三相交流电知识

1、第四章 三相交流电1. 关于三相交流电大型发电，输配电系统，均采用三相制。大型交流电动机也是三相制。 三相交流电有A、B、C三相，它们的相量关系如图3-1所示。 AU BU CU( (火线火线）( (火线火线）( (火线火线）（中线中线） AU BU CU图 3-1ABCN在低压配电系统中，相电压（火线与中线之间的电压） ，线电压（火线与火线之间的电压） ，其相量关系如图3-2所示。VUp220VVUl3802203lUpUo30图 3-22. 负载的联接如果电器设备属于单相制，额定电压为220V时，应接在火线与中线之间，额定电压为380V，则应接在火线与火线之间。当电器设备采用三相制时（如三

2、相电机等），设备的三个端第（36）页钮均应接火线。具体联接形式（型或Y型），在电器设备标牌上均有说明。对于对称的三相负载，流过中线的电流为零，因而可以省去中线。第五章 非正弦周期电流的电路5.1 非正弦周期量的分解 矩形波，锯齿波，整流波，脉冲波以及语言，音乐，图象，数据等电信号均属于非正弦周期波形。图5-1中电阻两端的电压u是直流E0与正弦交流电e1的叠加：tSinRERERuim 10 显然，电压u不是纯粹的正弦周期电压，由此产生的电流tSinEEeEum 1010 也不是纯粹正弦波,而是单向电流。(a)i0EuR1e1e0Eut0(b)图5-1图5-2(b)是二个不同频率正弦波的叠加 t

3、SintSinu 3314图5-2(c)是三个不同频率正弦波的叠加波形 tSintSintSinu 5513314图5-2(d)是四个不同频率正弦波的叠加波形 tSintSintSintSinu 7715513314我们再看图5-2(a)是一个纯粹的正弦波tSinu 4 Sin411110000 tSintSin 3314 2 2 2 2tttt tf(a)(b)(c)(d) tSintSintSin 5513314 tSintSintSintSin 7715513314图5-2正弦波的合成由此可见，非正弦周期信号是若干个正弦波信号（有时亦包括直流）按不同幅度叠加的结果。反过来，一个非正弦周期

4、量也可以分解为直流，基波及各次谐波。设周期函数为f(t)，其角频率为，则由高等数学中傅里叶三角函数展开公式可知 221102 tSinAtSinAAtfmm 10kkkmtkSinAA 式中22kmkmkmCBA kmkmkBCarctg 20021tdtfA 201ttdSinktfBkm 201ttdCosktfCkm第（37）页例5-1 图5-3中有四种非正弦周期信号，现分别对它们进行波形的分解。0mUut 20mUut 2 20mUut 0mUut 2 4(a)矩形波矩形波(c)锯齿波锯齿波(b)三角波三角波(d)全波整流波形全波整流波形图5-3 非正弦周期量(a)对矩形波进行分解 2

5、00021tudA 201ttduSinkBkm CoskkUm 12 kUm40 为为偶偶数数k 为为奇奇数数k 2001ttduCoskCkm由此求出 ,3, 1 ,0kkmtSinkBu tSintSintSinUm5513314此分解结果，正好印证了图5-2(d)波形叠加所得出的结论。各频谱分量的幅度表示在同一频率轴上，便得图5-4所示频率图。 4 34 54 74 3 5 7图5-4 矩形波频谱图 （令Um=1)对于图5-5所示开关函数，同样可以分解为 tCostCostCostK 552332221)(1 1112122121nntnCosn 图5-5 开关函数10t tK 1(a

6、)单向开关函数单向开关函数1t tK 2(b)双向开关函数双向开关函数-1 tCostCostCostK 55433442 11121241nntnCosn (b)三角波分解 tSintSintSinUum 52513918228 298 2258 图5-6 三角波频谱图令（Um=1）(c)锯齿波分解 tSintSintSinUum 331221121图5-7 锯齿波频谱图（令Um=1) 1 1 1 1 第（38）页(d)全波整流波分解 tCostCosUum 415223212 24 4 图5-8 全波整流波频谱图（令Um=1)5.2 非正弦周期信号激励下线性电路的响应 如前节所述，一个非正

