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文档简介
1、题目: Taylor定理的妙用 郭威 PB07210203摘要: 分析了Taylor公式的产生以及Taylor定理在高等数学(尤其是一元微分数学)以及线性代数中的应用,揭示出它极其重要的地位。正文: 在分析函数的某些局部性质时,通常是在这个局部范围内,用一些构造简单函数去近似代替比较复杂的函数,以简化所研究的问题。而多项式是结构最简单的一种函数。这是因为计算一个多项式的值只要进行加法和乘法两种运算。因此,作为构造简单的函数自然首先应该选取多项式。于是就得了著名的Taylor公式:,它被称为函数在点的阶Taylor多项式。而Taylor定理即为:其中:称(1)为Taylor展开的Peano余项,
2、称(2)为Legrange余项。如果在Taylor公式中令,便得到,其中,且易知,这是Taylor公式一个极为重要的特殊情形,称为Maclaurin公式。Taylor公式,Taylor定理的应用十分广泛,大概可以分为以下几类,先从Maclaurin公式说起。一、求函数的泰勒展开式1、 求函数的带Peano余项的泰勒展开式(Maclaurin 展开式)例、求函数的Maclaurin 展开式 解:由于在处有任意阶的导数,所以 ,其中。摆在我们面前的首要问题是如何简便地把算出来。由得出;由,得出。在恒等式的两边,对求阶导数,利用Leibniz公式,得 将代入上式,得到 因为,所以立即得到其中代入原式
3、,便得出即同理还可以计算出的Maclaurin展开式。 但是,Peano余项的Taylor定理只适合于研究函数在一个给定的点近旁的近似行为,而不便于讨论函数在大范围内的性质。为了克服这一缺点,需要将余项“量化”,从而便引入了Lagrange型的余项。2、 求函数带Lagrange型余项的Taylor展开式(Maclaurin展开式)例. 求在点的Taylor展开式 解:由于,于是的Maclaurin展开式中,将换成,就得到其中 尽管连带Peano余项的Taylor公式对没有定量估计,只有定性了解,即当时,它是比更高级的无穷小,但可依据这点来求极限。二、用带Peano型余项的Taylor公式求极
4、限例1、 求先看分母其中因此原极限等价于因为 = 原极限= 用Lhospital法则也可解此题,但需要连续三次使用该法则,不如这里的办法直接。例2、 求解:设两边取对数,得利用等式,得根据可得 = = =于是 =因而从而例3、设 且,证明证:因,所以带Peano余项的Taylor公式将此公式与题给等式相比较,得即 = 则= 故 = 因为,故证明Taylor定理Lagrange余项时所用方法与Lagrange定理类似。的确,Taylor公式是Lagrange中值公式的一个重要的推广。在Taylor公式中,只须令n=0,便可得到中值公式。因此Taylor定理的适用范围要比中值定理更加广泛。在遇到已
5、知函数可导的阶数较高(常是二阶或二阶以上),同时还给出若干个已知点的函数值或导数值。常选已知函数值或一阶导数值为0的点作为展开点(这样可使一阶导数项消失)。然后再将已知函数值的各个点的坐标代入展开式,进行运算,最后利用介值定理或零值定理证明。归纳一下,有以下几道例题。三证明含高阶导函数的中值命题例1. 设函数在闭区间-1,1上具有三阶连续导数,且,证明:在开区间(-1,1)至少存在一点,使=3.证:由于,将在处展开,由于Maclaurin公式得=+ + (0,) 将和分别代入上式,得+ - ,-1<<0+ + , 0<<1两式相减,可得+=6设和m分别是在,上的最大值和
6、最小值,显然有,m+再由连续函数的介值定理知,至少存在一点,(-1,1)使=+=3例2、设在区间-a,a(a>0)上具有二阶连续导数,(1) 写出的带Lagrange余项的一阶Maclaurin公式(2) 证明在-a,a上至少存在一点,使a3=3解:(1)由于有,将在处展开,对任意-a,a,有 +=+, 0, (2) =+ =因为在-a,a上连续,故对任意的-a,a,有mM,其中M, m分别为在-a,a上的最大值与最小值,由上式,得=mm=M 即 mM因在-a,a上连续,由介值定理知,至少存在一点-a,a使= 即 =3此外,Taylor还可用于证明不等式,尤其是在能给出或能推知函数在某点
7、的函数值f()及在该点的低导数值,Taylor定理发挥的威力更加显著。四、用Taylor公式证明不等式我们来看以下几个例子:例1、设在区间a,b上>0,试证对于a,b中的任意点. ,恒有,其中,等号成立当且仅当=.= 时成立。证:设=,据Taylor定理,有=+2+0<<0, =1.2n因为(x)>0,故+ =1.2n当且仅当时,“=”成立,于是+.+ +(+.+ -)=即得 例2、设在0,1上二阶可导,且f(0)=f(1)=0, =-1,证明:(0,1),使8证:因为在0,1上连续,必取到最小值,设=显然(0,1),因为可导,故=0 (Fermat定理)再由在点一阶T
8、aylor公式,=+2 =+2 若0<,由 =8 (0<<)若<<1,由=8 (<<1)综上,(0,1),使8例3、设在0,1上二阶可导,且=,1,求证:<1证:设为在(0,1)内取得最大值的一点,则=0,且=,由一阶Taylor公式,有=+,则 =+ =+ (0<<a<1) =+ =+ (0<<a<1)于是得 + +因此 +=如同求, ,可将在处展成Taylor展开式,利用展开式的唯一型等方法求解。五、同求同一点的不同阶的导数值。例1、 设在原点的邻域内二阶可导,且=,求,以及解:对原式两边取对数,得即而,知
9、因而由上式得到 即其中是时的无穷少。从而有另一方面有由Taylor展开的唯一性,有,最后例2、设在原点的邻域内二阶可导,且, 求,并计算极限 解: = = 因而有 即 而= = Taylor定理,Taylor展开在高等数学、微积分的一元微分学中有很多妙用,而且,它在解决线性代数中的某些问题也同样功不可没。来看一个例子。六、用Taylor展开解决线性代数中的问题 例. 设方阵A=,求方阵B满足条件=A 解:我们容易看出:A=I+N,其中N=满足条件=0由的Taylor展开式 = = 知道 其中是某个多项式,将代入可知N=B=则易验证=A最后,再来回顾一下:在一个给定点的近旁,将函数近似的利用多项式来代替,因此Taylor定理成为研究函数在一点近旁的行为的有力工具,这也是它最重要作用。利用带Peano余项的Taylor定理,可以很方便地计算许多“不定型”的极限,可以比较彻底地研究函数的极值。带Lagrange余项的Taylor定理,可以从理论上讨论函数的单调性、凸性,由此可以证明一些不等式。既可以利用Taylor定理来计算函数在一点上的近似值,也可以在整体上(即在一个区间上)用多项式来逼近一个比较复杂的函数,同时还可以进行误差估计,唯一需要保证的就是函数必须在一定范围内有适当高阶的导函数。参考文献1、高等数学导论上册中国科学技术大学高等数学研究
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