4.41（平方厘米） 答：这个正方形的面积是 4.41

10、平方厘米。 直接观察图形，我们只知道正方形在三角形之内，他们之间的关系却很难直接观察图形，我们只知道正方形在三角形之内，他们之间的关系却很难发现。发现。添加辅助线后，添加辅助线后，正方形与三角形之间就有了直接联系，正方形与三角形之间就有了直接联系，等量关系等量关系也显现也显现出来。出来。用代数方法解用代数方法解决比较复杂的平面图形问题，添加辅助线是我们经常采用决比较复杂的平面图形问题，添加辅助线是我们经常采用的方法。的方法。 例例 5：如下图：如下图，梯形，梯形 ABCD 的面积是的面积是 45 平方厘米，下底平方厘米，下底 AB 长长 10 厘米，高厘米，高EF 长长 6 厘米， 三角形厘米

11、， 三角形 DOC 的面积为的面积为 5 平方厘米， 求三角形平方厘米， 求三角形 ABO 的面积的面积是多少是多少平方厘米？平方厘米？ 通过分析，学生可能会用算术方法解决问题。 要想求出三角形 ABO 的面积，需要求出高 OF，因为已知梯形的高 EF 为 6无 厘米，所以只要求出三角形 DOC 的高 OE 即可。三角形 DOC 的面积已知，求它的高，需先求出 DC 的长度，而 DC 的长度可由梯形的面积公式求出。 4526=15（厘米） 52（15-10）=2（厘米） 10（6-2）2=20（平方厘米） 如果设梯形的上底 DC 长 x 厘米，你会列方程解决问题吗？ 解：设 DC 边长 x 厘

12、米 （x+10） 6 2=45 解方程得 x=5 根据三角形 DOC 面积为 5 平方厘米，由三角形面积公式可以求出 OE 的长： 525=2（厘米） 所以 OF=62=4（厘米） 三角形 ABO 面积=10 4 2=20（平方厘米） 如果设三角形 ABO 的面积为 x 平方厘米，你会列方程解决问题吗？ 整体观察图形可以发现，三角形 ABC 与三角形 ABD 是等高同底的三角形，它们的面积必相等。在这两个三角形中，显然三角形 ABO“重叠”一次，如果加上已知的三角形 DOC 的面积， 正好是梯形 ABCD 的面积又多了一个三角形 ABO的面积。所以： 三角形 ABO 面积+梯形 ABCD 面积

13、=三角形 ABD 面积三角形 ABC 面积三角形 DOC 面积 解：设三角形 ABO 的面积为 x 平方厘米。 X+45=10622+5 X=20 所以，三角形 ABO 的面积为 20 平方厘米。 本题用算术方法解答，需要逆向思考，两次运用面积公式计算边的长度，本题用算术方法解答，需要逆向思考，两次运用面积公式计算边的长度，用代数方法解答就可以回避逆向思考带来的麻烦。我们介绍了两种代数方法，用代数方法解答就可以回避逆向思考带来的麻烦。我们介绍了两种代数方法，第二种方法更简单，第二种方法更简单，需要我们有整体观察发现图形面积之间关系的能力。需要我们有整体观察发现图形面积之间关系的能力。 例例 6

14、 6： 如下图， 在三角形： 如下图， 在三角形 ABCABC 中中,D,D 为为 BCBC 边中点边中点,BF= ,BF= 1 13 3 AB,AB,已知四边形已知四边形 BDEFBDEF的面积是的面积是 35cm35cm2 2。求三角形。求三角形 ABCABC 的面积。的面积。 通过以前的学习，我们知道如果两个三角形的底、高有关系，它们的面积之间就有关系。为了便于比较图形面积之间的关系，我们连接 BE。通过观察比较，你能发现哪些三角形面积之间的关系？ 因为 D 是 BC 的中点，所以三角形 BDE的面积=三角形 CDE 的面积， 三角形 BDA 的无 面积=三角形 CDA 的面积；因为 F

15、 是13 点，所以三角形 AEF 的面积=2 倍三角形BEF 的面积。 连接 BE，设三角形 BDE 的面积为 a，设三角形 BFE 的面积为 b。 因为 BF= BF= 1 13 3 ABAB，所以 SAEF=2SBEF=2b 因为 D 为 BC 边中点，所以 SBDE=SCDE=a SBDA=SCDA=a3b SBAE=SCAE （等量减等量差相等） 设三角形 ABC 的面积为 “1” 思路一：2b+3b=2（2a+b） 5b=4a+2b 3b=4a SABC=10a a= 110 b= 215 a+b= 730 35730 =150cm2 按照思路一也可以列出如下方程组 思路二： （2a

16、+b）3=（3b+a）2 按照思路二也可以列出如下方程组 答：三角形 ABC 的面积为 150 平方厘米。 在本题的分析中，通过添加辅助线，观察、比较图形的面积，我们发现了在本题的分析中，通过添加辅助线，观察、比较图形的面积，我们发现了很多面积之间的关系，用代数的方法能够清楚地表示这些关系。在比较中我们很多面积之间的关系，用代数的方法能够清楚地表示这些关系。在比较中我们主要应用了两个三角形高相同时，它主要应用了两个三角形高相同时，它们面积间的关系与底之间的关系相同。们面积间的关系与底之间的关系相同。 练习应用。练习应用。 1把一个正方形的两组对边分别减少 5 厘米和 8 厘米后，得到一个长方形

17、，已知长方形的面积比正方形的面积少 220 平方厘米（如下图） 。求正方形的面积多少？ 2如下图所示，有 9 张相同的小长方形卡片摆成一个大长方形.已知每个小无 长方形的周长为 18 厘米，短边长为 4 厘米，求大长方形面积是多少平方厘米？ 3下图中，梯形 ABCD 的面积为 24 平方厘米，AD=5 厘米，BC=7 厘米，求三角形 ABD 的面积是多少平方厘米？ 4 如图， 直角三角形 ABC 内有一个正方形 BDEF。 已知 AB=3 厘米， BC=4厘米，AC=5 厘米，EG 垂直于 AC，且 EG=0.3 厘米，求正方形 BDEF 的面积。 5六张大、小不同的正方形纸片 A、B、C、D

18、、E、F，拼成如右图所示的图形。已知正方形 F（阴影部分）面积是 256 平方厘米，正方形 A 的面积是多少平方厘米？ 6如下图，正方形 ABCD 的面积是 1，BF=41AB，EC=31BC。求阴影部分的面积。 四、趣味驿站。四、趣味驿站。 完完美长方形美长方形 A B C D F E O 无 一个大长方形若能分割成若干个大小不同的小正方形， 则称为完美长方形。一个大长方形若能分割成若干个大小不同的小正方形， 则称为完美长方形。下面长方形是由下面长方形是由 9 9 个小正方形组成的完美长方形。已知正方形个小正方形组成的完美长方形。已知正方形 A A 和和 B B 的边长分的边长分别是别是 7 7 和和 4 4，你能算出这个完美长方形的面积吗？，你能算出这个完美长方形的面积吗？ 观察图形可以知道，完美长方形中相邻正方形的边长之间有着紧密的联系，若能用两种不同的形式表示同一个正方形的边长，或表示出完美长方形的长或宽，即可顺利列方程求解。 为了叙述方便,我们将图中各个小正方形分别用字母表示(如下图)。 设最小的正方形边长为 X， 因为小正方形 A 的边长为 7，小正方形 B 的边长为 4，所以 小正方形 C 的边长可以表示为 7X 小正方形 D 的边长可以表示为 7XX=72X 小正方形 E 的边长