7、弦周期信号可以看成是直流与各次谐波的叠加，因此，线性电路对非正弦周期信号的响应就是电路对这些信号（直流及各次谐波）的响应的叠加。线线性性电电路路 tiuR线线性性电电路路 tiR0u1u2u图5-9 非正弦信号激励下线性电路的响应设u0，u1，u2，是u分解后所得各电压分量，即 210uuuu而这些电压分量单独作用该线性电路所得输出电流分别为i0，i1，i2， i3，则根据叠加原理，在非正弦周期信号激励下，该线性电路总的输出电流为 210iiii因此，计算非正弦周期信号激励下线性电路的响应，步骤如下：（1）将非正弦周期信号分解成傅里叶级数，从而得到直流及各 次正弦谐波分量。（2）分别计算直流及

8、各次正弦谐波分量单独作用时，电路的响 应。（3）将所得电路的响应（电压或电流）叠加起来，即为所需的 结果。注意：不同频率的正弦量的相加，必须用三角函数式或正弦波 形来进行，不能用相量图或复数式。因为后两种方法是 对同频率的正弦量而言的。 例5-1 已知图510输入电压u为非正弦周期电压 oo185204536018040 tSintSintSinu V基波角频率 502 Srad ，求电路响应（电流i)。解：运用叠加原理（1）直流分量：因为电路有电容元件，故直流响应电流I0=0（2）基波： 1261221CLRZ （电电容容性性）o3 .8511 RCLarctg 43. 1111 ZUImm

9、A第（39）页（3）三次谐波： 10313223CLRZ o03133 RCLarctg 6333 ZUImmAuiR 10H05. 0LF 5 .22C图5-10 RLC串联电路对 非正弦电压的响应（4）五次谐波：2 .51515225 CLRZ o8 .785155 RCLarctg (电感性)39. 0555 ZUImmA所以电流为5310iiiIi A ooo8 .60539. 045363 .8543. 1 tSintSintSin 第六章 电路的暂态分析6.1 换路定则及初始值的确定 图6-1电路根据开关的位置不同，有二种可能的稳定状态。当开关S处于1的位置，电路最终达到下列稳定状

10、态（第一种稳定状态）：电容上没有电荷。一、稳态与暂态一、稳态与暂态01 u02 cuu0 i当开关S处于2的位置，电路最终达到下列稳定状态（第二种稳定状态）：Uu 10 i（因电容元件不能通过直流电流）0 RuUuuc 2电容上储存有电荷 Q=CU图6-1CRiS2u1uRuU12 显然，当开关S的位置发生变化时，电路将从一个稳定状态转变为另一个稳定状态，这种转变往往不能跃变，而是需要一定的时间，经历一个过程，这个物理过程就称为过渡过程，又称暂态过程。 暂态过程的产生是由于物质所具有的能量不能跃变而造成的。例如当S处于2的位置时，电容元件储有电能 ，如果开关S由2转向1，电能不能跃变，这反映在

11、电容上电压uC不能跃变，过渡过程就是使电容上的电能向电阻逐步泄放，最终电能耗尽达到第一种稳定状态。221CU第（40）页 当开关由位置1变为位置2时，电容上的电荷同样需要一个积累过程，是电源U0的电能向电容C逐步充电，最终达到第二种稳定状态。与电容元件相似 ，作为储能元件的电感，其上的能量同样不能突变。图6-1CRiS2u1uRuU12 设t=0为换路瞬间，以t=0-表示换路前的终了瞬间，t=0+表示换路后的初始瞬间。从t=0-到t=0+瞬间，电感元件中的电流不能跃变，电容元件上的电压不能跃变，这称为换路定则，用公式表示，即： 开关位置的变动，电路的接通，切断等统称为换路。（6-1）二、换路定

