清华大学保送生考试数学试题

1、2022年清华大学保送生考试试题一、填空题1.假设复数 z 为虚数，且 |z|=1, Re(z (12i) = 1,那么 z=12.在数列an中，a1 = 1 , a. 1 二 a. 2 .假设数列anan 舟的前n项和为丄8，那么37n =.3.现有6人会英语，4人会日语，2人都会(共12人),从其中选出3人做翻译，要求两种语言都有人做翻译，那么符合条件的选法种数为 .个人收集整理勿做商业用途4.有一人进行投篮训练，投篮5次，失误一次扣1分，进一次得1分，连进2次得3分，连进3次2得5分假设投篮的命中率为 -,那么投篮3次恰好得2分的概率为 .个人收集整理 勿5做商业用途1115.不定方程一

2、 + + - =1 (x兰y Ez)的解(x, y,z)的组数为xyz6.某几何体的三视图如右图所示 ，用,分别表示主视图、左 视图、俯视图，设S., S S是实际几何体中能看到的面积 ，那么Sq, Sp, S?从小到大的顺序为 .个人收集整理 勿做商业左视图3用途、解答题7.抛物线y =才2与直线l:x4所围成区域中有一个矩形ABCD,且点代B在抛物线上，点D在直线l 上,其中点B在y轴右侧，且| AB2t (t 0).(1)当AB与x轴平行时，求矩形ABCD面积S(t)的函数关系式; 当边CD在直线l上时，求矩形ABCD面积的最大值8.函数f (x)二 2cos x (sin 2x)-si

3、 n3x,且 x 0,2 二.(1)求函数f(x)的最大值和最小值;求方程f (x)二. 3的解.e -19.函数f (x) =ln ,且数列a*满足：印=1, an .1 = f (an) x(1) 求证:x ex -ex 1亠0恒成立；(2) 求函数f(x)的单调区间； 求证:数列an单调递减，且an 0恒成立10. 在 OAB内(含边界),其中O为坐标原点，点A, B分别在在x轴，y轴的正半轴上，且OA = OB =2.(1)用方程或不等式表示OAB围成的区域; 求证:在 OAB内的任意11个点，总可以分成两组，一组中各点的横坐标之和不大于 6,另一组中各点的纵坐标之和不大于6 .个人收

4、集整理 勿做商业用途局部解答:7、解：(1)由题歌 心且虑Z?在A/K上九故曲)打厲一卜沟创一却"所以翼広卩(2)由于护与"“4程篇二勰前交总是卜辭人设£t-X2)T 那么JEW.且点卫在瞬蛭开口内的镜段上从上(包括左端Q*故点乂必在軸右侧(慢茴庫点0).谕扭方程为严W那么占“I x1 _J .MWi).*T). t( + rj - 2» -2i * 所以 p£| - g* + 蕊j A.由平行线何的距离益式.得pi汗所以弘曲心喘的T、令用恨(山的所以妙些(1st").心0,间为增函数4所以AC -代助=电(1R -M)-乳此时点北与

5、原点o重合4所以矩形如面积的最大值为B.摄 /W=2(sm2x+cosx-sin(2x+x)=2sin Zxcosr+5 cos x - sinZxcosx- cos2xsnuc-sinIxcos x - cos2x sinx + 的 cosx=Einx4 cosx2tin(+y)(1)因为0,21，所以当兀二彳时.= 2 ；J-J当“彳时，2由 2sin(r+ y) - 得£in(jr+y)-.因»xe(0,2h所臥"0或彳或方r证明I(1)令=+ 持得0(工)之比当兀弋0时，sXx) < 0 J当尤>0时，/W >0 所lilgW在(P0内为

6、减函数 在e询內为增函数 所以或©2g(0XQ即总吆-疋十。0恒成立(2)对于(忑)=出手求导，得忤.亠一 Qy =亠心严 倚e-1 x 八1 ?由(1 內h 当X*O0ft>0,又所以<(x)>O®i因为/(x)的定义域为(-轲刀)U (比+a), 所ai/(x)的单卿詛间瀚(80)血).P)用数学归納法证明对任意处皿-当n=l时.珂三】=由于 1 <e-l <,所臥 0 < hi(# _1)1.如0 <02假设当“k (iero 呼吉劭立，即0<+1<. 因为 孤)在(呻 内划曹國数，Z-1. 宀】且 lim /(x

7、) = lim Qu)=k(lim ) = lal = O (士 040¥H«0l*OXlO 叱 忑所以儿即。农叫乜弋珏小 因此当"hi (址rO时结论也成立 由可知* C <«ui <弧对任意处MSF咸立 所以数列%为递洁妍叽且叫>0恒咸立2022年清华大学保送生试题:亡_-n J3一广-n-3<izfl1证明:2n2n(1-xk) (1xk)2、求证：Vn匚0丽为整系数多项式。kkk(1 -X ) (1 -X )i【(1 -X )kkk 卫2555c c a = t，求 ab bc ca 的值。a b 223、己知 abc -