12、则 换路定则仅适用于换路瞬间，根据换路定则可以确定t=0+时电路中电压和电流之值，即暂态过程的初始值。)(i)(iLL 00)(u)(uCC 00三、初始值的确定 步骤如下：1.由t=0-的电路求出 或 。 2.根据式（6-1）及t=0+的电路，求出其他电 压和电流的初始值。)(iL 0)(uC 0 例6-1 对于图6-2的电路，试确定开关S闭合后的初始瞬间电压 uc , uL 和电流iL , ic , iR 及 is 的初始值。假设S闭合前电路已处于稳态。图6-2 例6-1的电路mA10SiRiCiLi K2 K1 K2uSCL解：电路分析： S闭合前瞬间，直流恒流源电流仅流经R支路与L支路

13、，电容支路不允许直流通过，C可以认为开路，而L对 直流可以认为短路， R支路与L支路所含电阻值均为2K ，故iR=iL=10mA/2=5mA,支路端电压u=5mA 2K=10V。电容上电压10V。R因而 根据图6-3（a），在S闭合前瞬间（ t=0- ） iS = 0 , iC = 0 , iR = iL = 5mA uC = uR = 5mA 20K= 10V , uL = 0再根据t=0-的值及图6-3（b）的电路，可求出S闭合后瞬间（ t=0+ ） 画出t=0-瞬间的等效电路如图6-3（A）所示。 图6-3m A1 0SiRiCiLi K2 K1 K2S RuCuLu)S(0t )a(闭

14、 闭 合 合 前 前电 电 路 路 m A1 0SiRiCiLi K2 K1 K2S RuCuLu)S(0t )b(闭 闭 合 合 后 后电 电 路 路 CLiS=15mA , uL = -10V iC = -10V/1K=-10mA，uC = 10V , iL = 5mA，iR = 0第（41）页 S闭合后瞬间，各电压电流的实际方向及数值，如图6-4所示： 注意：由以上计算可以看到，电感元件中的电流iL是不能突变的，但其电压uL可以跃变，电容元件上的电压uC不能突变，但其电流iC可以跃变，而纯电阻元件其电压uR与电流iR均可突变，因为电阻只消耗电能，不储存电能。图6-4 t=0+ 瞬间各电压

15、电流的实际方向 mA10SiCiLimA15mA5mA10 CuLu V10V10V10V105mA6.2 RC电路的响应一.RC电路的放电过程假设:换路前S放于位置2，电路已处于稳定状态，电源对C充电至uC=U，在t=0时S从2合到位置1，电容C即经R开始放电。下面求 根据克希荷夫电压定律及图6-5(a) 假定电流方向，t0时的电路方程为 iR + uC = 0 或 （6-2）0 CCudtduRC令式（6-2）的通解为 （6-3） 代入式（6-2）可得特征方程RCP + 1 = 0 故ptCAeu RCp1 图6-5RC电路的放电CRiSCuRuU12t=0RSCuRu12 放i放放电电电

16、电路路)(a时刻，放电电流方向时刻，放电电流方向 0)(tb tuc 式（6-3）变为： （6-4） 由于t=0+时 ，uC = U , 因而 A=U 这样 式（6-4）变成: （6-5）tRCCUeu1 tRCCAeu1 这就是电容C对R 放电的方程 。t0+电路的实际电流电压方向如图 6-5（b）所示。放电曲线如图 6-6 所示。令 则式（6-5）又可写成 （6-6） tCUeu RC UCuRuit-URU 放电曲线图6-6式中 称为该RC电路的放电时间常数 放电的快慢，决定于时间常数的大小， 越大，放电愈慢，如图 6-7所示。图6-7 中， 2 1 ,在一定的初始电压U下，C 越大，储

17、存的电荷愈多，电阻R愈大，放电电流愈小，这都使放电时间延长。放电速度与时间常数的关系图6-7Cut 12 21第（42）页例6-2 设开关闭合前电路已处于稳态。 t = 0 将开关闭合，试求 t0时 电压 uC及电流 iC ，i1 , i 2333216 CuV在t 0时 ，S闭合,C 电容上电荷经2及3 放电。放电时间常数：66106105)32(32 S于是放电电压方程：t =0+ 时,电容上电压解： t=0-时，t.tCeeu56107110633 V5 . 232323 ViCA3V,uC SCuU1i 2iCiV6 1 2 3F 50 t图6-8例6-2图 CiCV3 2 31i2i

18、图6-9t=0+瞬间图6-8的等效电路，电流为实际方向我们把无电源激励，输入信号为零的条件下，电路的响应称为零输入响应。讨论RC电路的放电过程就是研究电路的零输入响应。本节讨论的暂态过程有如下特点： 1. 外界输入激励电源为零。2. t0+电路的响应（电压或电流）仅由于电容元件（储能元件）的初始状态uC(0+) 不为零所产生。 故电容放电时的电流方程：t.Ce.i5107152 At.Ceui5107123 At.Ce.ui510711512 A二. RC电路的充电过程假定在换路前瞬间（t=0-），电路中所有储能元件均未储有能量，我们把电路的这种初始状态称为零状态。 下面讨论的RC电路的充电过

19、程就是分析RC电路的零状态的响应。假设换路前，电路已处于稳定状态，t = 0时，将开关S从1合向2，电源U经R对C充电，根据克希荷夫电压定律， 列出t0时的电路方程:CRiSCuRuU12t=0图6-10 RC充电CCCudtduRCuiRU （6-7）式（6-7）的通解有两个部分：1.特解uC2.补函数uC设uC= k，代入式（6-7）kdtdkRCU 得 k=U于是特解uC= U可见，特解就是uC最终的稳态值。补函数是齐次微分方程0 CCudtduRC（6-8）的通解。令ptCAeu 代入式（6-8）得特征方程式01 RCp第（43）页则RCp1 再令 RC则 tCAeu 因此，式（6-7

20、）的通解为（6-9） tCAeUu 图6-11是充电曲线。根据换路定则， t=0+时，uC=0，则A=-U，于是充电电压方程 ttCeUUeUu 1（6-10）图6-11充电曲线UCuRuitRUiRuCu，全响应是指电源激励和储能元件的初始状态uC(0+)均不为零时电路的响应，也就是零输入响应与零状态响应两者的叠加。现在讨论图6-12的暂态过程。与图6-10不同，图6-12中在换路瞬间(t=0- )，电容上已储有电能，因而属于非零状态。我们注意到充电时，电容上电压（即式（6-10）包含两项，第一项U是稳态分量，第二项 是暂态分量。 tUe 三. RC电路的全响应充电电流 tCeRUdtduC

21、i （6-11）电阻电压 tRUeiRu （6-12）UUA 0所以电压方程 tCeUUUu 0（6-13）假定t=0- 瞬间uC(0-)=U0，描写 S闭合后电路的暂态过程仍然是方程式（6-9），但起始条件不同，确定积分常数A时，应 根据换路定则，在非零状态下， t=0+时uC=U0 ，则电容上电压的变化如图6-13所示。0UCRSCuRuU12t=0 u图6-12图6-13非零状态下，RC电路的暂态过程如果把式（6-13）改写为 ttCeUeUu 10方程右边第一项是零输入响应，第二项是零状态响应，足以证明电路全响应是这两种响应的叠加。UCut0U0 00)(UUa 电电源源对对电电容容充

22、充电电UCut0U0 00)(UUb 电电容容对对电电源源放放电电第（44）页一.基本术语1.稳态与暂态2.换路:电路状态或结构的突然变动3.时间概念:.,00t0-即暂态过程的起始点换路后瞬间换路前瞬间换路发生的时刻tt4.换路定则: 换路前后,电感中电流不能突变,电容上电压不能突变。小结)0()0()0()0(ccLLuuii即意义：可用来确定暂态过程的初始值-0t 0t暂态过程 起点终点起始值t稳态值稳态值二.暂态过程分析步骤 1.根据 的电路，确定 0t)0(u)0(c及Li 0t2.根据换路定则，确定 时的起始值 0t3.根据 电路,列微分方程，求解，得暂态过程的 数学表达式。三.R

23、C电路的放电过程Uutc)0(0 电路，求出)0()0(0ccuut电路，)0(cutRCcccUeuudtduRC1)4(0:) 3(求解得列微分方程)0(cuCRUR放i(1)(2)式中 RC:时间常数 U:电容上电压起始值第（45）页6.3 微分电路与积分电路 本节讨论在矩形脉冲激励下，RC电路中的充放电过程，以及RC时间常数对输出波形的影响。一.矩形脉冲CRiS2u1uRuU12图6-14 矩形脉冲的产生我们把图6-10电路重画于图6-14中。假定原先开关S在位置 1，在t=0时刻S合到位置2，RC电路与电源接通；在t=t1时，再将S合到位置1，切断电源。这样，RC电路输入端电压u1的

24、波形便是图6-15所示，它是矩形脉冲电压。（但是在实际应用中，可以采用专门的脉冲波发生器，产生脉冲幅度为U，脉冲宽度为tp，脉冲周期为T的脉冲波）。U01upt1tt图6-15 RC电路输入脉冲波形如图6-16所示，当该电路参数满足条件：RC1 （6-14）ptRC 且时，可以证明u2与u1具有微分关系。式中 是输入脉冲信号的角频率。T2f2 下面讨论微分电路充放电过程。二.微分电路CRi2u1uCu图6-16 微分电路1. 输入u1上升沿设t=0-时电路已处于零状态。t=0+开始，电路产生零状态的响 00uC ， U0u2 ， RU0i 应：。,1Uu 电源电压对电容C充电。 根据式(6-1

25、4)电路条件，电路时间常数RC ptRC 很小，充电速度很快，电容上电压UC很快因充电而上升，电阻上电压（即输出电压u2）则很快下降，最终UC = U， u2 = uR = 0， i = 0，充电过程暂告结束，因此根据图6-11充电曲线，只要，输出端便获得如图6-17(b)所示的正向尖脉冲。图6-17U01uptt输输入入电电压压)(aU U2u输输出出电电压压)b(微分电路输 入与输出电压波形2.输入u1下降沿在t=tp时刻开始，输入电压u1=0，电路处于零输入响应，电容开始放电，根据图6-7放电曲线，输出端出现负向尖脉冲。3.输入u1平顶期间，电路处于相对稳定状态，在此状态下，电容不允许直

26、流电流流过，故 u2 = 0。比较u1与u2的波形，在u1上升沿，u2正值且最大，u2 = U；在u1下降沿，u2负值且最大，u2 = -U；u1平顶时，u2 0；所以输出电压是输入电压的微分.下面我们再从电路复数阻抗关系来证明，参阅图6-18。CR I 1U 2U图6-18 由于1211URCjRRIU根据电路参数条件RC1 则 12UCRjU （6-15）根据正弦时间函数用相量表示后，在数学运算方面具有的基本性质，指出：一个正弦时间函数对时间的求导运算，其对应相量则是乘以j的运算。第（46）页若 dtdutf 则它的相量表示为 UjF 反变换是f(t)，就是说 F Uj 的反变换一定为dt

27、du因此式(6-15)的反变换为 dttduRCtu12 （6-16）另外，也可以根据电路瞬时电流、电压 的关系来导出式(6-16)。（参阅图6-19）由于dtduCiC 根据电路条件RC1 ，则dtduCi1 而dtduRCiRu12 （证毕）u1=uC+uRuC所以CRi1uCu2uRu图6-19三. 积分电路使u2与u1具有积分关系的电路参数条件是C1R （6-17）且ptRC （6-18）CRi1u2uRu 图6-20 积分电路由于条件C1R ，电路时间常数很大，充放电速度缓慢，而相对而言，电路换路时间间隔却较短，结果电容两端电压（u2 = uC）便如图6-21所示。2u1u1t2tt

28、t00积分电路输入输出波形图6-21从数学上推导，由于pt ，充放电很缓慢，电容上电压变化很 缓慢，uCuR， u1 uR=iR故 dtuRC1idtC1uu1C2（6-19）或者以相量表示,11CjRUICj1IU2 由于C1R ，故RUI1 ， 12URCj1U （6-20）式（6-20）经反变换，得 dtuRC1u126.4 RL电路的响应换路前S在位置2 ，电感中有电流，稳态值为一.RL电路的零输入响应0)0(IRUi 0 dtdiLiR（6-21）其特征方程LRp t=0时，S合在位置1，电路处于零输入响应，列出t0时的微分方程图6-22LRSRuU12 Lui0t RL电路的零输入

29、响应Lp + R = 0根为于是，式（6-21）的通解是LRtptAeAei 第（47）页图6-23是RL电路的放电曲线在t=0+时，根据换路定则RL 式中 是RL电路的时间常数。i(0+)=i(0-)=I0则 A = I0ttLReIeIi00（6-22）由此可求得 tRIiRu Re电阻上电压电感上电压 tLReIdtdiLu 0t0I0 0i)(at0 0RI0RI0 RuLuu)(bRL电路零输入响应（放电曲线）图6-23二、RL电路的零状态响应在t=0时刻，S合向位置2，相当于RL电路输入 一阶跃电压u=U,根据克希荷夫定理，t0的电路方程为（6-23）dtdiLiRU 该方程的通解

30、有两个部分：特解i 和补函数i。求补函数时，先列出式（6-23）的特征方程LP+R=0LRp 其根为于是得特解i 就是电流i最终的稳态值RUi tLRptAeAei 因此式（6-23）的通解tLRAeRUiii （6-24）在 t=0+ 时 ， i=0 , 则0 ARU得RUA 因而)1()1(/ ttLRtLReRUeRUeRURUi （6-25）LRSRuU12 Lui0t u图6-24RL电路零状态响应（充电）式中=L/R是时间常数。式（6-25）表明RL电路充电电流也由稳态分量与暂态分量两部分组成。所求得的充电曲线如图6-25（a）所示。RL电路充电时 UR 及 UL 为（6-26）)

31、1(/ tReUiRu （6-27） / tLUedtdiLu 如图6-25（b）所示。时间常数 越小，暂态过程进行得越快，因为 =L/R，L愈小，阻碍电流变化的作用也愈小；R愈大，则在同样电源电压下，充电最后达到的稳态电流I0（或者放电电流的初始值）愈小，储能越少，这都使暂态过程缩短。t0 0i)(at0 0RuLuu)(bRUU图6-25RL电路零状态响应（充电曲线）三. RL电路的全响应开关S闭合前 000_0RRUIi，t=0将S闭合后，电路的微分方程和式（6-24）相同，即LRtAeRUi 但初始值不同，这里 000Iii 则积分常数RUIA 0所以LRteRUIRUi 0（6-28

32、）LRRuLuS0t 0R U图6-26RL电路全响应式中，右边第一项为稳态分量，第二项为暂态分量。 把式（6-28）改写成：LRtLRteRURUeIi 10（6-29）式中，右边第一项是零输入响应，第二项为零状态响应，两者叠加即为全响应i。第（48）页第六章 暂态过程(小结)一. 基本电路元件：R，L，C1.电容元件 uciCq = cuc伏安特性dtduCdtdqicC 特点：iC正比于uc变化率与uc绝对值无关。uc不能突变，因为“突变”意味着 , ,是不可能的。dtduC i如果激励是电流，响应是电压，则t = t0时刻电容上电压 010tCCdttiCtu 00011tCCdtti

33、CdttiC 0010tCCdttiCu式中第一项uc(0-)是t = 0-时刻电容上已经积累的电压，它是该电容过去历史状态的总结，并以此作为起点，即初始电压；第二项是t = 0-以后电容上形成的电压。-t = 0tt = t0电容元件储存的电场能 tCutWCC221 可见：电容元件不仅是储能元件，而且是记忆元件。2.电感元件iLuLiLuLN磁链： NLLi伏安特性感应电压：dtdiLdtduLL如果激励是电压，响应是电流，则 00010tLLLdttuLiti左边第一项是初始电流，第二项是t = 0-以后电感中形成的电流。电感元件储存的电磁能 tLitWLL221 电感元件同样具有双重功能：储能与记忆。电容与电感统称“动态元件”。特点：uL正比于iL变化率与iL绝对值无关；iL不能突变，因为“突变”意味着 , ,是不可能的。dtdiL Lu第（49）页二.暂态过程1. 统一表达式： 三要素分析法 teffftf 0稳态分量 初始值2.初始值f(0+)的确定步骤如下： 根据t = 0-的稳态电路，求uC(0-)或iL(0-)。 画出t = 0+的等效电路，求